“现代数值分析方法”课程教学的改革与实践

余翔 王钰轲 李忠旭

［摘 要］ 现如今各学科之间相互渗透融合，传统教学模式已经不能完全满足实际需求。“现代数值分析方法”是工科研究生很重要的专业课程，有着理论性强、难度较大等特点。根据课程教学存在的问题，从教学内容、教学方式以及考核方式三个方面进行创新性探索，以学生为主体，融入现代教学手段，同时将理论与实践更好地结合起来，激发学生学习的主观能动性和积极性，从而大大提高了教学质量。

［关键词］ 有限元；数值分析；教学改革

［基金项目］ 2021年度郑州大学教育教学改革研究与实践项目“基于持续改进的课程质量评价模式研究”（2021ZZUJGLX149）；2021年度河南省高等教育学会高等教育研究项目“‘双碳目标和数字孪生双驱动下的工科人才培养模式改革与实践”（2021SXHLX005）；2021年度郑州大学一流课程建设项目“城市交通与道路规划”（2021ZZUKCLX014）

［作者简介］ 余 翔（1988—），男，河南睢县人，工学博士，郑州大学水利科学与工程学院副教授，硕士生导师，主要从事水利工程数值仿真研究。

［中图分类号］ G643.2［文献标识码］ A［文章编号］ 1674-9324（2023）20-0060-04［收稿日期］ 2022-05-26

引言

随着科技的进步和科学技术的发展，计算科学在金融学、物理学、力学、化学等许多学科的应用中都有渗透并形成了许多新的交叉学科。计算科学作为继理论研究和实验研究之后的第三种科学研究方法，已成为理工科各学科进行科学研究活动的必备工具［1］。加强研究生的科学计算训练和学习，提高研究生的实践创新能力，已成为培养理工科高质量研究生的保障之一［2］。提升研究生的科研和创新能力，为国家培养创新型专业人才，一直是高等教育的重要任务，也是当前一项重大的历史使命。新工科不是局部考量，而是在新科技革命、新产业革命、新经济背景下工程教育改革的重大战略选择，也是今后工程教育发展的新思维和新导向。新工科背景下水利工程建设的内在要求是培养创新能力和实践能力并存的复合型人才，由此高校也应在新工科背景下对专业课程的教育教学改革进行探索和实践。

“现代数值分析方法”是我校水利工程研究生的一门重要的专业课程。该课程以有限元数值模拟方法为导向，基于CAE大型计算软件，旨在培养学生掌握有限元数值分析方法并且能独立使用有限元软件完成一定的科研内容。通过对这门课程的学习，不仅可以使研究生掌握传统有限元法、比例边界元法、分子动力学等工程数值计算方法的理论，而且也为培养研究生在科学计算方面的思维能力、分析问题及解决问题的实践能力打下了必要的基础，同时也为研究生自学能力的提升提供了良好的环境。因此，为适应当前新工科教育背景下对研究生理论知识和实践能力相结合的要求，“现代数值分析方法”课程教学改革的探索与实践是十分必要的。

一、现有课程存在的问题

随着教学改革的逐步深化，课程体系日趋完善。根据教育部、国家发展改革委、财政部发布的《关于加快新时代研究生教育改革发展的意见》，下步将进一步加强课程教材建设，提升研究生课程教学质量。但是，仅从郑州大学“现代数值分析方法”的课程设置、教学内容组织和教学方法来看，还存在许多有待研究的问题［3-5］。

（一）课程偏重理论知识而缺乏实践内容

该课程内容涉及数学、力学以及计算机等多个学科，对于学生来讲比较复杂抽象，教师在有限的课时内很难进行系统的讲授，并且該课程对学生的数学、力学、计算机等方面的能力有很高的要求。从以往的教学经验来看，学生普遍认为课程理论性太强，学起来比较吃力，缺乏学习的兴趣，这就使得教学质量大打折扣。因此，该课程的实用性不强，没有达到预计的教学效果。

（二）传统教学模式不能适应社会对应用型人才的需求

有限元数值计算方法的发展日新月异，传统教学模式不能与时俱进，大多采用教师传授知识、学生被动接受知识的模式，这种教学模式枯燥乏味，学生也提不起兴趣。传统教学模式没有发挥出学生的主观能动性，难以培养学生基于有限元思想独立解决工程实际问题的能力［6］。而且，上课时“低头族”等问题越来越严重，因此，需要适当调整教学模式，让学生更多地参与课堂，培养其兴趣，从而达到培养符合培养应用型人才的目标。

（三）软件的应用教学相对薄弱

对于有限元软件（以Ansys、Abaqus为主）的学习，大多采用学生自学的方式，该方式的结果往往不尽如人意，学生很难做到熟练掌握有限元软件的操作，降低了有限元软件应用的实践。在自学过程中，有些学生可以熟练掌握软件使用，但是大多数学生并不能自己完全自学，这就导致学生在之后的研究工作中，当要用有限元软件建模计算时，还要从头再自学一遍。因此，该课堂并没有达到预期的教学效果。

综上所述，在“现代数值分析方法”课程的教学过程中，如何提高教学质量、增加学生的主观能动性、提高实操技能是摆在主讲教师面前一个很重要的问题。因此，可以考虑在有限的课时内，少一些理论公式的推导，从学科的专业关联性角度出发，以专业背景的工程结构对象为基点，结合有限元软件，加强工程实践应用教学，培养出一批能够独立思考、解决实际问题的研究生。

二、课程教学改革的主要措施

根据目前本课程普遍出现的教学问题，结合本校近年来的教学实际和经验，对该课程采取了如下措施，并取得了一定的成效。

（一）教学内容改革

针对教学内容，注重理论和实践相结合［7］。不再完全依靠教材，而是以任课教师多年来的教学经验和实际工程问题相结合的教学内容为主，结合学生大致研究方向，讲述该领域较为成熟的研究成果，并且要求学生掌握这些经典工程实例。在课程中强调问题所处的工程背景和设计思想，从根本上改变学生被动接受知识，转变为学生主动探求、主动学习。丰富教学内容，增加专业知识教学内容的同时与其他相近学科或专业耦合，增强学生的思维创新能力。

在课时不断缩减的情况下，采用简洁、高效的授课内容会大大提高教学质量。笔者根据近年来任课的教学经验，结合教材、实际工程案例等，归纳总结出有限元求解问题的基本步骤：定义求解域、求解域离散化、单元推导、等效节点荷载计算、总刚组装、联合方程组求解。这六大基本步骤涵盖了有限元求解问题的所有流程，此时再整体展示有限元的基本步骤。

本课程结合西部某大坝实际工程，详细地向学生讲述有限元数值模拟的基本步骤。

1.定义求解域。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。此时展示大坝的实际地貌、工程概况，引导学生通过圣维南定理的概念，自定义大坝的求解域。

2.求解域离散化。将分析对象按一定的规则划分成有限个具有不同大小和形状的单元体，相邻单元在节点处连接，单元之间的荷载也仅有节点来传递，习惯称有限元划分。此时，可以通过展示不同剖分方法或手段获得网格，通过引导学生对大坝具体问题的重视程度，确定最优网格。

3.单元推导。结构离散完成后，对单元进行特性分析，建立各单元节点位移与节点力之间的关系，求出单元的刚度矩阵。最后用物理方程和虚功原理建立节点力与节点位移的关系，即刚度方程。此时，通过回忆结构力学的位移法将有限元基础理论进行降维讲解。

4.等效节点荷载计算。结构被离散化后，单元与单元仅通过节点发生内力传递，结构与外界也是通过节点发生联系。作用在单元边界上的表面力，作用在单元内的体积力和集中力等，都必须等效移置到单元节点上去，化为相应的单元等效节点荷载。该步驟通过引入材料力学力的等效概念分析有限元里的结点荷载。

5.总刚组装。由各单元刚度矩阵组集成整体结构的总刚度矩阵。将作用于各单元的节点载荷矩阵组集成总的载荷列阵。求得整体坐标系下各单元刚度矩阵后，可根据结构上各节点的力平衡条件组集求得结构的整体刚度方程。

6.联合方程组求解。整体刚度方程只反映了物体的内部关系，并未反映物体与边界支撑等的关系。引入约束条件之前，弹性体在力的作用下虽处于平衡，但仍可作刚体位移，整体刚度矩阵是奇异的，即解不是唯一。

在课堂之余，对于有能力的学生可以通过增加一些有难度的作业、指导他们阅读学科前沿领域的论文、指导参与学科竞赛等途径，拓宽他们的视野，激发他们的创新能力和实践能力；对于课程学习不是很轻松的学生，以课程内容为主增加一些课后作业，达到对课程内容进行理解掌握的要求；对于课堂学习比较吃力的学生，要针对性地辅以帮助，让他们也能跟上课堂教学节奏。专业课知识学完后，及时应用软件来复现，让学生亲自动手操作，体验从理论到实践的过程，在此期间，不断发现新问题、解决问题，培养独立思考的习惯及独立解决问题的能力。

（二）教学方式改革

针对教学方式，可采用多教师授课的形式。现代数值分析方法的发展日新月异，多教师授课可以让学生了解不同的有限元方法和理论，拓宽学生的视野。多教师授课，以传统有限元方法为主，再加上近年来发展的有限元，丰富了学生的知识体系，让学生更加了解有限元的发展，体会有限元的发展过程，提高了对有限元的兴趣。本次课程改革，笔者不仅讲述了传统有限元的知识体系，还在与另外几名教师沟通后，抽出两节课来讲述比例边界有限元和分子动力学有限元的内容。因此，学生在处理问题时就能充分发挥主观能动性，提出多种问题解决方案。此外，PPT与板书相结合的教学代替了单一的板书教学，少了一些繁杂的公式推导过程，增加了一些PPT动画播放，让学生可以更直观地直面有限元模型。PPT模型选取了一些专业最新前沿动态，让学生可以了解专业前言动态如何发展，激发学生创新性。教学可采用线上线下相结合的方式。随着互联网的发展与普及，多媒体教学和网课已然成为一种新兴的现代教学方法，但是对于本课程这种理论性和实践性较强的学科来说，完全依靠这种教学方法并不是很适合。但是，也不是说一定都不能用，为了能够更好地帮助学生熟练掌握有限元软件，在学习通、雨课堂等平台发布一系列CAE软件使用教学视频，让有需要的学生能够从多渠道获得教学资源，能够更好地进行学习研究。线上线下教学模式，不仅给学生带来多途径学习的通道，而且可以让学生合理安排时间，尤其是对于一些学习吃力的学生，这种教学模式使他们在课堂之余有“弯道超车”的机会。

（三）丰富考核方式

考试是检验课堂教学质量的一种最直接且最有效的方式，但是现代教学对于考试的认知出现了些许偏差，这就使得考试这一方式可能不适于研究生考核。学习的目的不是为了考试，而是为了运用所学知识解决实际问题。因此，本课程不采用闭卷的考核方式，而是以大作业的形式进行考核，具体是由任课教师提供多个考核题目，学生自主选择其中几道用CAE软件完成。通过大作业考核，学生运用课堂上所学，进行了材料确定、工况分析、模型建立、网格划分、荷载施加、结果分析一系列过程，此考核不仅检验了课堂教学质量，而且使学生对软件的操作有了更直观的认知。考虑到学生还有其他课程，为确保考核的完成质量，将考核时间定为四周。实践证明，大多数学生容易接受这种考核方式，考核时间的增加提高了作业完成的质量，增强了学生的实际动手能力。

此外，还应重视课间作业，教师每次课最后十几分钟布置相应的习题，学生下课前交回。课间作业不仅能让学生对本节课的知识体系进行回顾、巩固知识点，还能督促学生课堂上认真听讲，否则就完不成作业，平时成绩将会大打折扣。这个课间习题的布置，大大降低了上课“低头族”的出现率，而且习题的设置，使得大多数学生能够更加深刻地了解有限元数值模拟分析方法，教学质量大大提高。例如，在讲解位移函数时，先讲述理论部分，然后补上几道例题，最后布置课间作业，从习题完成质量和数量上看，学生都比较好地完成了习题。这足以证明上课所讲述的内容已经被学生记住，侧面反映出课堂教学的质量较好。

三、课程改革效果

“现代数值分析方法”课程的改革效果还是比较显著的，现在课堂上的“低头族”较原来少了许多，上课时认真听讲与课间提问题的学生明显增多，很多学生表现出了对有限元的兴趣。教学内容少了一些枯燥乏味的公式推导，多了PPT多媒体动画让学生可以更直观地理解有限元数值分析方法，极大地激发了学生的学习热情，大大提高了教学质量。线上线下教学模式获得好评，有些学生因请假或者其他原因未能及时上课听讲，但他们借助线上教学平台及资源不仅补上了未完成的内容，还能较好地掌握知识点。在线上线下相结合的教学方式下，学生可通过多途径全身心地投入学习，不仅学到的东西更加丰富，而且主动学习的效果远远高于被动接受式学习。考核方式的变化，让学生不再像以前那样考前通宵复习，而是根据自身安排，合理规划大作业的时间，能较多地发挥学生的主观能动性，增强学生的逻辑思维能力，提高对软件的操作能力。根据近两年的教学成果来看，本门课程的通过率达到95%以上，而且成绩较之前有显著提高。

結语

结合新工科大背景，通过阐述“现代数值分析方法”课程普遍存在的偏注重理论知识而缺乏实践内容、传统的教学模式不能适应社会对应用型人才的需求、软件的应用教学相对薄弱等问题。以加强课程教材建设，提升研究生课程教学质量为出发点，提出了改革教学内容和教学方式、丰富考核方式等措施，对“现代数值分析方法”课程教学改革进行了有益探索，实现课程内容的与时俱进，增强了学生解决工程实际问题的能力，更加符合培养应用型人才的目标。

在教学内容上，采用课本与实际工程相结合，添加了专业最新前沿动态，拓宽了学生的知识面，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的自主学习能力和创新能力；在教学方式上，线上线下教学相结合，并且采用多教师授课模式，丰富学生的知识体系，让学生更加了解有限元的发展，体会有限元的发展过程，提高对有限元的兴趣。

参考文献

［1］王家全，唐毅，夏雨，等.有限元在土木工程专业课程的教学改革与实践［J］.大众科技，2019，21（6）：119-120+132.

［2］刘杨，赵宇来，奚方权，等.有限单元法课程教学现状与改革方法探究［J］.中国教育技术装备，2019（18）：71-73.

［3］付泽民，吴力杰.学位课《弹性力学及有限元》教学改革创新性研究［J］.科技创新导报，2019，16（29）：188-190.

［4］于海丰，马康，刘卫然.土木工程学科有限元研究生课程教学改革实践［J］.河南建材，2019（1）：182-183.

［5］邓聪颖，禄盛，郑太雄，等.面向工程应用的有限元课程教学改革实践［J］.教育现代化，2017，4（36）：106-108.

［6］刘文莲，桑运春.基于有限元法的现代设计理论与方法教学理论与实践［J］.现代职业教育，2018（31）：138.

［7］刘淑芬，李卫民，黄海龙.“弹性力学及有限元”课程教学改革研究与创新：以辽宁工业大学为例［J］.科教文汇（中旬刊），2019（4）：81-83.

Teaching Reform and Practice of Modern Numerical Analysis Method

YU Xiang， WANG Yu-ke， LI Zhong-xu

（School of Water Conservancy Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou， Henan 450001， China）

Abstract： Nowadays， various disciplines permeate and integrate with each other， and the traditional teaching mode can not meet the actual needs. “Modern numerical analysis method” is a very important professional course for engineering postgraduates， which is both theoretical and difficult. The traditional teaching mode is not suitable for this kind of discipline. This paper makes innovative exploration from three aspects： teaching content， teaching methods and assessment. It integrates modern teaching means， better combines theory and practice， and greatly improves the teaching quality.

Key words： finite element; numerical analysis; teaching reform