汽车摆振系统Hopf分岔及参数灵敏度分析

王娜, 毛忠民, 任翠锋, 高大威

(1. 安徽三联学院 机械工程学院,合肥 230601;2. 上海理工大学 机械工程学院,上海 200093)

摆振是一种复杂的自激振动现象,广泛存在于汽车、摩托车和飞机起落架等动力学系统中[1-4]。摆振现象的发生会对汽车的行驶安全性和操纵稳定性产生不利影响,因此,为了揭示摆振的发生机理,进而完善汽车防摆振设计,许多学者围绕摆振动力学开展了大量研究[1]。

由于汽车摆振主要表现为前轮绕主销的角振动,因此,轮胎力学特性与摆振的发生密切相关,一些学者结合轮胎力学特性深入研究了汽车摆振系统的失稳机理、能量传递规律及分岔特性[5-7]。此外,部分学者也关注到了转向系统间隙和干摩擦等强非线性因素对汽车摆振的影响规律,研究发现间隙主导下的汽车摆振系统动力学响应将表现为混沌运动,而干摩擦会诱发摆振系统的多极限环运动[8-10]。随着对汽车摆振的研究不断深入,非线性振动理论也被用于摆振动力学机理的研究之中。其中,学者围绕经典的三自由非独立悬架汽车摆振动力学模型深入探究了摆振系统 Hopf 分岔特性[11-13],指出摆振现象是系统在发生Hopf分岔后出现的极限环运动。此外,一些学者也针对不同类型的车辆摆振系统开展了研究工作。肖闯和殷智宏[14]建立了轮椅车轮摆振系统动力学模型,应用Hopf分岔理论分析了系统的稳定性。Wei等[15]基于一个十二自由度摆振模型讨论了双前桥重型汽车的多极限环振动特性,并分析了路面附着系数对极限环的影响。Gao等[16]建立了五自由度重型车辆摆振模型,讨论了油气悬架参数对系统稳定性的影响。

上述研究成果为进一步研究汽车摆振提供了良好的理论基础。然而,为了简化动力学分析,大多数学者忽略了汽车轮胎、转向系和悬架系统之间的动力学耦合作用,从而使得汽车垂向运动引起的动载荷对汽车摆振的影响尚未明确。需要指出的是,轮胎垂向载荷的变化对汽车动力学稳定性有着重要的影响[17]。因此,本文基于单轮摆振系统动力学模型,研究考虑轮胎垂向载荷影响的摆振系统分岔特性。此外,由于影响汽车摆振的因素较多,目前尚不清楚汽车摆振对哪些因素的变化较为敏感,所以本文将对转向系和悬架系统参数进行敏感性分析,相关结论可为工程中的摆振抑制提供有力的技术支持。

1 摆振系统的动力学模型

由于独立悬架汽车的左轮和右轮之间的相互作用较小,因此仅以某样车的右前轮为研究对象,其简化动力学模型如图1所示,基于以下假设建立摆振系统的动力学模型[18]。

图1 汽车摆振系统动力学模型

1) 转向系统的阻尼和刚度分别等效为车轮绕主销旋转的角阻尼和角刚度。

2) 仅考虑轮胎的垂向刚度,忽略轮胎的垂向阻尼。

3) 非簧载质量主要集中在轮心。

显然,动力学模型共有3个自由度,包括前轮摆角、簧载质量的垂向位移和非簧载质量的垂向位移,相关车辆结构参数如表1所示。

表1 某样车结构参数

1.1 动力学方程

基于第二类拉格朗日方程,图1所示的摆振系统的动能、势能、耗散能分别为:

(1)

(2)

(3)

各自由度对应的广义力为:

(4)

(5)

Q3= 0

(6)

将式(1)～式(6)代入第二类拉格朗日方程,可得到摆振系统的微分方程:

(7)

(8)

(9)

1.2 轮胎模型

由于轮胎的垂向载荷对侧向力有着至关重要的影响,考虑垂向载荷影响的侧向力表达式[17]为

FR=[c1+c2(Fz0-Fz)]α+c3α3=

K1α+K2(Aτθ+z1)α+K3α3

(10)

式中:α为侧偏角;K1=c1+c2Fz0;K2=c2kt;K3=c3。

汽车右前轮侧偏角和摆角的约束方程[18]为

(11)

2 分岔特性

(12)

2.1 临界车速

令F(v,x)=0,可求得x0=0是摆振系统的一个平衡点。因此,系统的状态矩阵可转换为

(13)

因此,系统特征方程可由det|M(v)-λI|=0求解得到。

a0λ7+a1λ6+a2λ5+a3λ4+a4λ3+

a5λ2+a6λ+a7=0

(14)

式中:

a0=1;

a1=1.538 5v+73.109 2;

a2=2.291 8v2+113.777 1v+10 426.354 6;

a3=3.525 8v3+13.651 1v2+17 871.410 2v+

236 504.848 2;

a4=17.921 2v3+187.553 6v2+482 802.004 7v+

17 692 298.472 2;

a5=246.2221v3+41257793.7692v+79725112.3590;

a6=185 705 154.498 4v+1 046 118 171.400 2;

a7=2 475 680 345.868 0v。

根据Hurwitz准则,特征方程(14)具有一对纯虚根,且其余特征根具有负实部的判别条件为:

1)a1>0,a2>0, …,a7>0

将表1中的参数值代入Hurwitz行列式Δ6,便可求得汽车临界失稳车速,如表2所示。显然,仅有v1=14.187 6 m/s和v2=20.483 3 m/s具有实际物理意义。将车速v1=14.187 6 m/s代入其余的Hurwitz行式中,得到Δ2=6.840 1×105>0,Δ4=1.964 2×1017>0。因此,摆振系统在此车速工况下处于临界稳定状态。同样地,当车速v2=20.483 3 m/s时,Δ2=7.966 5×105>0,Δ4=4.513 0×1017>0,摆振系统也处于临界稳定状态。

表2 临界车速的求解

2.2 中心流形

为了进一步研究摆振系统的分岔特性,将上述两个临界车速代入方程(14),即可得到摆振系统的特征值,如表3所示。显然,摆振系统的零平衡点在两个临界失稳车速工况下是非双曲的。 因此,以车速v1=14.187 6 m/s为例,应用中心流形理论对原摆振系统进行降维[19]。

表3 摆振系统的特征值

引入新变量y∈R7,令μ=v-v1,且x=py,则可以将状态矩阵转换为

式中:p可重新组合系统特征向量的实部和虚部获得;Λ为一个对角矩阵。

则中心函数可设为

hi3y1y2+hi4μy1y2+hi5y22+h.o.t.

(16)

此外,对式(16)求导可得

(17)

将式(16)和式(17)代入式(15),可获得中心流形为:

(18)

上述中心流形可在极坐标系下转换为:

(19)

式中d1～d3可分别从式(18)中获得。

对于临界失稳车速v2=20.483 3 m/s,根据上述步骤,可获得中心流形如下:

(20)

同样,在极坐标系中,式(20)转化为:

(21)

式中d4～d6可结合式(20)求得。

图2 摆振系统的分岔特性

2.3 数值验证

基于龙格-库塔算法,对不同车速下的摆振幅值和垂向载荷进行了数值求解,结果如图3所示。

图3 摆振幅值与轮胎垂向载荷最值随车速的变化

由图3可以看出,数值结果与上述求得的临界车速结果一致。此外,摆振幅值将随着垂向载荷的增加而增加。因此,垂向载荷对摆振幅值有重要的影响。在工程中,可以通过减小垂向载荷来抑制汽车摆振。

通过将式(18)和式(20)的变量转换为原摆振系统变量,可分别获得图4所示的摆角相图和表4所列的摆振幅值。显然,用中心流形方法得到的结果与数值结果基本一致。因此,验证了动力学模型的准确性,也表明中心流形理论可以有效求解摆振系统微分方程。

表4 不同速度下的摆振幅值

图4 两种方法求得的摆角相图(v=14.70 m/s)

3 灵敏度分析

汽车作为一个复杂的机械动力学系统,各部件及子系统之间存在着重要的耦合作用,因此影响汽车摆振的因素较多,工程中也存在多种途径来抑制汽车摆振。然而,轮胎半径、侧偏刚度以及整车质量等参数在工程实际中很难进行调整优化,鉴于此,本文以易于调整的转向系和悬架系参数为研究对象,基于正交实验设计对其进行灵敏度分析,从而为工程实际中更好地进行防摆振设计提供技术参考。

首先,选择5个因素(即转向系统的刚度和阻尼、悬架的刚度和阻尼以及主销后倾角)进行灵敏度分析,以分析各因素对临界车速的影响程度。对于不同的参数,利用Hurwitz准则计算出两个临界车速(即v1和v2),并以临界车速之差(即Δv=|v1-v2|)作为实验结果。各因素的水平如表5所示。

表5 各因素的水平表

选择标准的四水平五参数正交表L16(45)[20],并根据L16(45)的实验安排来求解临界车速。正交实验的安排和结果如表6所示。

表6 正交实验的安排和结果

由正交实验结果可得各因素的主效应图,如图5所示。

图5 各因素主效应图

由图5可以看出,增加悬架阻尼、转向系阻尼和刚度可以使得摆振系统更加稳定,从而抑制汽车摆振。主销后倾角和悬架刚度的减小也可达到抑制摆振的效果。

对于四水平正交实验,各因素的灵敏度计算公式为

(22)

各因素的灵敏度如表7所示。

表7 各因素的灵敏度

由表7可以看出,汽车摆振系统失稳车速区间对主销后倾角最为敏感,其次是转向系阻尼。各因素的敏感度排序为:τ>cv>c>kv>k。因此,在工程实践中,应优先考虑通过调整主销后倾角来抑制汽车摆振。此外,调整转向系和悬架系的阻尼也是抑制汽车摆振的有效方式。值得注意的是,汽车失稳车速区间对转向系和悬架系统的刚度变化不敏感,在工程实际中,不建议通过调整系统刚度来抑制汽车摆振,这是由于尽管大范围的调整刚度,汽车摆振不仅得不到抑制,而汽车其他动力学性能将会被恶化。

4 结论

基于汽车单轮摆振系统动力学模型,采用Hurwitz准则求得了系统的临界分岔车速,进而根据系统在临界车速处的特征值,分析发现摆振系统的平衡点是非双曲的。因此,利用中心流形理论分析了系统的分岔特性。研究表明,在一定的速度范围内,由于Hopf分岔的发生使得系统失稳而出现摆振现象,且摆振幅值与轮胎的垂向载荷密切相关。值得注意的是,较大的垂向载荷将导致更大的摆振幅值,因此可以通过减小垂向载荷来抑制汽车摆振。

此外,选取转向系和悬架系统的结构参数作为5个因素,并将Hurwitz准则求得的汽车失稳车速区间作为实验结果。结合灵敏度分析可知,汽车失稳的车速区间对主销后倾角最为敏感。因此,在工程实践中,优先考虑通过减小后倾角来抑制汽车摆振。此外,增加转向系和悬架系统的阻尼来减小汽车摆振也是直接有效的方法。然而,汽车失稳车速区间对转向系和悬架系统的刚度不敏感,工程中不建议通过调整系统刚度来抑制汽车摆振。