纵向变位HRH齿轮等高成形法制式设计

张柯, 郭玉梁, 魏冰阳

(河南科技大学 机电工程学院,河南洛阳 471003)

当前以机器人为代表的智能装备执行机构对高速比齿轮传动提出了精密、高效、高功率密度等极高参数的要求。然而齿轮传动的效率与传动比之间总存在一定的矛盾,两者往往难以兼顾。高减比准双曲面齿轮HRH在机器人领域已有应用,减速比大于60的能保持80%以上的传动效率[1]。HRH齿轮因其体积小、轻量化,在精密执行机构与机器人领域应用具有潜在优势。HRH齿轮作为硬齿面设计,加工方法上采用与普通螺旋锥齿轮一样的加工机床、刀具及磨齿工艺,在制造成本、精度寿命方面具有优势。

20世纪80年代,少齿数齿轮传动研究逐渐进入人们的视野。文献[2-3]对少齿数齿轮传动的几何设计制造及承载能力进行了研究。文献[4-5]对少齿数渐开线齿轮的变位、根切、齿廓界限等几何设计进行了系统地研究,并在加工技术方面取得了突破。孙强和孙月海[6]提出了一种能够实现凹凸齿廓啮合的S型齿廓少齿数齿轮,完成了几何建模与强度分析。文献[7-8]根据Yoerkie提出的非对称齿形的设计思路,对少齿数非对称渐开线直齿轮的设计方法进行了研究,分析了影响少齿数齿轮温度场分布的因素。但作为平行轴齿轮传动,由于少齿数小轮与大轮体积、强度的差异,应用范围受到很大的限制,很难实现大的传动比。

在少齿数锥齿轮设计方面,梁桂明等[9]利用“非零变位”的设计方法,把弧齿锥齿轮小轮齿数减少到2～3个。张金良等[10]利用虚拟节锥的方法探讨了小轮3～4个齿的准双曲面齿轮。文献[11-12]利用现代数字化设计分析技术,完成了非零变位锥齿轮的切齿实验验证。文献[13-14]对HRH齿轮的全工序法切齿加工技术进行了研究。谷艳华等[15]研究了正交直齿锥齿轮的非零变位,提出在特定设计条件下非零变位优于等移距变位。但在HRH齿轮几何设计、加工质量控制方面尚存在诸多瓶颈。基于此,本文在对准双曲面齿轮节锥演变规律的研究基础上,确立了节点纵向变位与刀盘半径的匹配关系,解决了HRH设计加工中3个关键问题:恰当的节锥、齿根角、刀盘等径控制。通过试验验证了所提出的等高成形法UF-F(Uniform depth formating)HRH齿轮制式。

1 准双曲面齿轮的节锥演化

准双曲面齿轮作为空间交错轴传动,其节锥由单叶双曲面近似而来,如图1所示。

图1 准双曲面齿轮的节锥

在设计上要求节锥相切于节点P,其滚动切触关系满足传动比,即

(1)

式中:z1、z2分别为为小轮和大轮齿数;R1、R2分别为小轮和大轮的节锥距;δ1,δ2分别为小轮和大轮的节锥角;β1、β2分别为小轮和大轮的螺旋角。由式(1)可以看出,给定齿数比z2/z1之后,等式右边6个参数(R2,δ2,β2;R1,δ1,β1)可以有无限多种组合。换句话说,对于给定的传动比,准双曲面齿轮的节锥不是唯一的。这种变化给了准双曲面齿轮几何设计广阔的空间。

从正交弧齿锥齿轮来看β1=β2,则式(1)为

(2)

当δ2=85°时,i12=11.43,这是刀盘不干涉情况下,弧齿锥齿轮所能达到的传动比极限。但对于准双曲面齿轮,无论i12多大,总可以找到δ2≤85°的节锥形式满足式(1)的要求。HRH齿轮设计的关键就是解决两个相切节锥的匹配与轮齿收缩问题。

2 轮齿收缩的演变规律

2.1 轮齿高度收缩与齿根角

齿高的收缩程度由大小轮的齿根角之和决定[16]。由于小轮的根锥角、面锥角根据大轮确定,因此在几何设计上只考虑大轮的齿根角θf2即可。因大轮采用双面法加工,其齿根角计算公式[16]为

基于目标站点的气温、气压、相对湿度、水汽压和风速标准化数据,进行逐日天气模态SOM训练。SOM分析中神经元个数由量化误差和拓扑误差共同决定(Alvarez-Guerra et al.,2008)。量化误差表示某一向量与其对应的最佳匹配神经元之间的平均距离,拓扑误差表示第一匹配神经元与第二匹配神经元之间不相邻的百分比,SOM最优尺寸的确定基于量化误差和拓扑误差数值最小原则。本文最终设置SOM竞争层神经元个数为20(4×5),对应20种主要天气模态。

(3)

式中:mmt为中点端面模数;α为齿形角;rc为刀盘半径。

从式(3)可以看出,模数mmt、螺旋角β2、压力角α作为预先确定的基本参数,不宜更改,而能够改变的是大轮节锥距R2和刀盘半径rc两个参数。因此通过R2和rc两个参数控制轮齿的收缩方式。

2.2 节点纵向变位原理

大的刀盘半径使齿根角、高度收缩增加,小端变浅,大端变深,小端齿厚相应增加,大端齿厚减小;反之亦然。因此,渐缩齿锥齿轮的刀盘半径同节锥距比值rc/R2的取值范围一般在[sinβ2,1]区间。

即,当rc/R2=sinβ2时,由式(3)计算出的齿根角θf2=0,渐缩齿演变为等高齿。

鉴于(R2,rc,θf2)之间的耦合关系,引入节点P纵向变位系数kp,变位后的节锥距为

R2=Rm+ΔR,ΔR=0.5b2kp

(4)

式中b2为大轮齿宽。

变位后节圆直径为

d2=de2-b2sinδ2(1-kp)

(5)

式中de2为大轮外端分度圆直径。

纵向变位相当于在设计时对节锥距提前修正了ΔR,如图2所示。

图2 纵向变位示意图

纵向变位不仅改变了图1中所示两节锥的相切位置,而且也会引起节锥角的改变,这样就为HRH齿轮几何设计提供了更大的发挥空间。kp取正,属正变位,节点向大端移动,齿根角减小,小轮外径增加;kp取负,反之。纵向变位系数kp对HRH轮齿几何的影响归纳如表1所示。

表1 纵向变位对齿轮几何形状的影响

根据二阶啮合界限函数的限制,准双曲面齿轮节锥设计要求纵向极限曲率半径ρlim收敛于刀盘半径[16],即

rc=ρlim

(6)

当实际刀盘半径不满足要求时,通过节点纵变系数进行调整。这样由刀盘半径、纵变系数两个参数(rc,kp)可匹配出恰当的HRH节锥和轮齿收缩方式。

3 锥齿轮设计节锥与切齿节锥

锥齿轮几何设计节锥为PH2O2,根锥为FOf2O2,如图3所示。切齿加工时,在展成齿面的同时要加工出齿根曲面,刀盘的刀尖平面与轮坯的根锥母线Of2F相切。

图3 锥齿轮的切齿节锥与设计节锥

产形轮与轮坯之间滚动的节锥实际上是过节点P的设计根锥的等距曲面,其母线为Hf2P。锥面PHf2O2称为切齿节锥。因此,对于渐缩齿锥齿轮,其切齿节锥与设计节锥是不一致的。如果把大轮和小轮装配在一起它们的刀盘轴线不平行(图3),也就是说产形轮无法对偶,其位错角Δ为

Δ=θf1+θf2

(7)

式中θf1为小轮齿根角。

为了使大小轮正确啮合,就必需对齿面进行修正,形成“局部共轭”点接触形式。

切齿节锥与几何节锥的分离,导致实际齿面与理论齿面的偏离。由欧拉-贝特朗公式可知,实际齿面与理论齿面沿齿高与齿长方向法曲率之间的关系为:

(8)

式中:Af,A0分别为节点P处纵向实际与理论的法曲率值;Bf,B0分别为节点P处齿高方向实际与理论的法曲率;Cf,C0是短程挠率;θfi为齿根角(i=1,2分别表示小轮、大轮)。

从产形轮看,刀具横向为直廓,B0、C0为零。则实际产形轮的纵向、横向曲率为:

(9)

当θfi≤2°时,Af→A0、Bf→0,实际齿面与理论齿面密切程度将非常高[17],齿根角愈大,两个实际齿面与理论密切性愈差,大小轮切触的共轭性愈差,齿面修正难度愈大。

准双曲面齿轮大轮的齿根角θf2一般在[0, 5°]区间。当齿根角θfi>2°时,HRH齿轮按渐缩齿设计;当θfi≤2°时,按等高齿设计。

4 计算实例验证

4.1 节锥与刀盘参数的匹配

HRH齿轮大轮节锥角控制范围 [65°, 85°],大于70°适合成形法加工,小于70°应该采用滚切法。从效率与精度控制两个目标考虑,HRH齿轮设计为等高成形法制式UF-F。

根据上述条件,完成3种齿数比HRH设计:

1) 齿数比5∶60的节锥、齿形匹配计算结果如图4所示。

图4 齿数比5∶60的UF-F制式域

在齿根角小于4°范围,节锥角有很宽泛的变化范围。满足UF-F制式的节锥角范围为70°～72.313°,齿根角范围为1.497 1°～2°,对应刀盘半径与节锥距比值rc/R2=0.597～0.634。

2) 齿数比3∶60的节锥、齿形设计计算结果如图5所示。满足UF-F制式的节锥角为70°～75.635°,齿根角范围为1.196°～2°,对应rc/R2=0.546～0.608。

图5 齿数比3∶60的UF-F制式域

3) 齿数1∶60计算结果如图6所示。满足UF-F制式的节锥角范围为75.54°～85°,齿根角范围为0～1.508°,对应rc/R2比值为0.57～0.66。

图6 齿数比1∶60的UF-F制式域

综合上述3种设计,发现刀盘与节锥距rc/R2比值存在0.597～0.608的交集(见图6),说明3种齿数比HRH齿轮能够采用相同的刀盘半径。对于标准化的弧齿刀盘,等径刀盘设计便利工程应用,但HRH齿轮几何计算复杂,等高成形法制式设计的参数匹配关系要求严格,需要通过优化求解寻找合适的可行域。

4.2 等径刀盘HRH几何设计

常规按照齿轮尺寸选择刀盘半径,导致所需刀盘系列多,给生产准备造成很大的不便,对于HRH齿轮这一现象尤为明显。等径刀盘设计,可以大幅度减少所需刀盘序列。基于这一思想,对本文3种齿数比的HRH齿轮,根据其UF-F制式,确定采用公称半径38.1 mm刀盘。

为了满足等径刀盘与齿轮几何的匹配关系,5∶60齿轮副采用-0.15负变位;3∶60齿轮副采用了0.05正变位。计算结果如表2所示。3种设计大轮齿根角均控制在2°以下,节锥角控制在70°～85°之间。

表2 3种齿数比的HRH齿轮基本几何参数

4.3 产品设计验证

针对上述完成的几何设计,试制了3∶60、1∶60两种HRH齿轮。图7为按照UF-F制式设计3∶60齿的HRH齿轮,在格里森磨齿机上完成磨齿加工、齿面修正,滚检形成的接触斑点如图7b)所示。图8为1∶60齿的HRH齿轮,齿面接触斑点如图8b)所示。目测齿形设计符合UF-F制式,椭圆形接触斑点均匀,啮合质量控制良好。

图7 齿数比3∶60的HRH齿轮

图8 齿数比1∶60的HRH齿轮

5 样品HRH齿轮的振动性能试验

搭建试验台如图9所示,利用m+p振动测试系统进行振动信号的采集和分析。为保证安装刚性和精度专门设计了箱体,加速度传感器安装在输入端轴承端盖的轴向、径向两个方向。试验样本齿轮为表2中所设计的3∶60、1∶60的HRH齿轮。

图9 振动测试实验台

试验两种转速1 500 r/min、3 000 r/min,两种载荷。3∶60齿轮加载扭矩20 Nm、50 Nm。图10为3 000 r/min、50 Nm振动的时域信号和频域分布。图11给出了各阶谐波的振动加速度。1 500 r/min 2倍频150 Hz最大加速度0.37 mm/s2,其他谐波较弱;3 000r/min前3阶谐波较强,最大加速度1.3 mm/s2,高阶谐波450 Hz以上明显减弱。

图10 3 000 r/min、50 Nm的振动信号分布

图11 齿数比3∶60的HRH齿轮振动谐波分析

1∶60的HRH齿轮载荷有10 Nm、80 Nm,其中3 000 r/min、80 Nm振动的时域信号和频域分布如图12所示。前6阶谐波信号较明显。图13为两种载荷两种转速试验得到的各阶谐波响应的振动加速度。图13表明:1 500 r/min 4倍频100 Hz最大加速度1.39 mm/s2,其他谐波较弱;3 000 r/min 2倍频响应较强,频率为100 Hz,最大加速度2.7 mm/s2。说明100 Hz为齿轮副响应频率,这主要与齿轮刚度、轴频调制因素有关。从上述试验看,在较宽转速与载荷范围齿轮副总体运转平稳,具有“静音”化效果。说明所设计HRH齿轮齿形关系正确,啮合相容性能良好。

图12 3 000 r/min、80 Nm的振动信号

图13 齿数比1∶60的HRH齿轮振动谐波分析

6 结论

在对准双曲面齿轮节锥、轮齿收缩几何演变规律的研究基础上,提出了基于节点纵向变位的等高成形法UF-F高减比准双曲面齿轮HRH几何制式的设计方法。

确立了刀盘半径、节锥角、轮齿收缩的耦合关系,随着刀盘半径与节锥距比值的增大,轮齿收缩程度减弱,大轮节锥角减小,小轮节锥角增大。解决了HRH齿轮设计中关键几何要素控制的关键问题。

确定了适用于UF-F制式的几何可行域范围。其中等径刀盘裕值范围的确定为工程应用提供了便利。

给出了3种HRH齿轮的UF-F制式设计,完成了齿数比3∶60、1∶60两种HRH齿轮的加工、接触斑点检验、动态性能试验。证明了本文提出的UF-F制式HRH齿轮设计的可行性。