一般三棱镜光垂直入射点M的讨论

殷术千　顾菊观　邱培镇　周天佑　曹炳松　潘叶敏　俞轶帆

【摘   要】   基于几何光学原理得到一般三棱镜光垂直入射点[M]与底边和[B]角的关系式，研究一般三棱镜所需观察测量的出射光线与入射点、底角[B]、折射率等的关系。应用 Matlab得到了母线段[BM]与底角[B]、棱镜折射率及两侧折射率的关系曲线，应用Zemax得到了相应的光线轨迹图。结果表明，理论分析与关系曲线和光线轨迹是一致的，对三棱镜应用中选择折射率、入射光线入射角、入射点和底角等有很好的参考作用，同时加深了对三棱镜折射理论和应用的理解。

【关键词】   一般三棱镜；入射点；出射光线；折射率

Discussion on the Normal Incidence Point [M] of General Prism

Yin Shuqian， Gu Juguan*， Qiu Peizhen， Zhou Tianyou， Cao Bingsong， Pan Yemin， Yu Yifan

（Huzhou University， Huzhou 313000， China）

【Abstract】    Based on the principle of geometric optics， the relationship between the normal incident point [M] of light of general prism and the bottom edge and [B]angle is obtained， and the relationship between the outgoing light required to observe and measure the general prism and the incident point， bottom angle [B]， refractive index， etc. is studied. Matlab is used to obtain the relationship curve between the parent line [BM] and the bottom angle [B]， the refractive index of the prism and the refractive index of both sides， and Zemax is used to obtain the corresponding ray trajectory. The results show that the theoretical analysis is consistent with the relationship curve and ray path， which is a good reference for the selection of refractive index， incident angle， incident point and bottom angle of incident light in the application of triangular prism， and also deepens the understanding of the refraction theory and application of triangular prism.

【Key words】     general prism; point of incidence; outgoing ray; refractive index

〔中图分类号〕   O435                          〔文献标识码〕  A              〔文章編号〕 1674 - 3229（2023）02- 0023 - 04

0     引言

文献［1-4］研究讨论了空气中的三棱镜及实验条件相对比较固定，对于改变相关参数进行实验很难实现，限制了一些特殊条件下的三棱镜入射光线、出射光线和偏向角的研究。

文献［5］得到了空气中等边三棱镜的最小入射角，分析影响的因素；文献［6］研究了空气中三棱镜的最小入射角与棱镜顶角的关系，棱镜最大顶角与折射率的关系；文献［7］详细研究了一般三棱镜的最小入射角，棱镜最大顶角与折射率的关系，折射率所需条件；文献［8］研究和概括了空气中三棱镜的棱镜折射率的测定和入射角的测量方法；文献［9］讨论了在三棱镜[AC]面发生全反射的[AB]入射点的选择及影响因素。对于入射光从[AB]面以入射角为[0°]即垂直入射，并要求出射光线直接从[AC]面出射及影响因素的研究很少见到。本文基于几何光学原理得到一般三棱镜光垂直入射点[M]与底边[BC]和[B]角的关系式，研究影响一般三棱镜观察测量所需出射光线的影响因素，并根据文献［10，11］所提到的光学教学中应用Matlab编程思想和方法模拟关系曲线和Zemax光线轨迹进行研究分析讨论。研究的结果对于选择棱镜和折射率提供了参考依据，加深了对棱镜折射的理解和认识。

1   [M]点的确定

假设光线从一般三棱镜[ABC]的[AB]面上入射，图1表示了[AB]面上光线以入射角[i1=0°]即垂直入射的光线示意图，其中[M]点处经[AB]面折射（折射角为[r1=0°]）的光线恰好通过[C]点，且[C]点对应的入射角[r2]恰好是临界角； 在[AM]内的光线，都直接入射到[AC]面，[AC]面对应的入射角都为发生全反射时的临界角；只有当入射角[r2]小于临界角时，光线从[AC]面出射，如图2满足文献［1-9］所定义的光线和偏向角，如图3不满足文献所定义的光线和偏向角（文献［8］已经证明棱镜折射率要大于两侧折射率）。

图1中[MB]内的光线，都直接入射到[BC]面（[BC]面的折射率[n4=1]），在[BC]面发生折射；当满足[r2B=B≥arcsin（1／n2）]时在[BC]面发生全反射，再经[AC]面出射，但不是文献所定义的出射光线和偏向角；要使[BC]面的光线不到达[AC]面，[B]角需满足[r2B=B≤arcsin（1／n2）]。

对于给定的三棱镜和折射率，[B]角的最大值为：

在图1中[AC]面入射角[r2]满足[r2≤arcsin（n3n2）]时[AC]面上能观察到文献所定义的光线和偏向角，入射角[r2]的最大值为：

式中的[Amax]与文献［7］的[Amax]是相同的，文中的[Amax]指的是垂直入射时的棱镜最大顶角，文献［7］的最大棱镜顶角是指给定棱镜折射率和两侧折射率情况下对应的棱镜最小入射角时，能在[AC]面上观察到文献定义的出射光线及偏向角所对应棱镜的最大顶角。[Amax、Bmax]对应的[C]值为[Cmin]。

式（1）和（2）说明，给折射率的三棱镜和垂直入射时，只有当[A

图5说明[n1=1， n2=1.6475， n3=1]，不是等边三棱镜时[AB]、[AC]面出射光线的情况。（a）[A=30°<37.3715°， B=60°>37.3715°]时，入射到[BC]面光线经[BC]面全反射再经[AC]面出射，不满足文献所定义的出射光线。直接入射到[AC]面的光线从[AC]面折射后的出射光线，满足文献所定义的出射光线。（b）[A=60°>37.3715°， B=30°<37.3715°]时 ，入射到[BC]面光线经[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光线从[AC]面全反射再经[BC]折射后出射。两条出射光线都不滿足文献所定义的出射光线。（c）[A=30°<37.3715°， B=30°<37.3715°]时，入射到[BC]面光线经[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光线从[AC]面折射后的出射光线只有一条，满足文献所定义的出射光线。

由图5的分析可知，选择棱镜的[A]和[B]角要满足一定要求，才能在[AC]侧找到满足定义所要求的出射光线，从而进行相关测量。

2     [c3]与[B]的关系曲线和理论分析对比

根据第1部分所述，综合文献［10］研究的方法，依据式（4）运用Matlab绘制在折射率[（n1、n2、n3）]定向改变的情况下线段[BM（c3）]与底角[B]的关系曲线如图6-图11所示。

2.1   棱镜折射率[n2]发生改变时，[c3]与[B]的关系曲线和理论分析

图6-图11中的[Bmax、Amax]是根据式（1）和（2）计算得到的， [BM]（[c3min]）是根据式（5）计算得到的，根据式（4）计算了[B=60°，B=90°]对应的[c3min]。由图6、7、8知，其他条件不变，棱镜折射率[n2]越大，对应的[Amax=Bmax]值越小，对应的[BM]（[c3min]）是增大的，[B=60°，B=90°]对应的[c3min]不变的。关系曲线对应的值与理论计算相一致。

2.2   棱镜折射率[n1]发生改变时，[c3]与[B]的关系曲线和理论分析

由图7、9知，其他条件不变，棱镜左侧（入射方）折射率[n1]增大，对应的[Amax=Bmax]，[BM]（[c3min]）不变，[B=60°，B=90°]对应的[c3min]不变，说明[Amax、Bmax]、[c3min]与棱镜左侧（入射方）折射率[n1]没有关系。关系曲线对应的值与理论计算相一致。

由图7、10知，其他条件不变，棱镜右侧（出射方）折射率[n3]增大，对应的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不变，[B=60°，B=90°]对应的[c3min]不变，说明[Amax]与棱镜右侧（出射方）折射率[n3]有关系，[Bmax]、[c3min]与棱镜右侧（出射方）折射率[n3]没有关系。关系曲线对应的值与理论计算相一致。

2.3   棱镜折射率[n1]、[n3]发生改变时，[c3]与[B]的关系曲线和理论分析

由图7、11知，其他条件不变，棱镜两侧折射率[n1]、[n3]增大，对应的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不变，[B=60°，B=90°]对应的[c3min]不变，说明[Amax]与棱镜右侧（出射方）折射率[n3]有关系，[Bmax]、[c3min]与棱镜两侧折射率[n1]、[n3]没有关系。关系曲线对应的值与理论计算相一致。

3     结论

综上所述，要使光线以入射角为[0°]垂直入射到三棱镜[AB]面后，在[AC]面只找到符合实验要求的出射光线，棱镜的两个角必须同时满足[A

［参考文献］

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［5］ 顾菊观，钱惠国，陆静珠.三棱镜最小入射角的理论和实验研究［J］.应用光学，2003，24（6）：9-10+26.

［6］ 顾菊观. 三棱镜偏向角与棱镜顶角的关系［J］. 物理与工程，2010（4）：22-23.

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［9］ 钱惠国，陆静珠，顾菊观.三棱镜实验中入射点问题的讨论［J］.应用光学，2005，26（2）：54-56.

［10］ 王立明.单色平面光波的双缝衍射的计算机仿真［J］.廊 坊师范学院学报（ 自然科学版），2009，9（5） ：41-43.

[收稿日期]   2022-10-24

[基金项目]   国家自然科学基金委理论物理专款“高校理论物理学术交流和人才培养平台建设项目”（12047568）

[作者简介]  殷术千（2002- ），男，湖州师范学院理学院学生。

[通讯作者]   顾菊观（1963- ），男，湖州师范学院理学院教授，研究方向：激光光学、大学光学与实验。