如何求数列的和

杜金梅

求数列和问题的难度较大，命题的形式较多，同学们需熟练掌握一些常见题型的特点和解题的方法，才能在解题时根据已知信息，快速找到最佳的解题思路.下面主要介绍求数列和的几种常用方法.

一、利用Sn 和an 之间的关系

若题目中同时涉及了 Sn 和 an ，则可根据 Sn 和 an 之间的关系：an = ì í ? S1，n = 1， Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 将数列前 n 项的和式与数列前 n - 1 项的和式相减，即可得到 an = Sn - Sn - 1 .在解题时，需要注意当 n = 1 时，a1 = S1 这一特殊情况.

题目的已知关系式 S5= a 5（2）中同时涉及了 Sn 和 an ，于是利用Sn 与an 之间的关系，将S5与S4作差，即可消去 S5，建立关于 a1、d 的方程组，便可根据等差数列的通项公式求得问题的答案.

二、分组求和法

分组求和法主要应用于求形如cn = an ± bn ±cn的数列的前 n 项和.可将数列拆分为几个简单的数列，分组进行求和，最后将所得的和相加或相减即可.

例2.已知数列{an }满足 a1=1， an +1=（n +1）an + n（n +1）， n ∈ N*，且 bn = cos .设 Sn 为数列{bn }的前n 项和，则S2020的值为（  ） .

解答本题，需先根据已知关系式求得{an }、{bn }的通项公式.然后观察{bn }的通项公式可发现b3k -2+ b3k -1+ b3k= ，于是將数列中的项以三项一组，分成673组，分组进行求和，即可采用分组求和法求得数列的和.

三、裂项相消法

若数列的各项可拆分为两项的差的形式，且前后两项的差可相互抵消，则可采用裂项相消法，将复杂的数列问题转化为简单的运算问题，通过简单的运算，就能轻松求得数列的前 n 项和.

解答本题，需先仔细研究已知的递推关系式，将其通过变形，裂为两项之差的形式 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 ；然后采用裂项相消法，通过加减消去中间的部分项，化简剩余的项即可.由于 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 涉及了数列的前后三项，因此需将 n 分为 n=1，2，3 以及 n≥4 几种情况进行讨论.

四、错位相减法

错位相减法主要应用于求形如cn = an ·bn 的数列的前n项和，其中{an}为等差数列、{bn}为等比数列.若数列的前n项和为 Sn ，则需将 Sn - qSn（其中q为等比数列的公比），得出 （1 - q）Sn ，通过化简即可求得 Sn .

数列 {n·an} 的通项公式为n （-2） n - 1 ，该式为等差数列{n} 的通项公式和等比数列{（-2） } n - 1 的通项公式的乘积，可采用错位相减法进行求和.运用错位相减法求和容易出现计算错误，同学们要特别注意.

求数列和的方法很多，同学们在平时的学习中要注意积累解题的经验，学会对一些常见的典型题目进行归类、分析，熟练掌握各类数列求和问题的特点、结构形式，选择与之相应的方法进行求和.