三类绝对值不等式问题的解法

宋璐佳

绝对值不等式是中学数学中的重要内容.有关绝对值不等式问题的常见命题形式有：（1）解绝对值不等式；（2）证明绝对值不等式；（3）由绝对值不等式求参数的取值范围.那么如何求解这三类绝对值不等式问题呢？下面结合实例进行探讨.

一、解绝对值不等式

解絕对值不等式一般有两种思路：一是用零点分段法求解，其步骤是：①求每个绝对值内部式子的零点；②用零点将定义域划分为几个子区间；③分别在每个子区间上讨论绝对值内部式子的正负，并去掉绝对值符号；④分几种情况解不等式；⑤取并集，即可求得不等式的解集.二是用图象法求解，即画出相应的直线、曲线，将代数问题几何化，通过数形结合，求得满足不等式的变量的取值范围.

在解绝对值不等式时，要灵活运用分类讨论思想，将问题转化不同子区间上的常规不等式问题来求解.在分段解不等式时，注意不要忽视了区间端点的取值.

二、证明绝对值不等式

证明绝对值不等式一般有三种思路：一是将定义域分为几个子区间，分几种情况讨论绝对值内部式子的符号，以去掉绝对值符号，将问题转化为普通不等式后加以证明；二是利用三角不等式 ||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| 来证明不等式；三是将问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质来证明不等式.

当绝对值内部式子的符号已经确定时，可直接脱去绝对值，否则需利用三角不等式加以证明.

三、由绝对值不等式求参数的取值范围

由绝对值不等式求参数的取值范围问题比较常见，通常参数出现在绝对值内部的式子中.这类问题往往具有一定难度，在解题时，不仅要多次用到分类讨论思想，还需用到导数法、参变量分离法、放缩法、简单基本函数的单调性、三角不等式、基本不等式等.

解答本题，需利用三角不等式将函数式进行放缩，将问题转化为求 | | | | | | 1 a + a 的最小值，之后利用基本不等式即可解题.

解答本题，需分 | x - a| - x - 3 x + 2 ≥ 0 和 | x - a| - x - 3 x + 2 < 0 两种情况进行讨论，去掉绝对值后，求得各个代数式的最值，即可求得实数 a 的取值范围.

可见，解答绝对值不等式问题，关键是去掉绝对值符号，将问题转化为常规的不等式问题、函数问题来求解.在解题时，要灵活运用分类讨论思想、数形结合思想和转化思想来辅助解题.