基于比较融合的“实变函数”教学探究

郑前前 杨文杰

摘 要：“实变函数”是数学与应用数学专业的核心课程，本文主要运用比较融合的多层次探究理论，综合“实变函数”的课程特点，针对课程理论知识晦涩、内容体系与数学分析相关度高及应用程度低等问题，提出了教学实施方案。方案采用多种课堂对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解，培养学生分析、评价及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

关键词：实变函数；对等；比较融合

1 概述

“实变函数”是数学与应用数学专业核心课程［1］，由于其难学难教的课程特点，导致很少以“实变函数”课程作为教学改革对象进行研究。课题式教学可以有效地解决课程的完整性与课时数不足之间的矛盾［2］，但学生同样面临着很难理解一些抽象的概念。“实变函数”是“数学分析”的延续、深化与推广［3］，所以在教学過程中要结合“数学分析”厘清“实变函数”的主要脉络，把握其主要思想方法，进而达到培养学生抽象思维的课程目的。线上线下相结合、传统讲授式和讨论式相融合、比较法、举例法是目前探索“实变函数”讲授方式的几种方法［4］。实变函数理论在概率论中也有比较重要的应用，利用勒贝格积分解决一些实际概率问题，可以激发学生的学习兴趣［5］。同时根据各个知识点的特点，将数学思想、数学应用和数学之美等展现给学生，有助于提高学生的数学素养［6］，这是目前比较容易实现的一种途径。如结合“实变函数”的历史发展过程，将测度概念的形成、演变历程融入教学过程中，构建测度概念的探究式教学设计［7］，以及通过举例探讨集合表示法和集合分析法在“实变函数”相关内容教学中的具体应用［8］。总之，“实变函数”的教学方法探究还需进一步深化和延伸。

根据笔者近几年的教学经验及调查发现，学生在初次接触“实变函数”课程时，超过90%的学生认为证明题太多，过于抽象，难度很大。因此，“实变函数”课堂教学面临的一个非常大的困难和挑战是如何在抽象理论知识讲授的课堂中提高学生的兴趣和专注力。基于目前存在的问题，本文通过实际教学案例进行说明基于比较融合的“实变函数”教学探究过程。为进一步实现比较融合的多层次探究理论，本文综合“实变函数”的课程特点，针对课程理论知识晦涩、内容体系与数学分析相关度高及应用程度低等问题，提出了教学实施方案。方案采用多种课堂对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解，从实际问题出发，总结出生活中的数学问题，在解决数学问题的同时，可以巧妙地使用实例进行简单说明，为实际问题的解决提供了理论基础。

2 基于比较融合的“实变函数”教学探究

“实变函数”是一门专业基础课，旨在培养学生严格的科学思维能力，同时也是众多学科领域的研究基础，是学生接受科学研究的初步训练。在应用数学专业学生培养中，其前置课程为“数学分析”，后置课程为“泛函分析”，可见“实变函数”在数学学习中的重要性及抽象性。这就要求学生具备一定的抽象思维能力，而对于大部分学生而言，他们更倾向于形象思维。基于比较融合的“实变函数”教学方法是以熟知的知识点或者场景为出发点，把抽象及难以理解的概念具体化。也就是在一个新的概念提出之后，根据现有的实例进行分析，如在可测集的学习过程中，在可测集的交、并、补、差及极限都对可测集进行了大量的证明，其过程比较复杂，理解也有一点的难度。但是我们在可测集中同样可以提出集合的四则运算（交、并、补、差），基于书中的介绍，可测集四则运算及极限是封闭的。虽然学生对于可测集的四则运算都是可测集这样的概念，理解上可能有点困难，但加上封闭这个概念之后，学生就可以迅速理解可测集的性质，这些方法在教学过程中得到了验证。再如后续的勒贝格可测函数及勒贝格可积函数都可以推广此种方法，因为在这些知识点中同样涉及四则运算。当然，比较融合的“实变函数”教学方法不局限于新旧知识之间的对比，还有抽象概念与具体事物的对比，如对等的概念，在“实变函数”中是两个集合之间存在着一一对应的关系，而在实际生活中所用的地图其实也和现实中的地理环境存在着一一对应发热关系，这样才能定位准确。在一定意义上数学建模的过程就是建立实际问题与数学模型之间的对应关系，也可以看成是对等的关系。通过此种方法进行教学可以使学生从形象的具体事物中理解抽象的数学概念，不仅可以提高学生的应用能力，还可以进一步激发学生的学习乐趣，进而实现比较融合的教学目的。

为了解决抽象思维与形象思维的统一，本文以“实变函数”中“对等与基数”这节课为例对基于比较融合的“实变函数”教学方法进行探究。“对等与基数”这节课是“实变函数”后续研究的基础，是建立无限集合之间关系的桥梁。本节课在知识、技能方面需要进一步掌握映射、对等的相关概念及其应用，进而形成独立学习能力和自我完善能力。基于这一目标，课程设计如下：

在回顾上一节集合元素多少的基础上，提出目前集合中存在的问题：对于有限集合，两个集合中元素的个数很容易得到，并可以进行比较大小；对于无限集合，由于无法算出元素的个数或者说每个无限集合都有无穷个元素，那么如何比较两个无限集合元素的多少呢？这是本节需要解决的一个问题，对于这样的一个问题，可以通过一个实例进行说明：细胞和地球都可以看成一个集合，那么这两个集合中的元素就可以进行加以比较。如何比较呢？把细胞和地球都可以看成一个球体，进而看成一个圆，最后细胞和地球这两个集合元素比较的问题就转化为了两个同心圆上元素比较的问题。在这个转化的过程中，实际上就是数学建模的过程，使学生学以致用，引导学生利用知识解决实际问题，培养学生勇于探索、大胆应用的科学精神，增强学生的团结协作意识。这个转化过程也进一步减弱了“实变函数”的枯燥程度，增强了学生学习的好奇心，更进一步激发了学生的学习乐趣。

3 基于比较融合的“实变函数”教学实例展示

在课程引入之后，本设计首先给出映射的概念，以便后续定义对等的概念。

定义1 设A，B是两个非空集合，若依照对应法则f，对x∈A，均存在B中唯一的y与之对应，则称f为A到B内的一个映射，记作f：A→B，其中A为f的定义域。对EA，则称f（E）=f（x）：x∈E为E在f下的像集；对FB，则称f－1（F）=x：f（x）∈F为F在关于f下的原像。

定义2 设f：A→B，则称f为

单射：x，y∈A，若f（x）=f（y），则x=y。

漫射：y∈B，存在x∈A，使得f（x）=y。

既是单射又是满射的映射称为一一映射（双射）。

定义3 设f为A到B内的一个一一映射，则对y∈B，存在唯一的x∈A，使得y=f（x），称σ（x）=y，σ：B→A为f的逆映射，记作σ=f－1：B→A。

定义4 设f：A→B，g：B→C，称ρ（x）=g（f（x））定义的映射ρ：A→C为复合映射σ（x）=y，记作ρ=g°f：A→C。

那么如何快速理解映射的概念呢，本文以弓箭射靶为例。首先假设每一次射箭都会射中箭靶，而且任意两支箭都不会射到同一位置；然后假设有一壶弓箭A，同样把所有的箭靶看成B，接着把所有的弓箭射完；最后观察弓箭和箭靶情况。如果每一个箭靶上最多只有一支弓箭，则称为单射；如果每一个箭靶上均有弓箭，此时为满射；如果每一个箭靶上有且仅有一支弓箭，则称为一一映射。另外，弓箭为原像，有弓箭的箭靶为像。对于逆映射的理解，就相当于每个箭靶上当且仅当只有一支弓箭的时候，拔掉弓箭的过程可以认为是一个逆映射。换句话说就是拔掉弓箭是射箭的一个逆过程。而复合映射则可以理解为一支弓箭穿过一层箭靶到达了另外一个箭靶之上。本文以实际生活中的案例与映射的相关概念进行对比，可以让学生身临其境地理解相关数学概念，在其他“实变函数”章节教学过程中同样可以应用这样对比的方法进行教学。

在理解映射的基础上给出对等的定义：

定义5 设A，B是两个非空集合，若在f为A到B内的一个一一映射，则称A与B对等，记作A～B。同时称与A对等的集合为与A有相等的基数，记作A=。

注：对于有限集合而言，对等的概念很好理解，两个集合之间存在着一个一一映射，那么这个映射关系完全可以按照顺序进行一一配对，进而建立符合要求的映射关系。同时两个集合具有相等的基数，也就是两个集合中的元素个数相等。对于两个无限集合而言，对等关系的建立就要严格按照定义进行。在本文中，两个无限集合存在着一一映射的关系，在广义上就可以理解为两个集合具有相同的元素个数，但是这个集合的具体元素个数无法确定，如所知的可数集和不可数集。

按照定义5可以得到对等的以下性质：

（1）反身性A～A；（2）对称性A～BB～A；（3）传递性A～B，B～CA～C。

注：反身性可以理解为任何集合A都存在一个恒等映射使得集合A到集合A的映射满足一一映射的关系，所以集合A与集合A是对等的且有相等的基数；對于对称性，A～B意味着集合A与集合B之间存在着一一映射的关系f且A==B=（弓箭数量和箭靶数量一样多，每个箭靶上当且仅有一支弓箭），而一一映射f的逆映射f－1也是一一映射（箭靶数量和弓箭数量一样多，每个箭靶当且仅当对应一支弓箭），所以B～A且B==A=；而对等的传递性则可以应用复合映射进行解释，A～B，B～C意味着存在一一映射f：A～B和g：B～C，并满足A==B==C=，而复合映射f°g：A～C也是一一映射，即有A～C（这里可以假设是双重箭靶，一支弓箭穿过一层箭靶到达了另外一层箭靶之上，此时第一层箭靶可以认为是中间过程，可忽略不计，即h=f°g是一支弓箭直达一个箭靶的映射）。

那么是否还有其他方法可以判断两个集合的对等关系，本文在这里给出伯恩斯坦定理：

定理1 设A，B是两个非空集合，如果A对等于B的一个子集，同时B又对等于A的一个子集，那么A～B。

注：这个定理主要应用于无限集合的证明；在大部分“实变函数”教程中，对于伯恩斯坦定理的证明都使用了构造性证明，众所周知构造性证明是一种很高级的证明方法，同时依赖于经验的积累，对于初学者而言具有很大的困难。实际上，从定理的描述中可以发现A对等于B的一个子集可以理解为A=SymbolcB@

B=，同时B又对等于A的一个子集，则有A=B=，最后可以推出A==B=，A==B=意味着两个集合的元素相等，即有弓箭和箭靶的数量相等，可以建立一一映射的关系，故而存在对等的关系。

在给出了以上概念的基础上，考虑以下几个例子：

例1 比较大小，比较集合A=（0，1），B=（0，1］，C=［0，1］及实数集R=

）的基数大小关系。

解：因为AB，易知A=SymbolcB@

B=，同时存在一个一一映射f=1+x3使得B=（0，1］对等于（13，23］，而（13，23］A，所以A=B=，即有A==B=；同理BCB=SymbolcB@

C=存在一一映射f=1+x3使得C与［13，23］A对等，进而得到B与C对等，即B==C=。总结可得A==B==C=。最后比较A与R基数的大小，此时可以找到一个一一映射函数g=tan（12－x）π，使得A与R对等，即A==R=，综上可得A==B==C==R=。

注：对于对等概念的学习，不可仅凭经验进行臆断，需要严格按照一一映射及伯恩斯坦定理的概念进行。此例在中学阶段已是常见的集合比较问题，再次列出主要出于知识框架的比较，随着知识的学习，常见的实例也会出现新的问题，这也是常学常新的一个例子。

例2 同心圆问题

现在回到问题的初始点，同心圆问题，大圆和小圆可以建立一个一一映射关系f：（Rsin（θ），Rcos（θ））→（rsin（θ），rcos（θ）），即对于大圆上存在的任意一点（Rsin（θ），Rcos（θ））总是当且仅当对应小圆上的一点（rsin（θ），rcos（θ）），故而大圆和小圆对等，有相同的基数，进一步可以推广到大球和小球的问题，最后归结到细胞和地球的问题，到此也就解决了细胞和地球的问题。当然这样的对等关系也可以推广到其他的应用方面，如空间的维度、地图的绘制等。

注：从实际问题出发到提出数学问题，进而解决数学问题，最终又回归到实际问题的解决。这也是一种实际问题和理论问题不同维度的碰撞和比较，总的方向是理论的推动和问题的解决。

4 总结

如何将理论比较及线上线下教学法融入“实变函数”课堂教学中，实现“实变函数”与工程各专业的融合，强化“实变函数”为专业服务的工具性作用，这是一个很关键的问题。由于专业背景的不同，了解不同专业的知识，需要一个积累的过程，也需要任课教师具有一定的学习能力，同时能够把专业知识、网路资源、实际案例融入“实变函数”的教学过程中。另外，实变函数知识點比较零散，概念比较多，很难形成一个完整的知识体系，导致学生学习比较困难，这就需要进一步完善现有的知识体系框架，将不同知识的共同点抽象出来，进而连成一条线，形成固定的知识面。当然，在这个知识面形成过程中需要不同的实际案例进行支撑，进而实现“实变函数”的具体化。

为进一步实现比较融合的多层次探究理论，综合“实变函数”的课程特点，针对课程理论知识晦涩、内容体系与数学分析相关度高及应用程度低等问题，提出了教学实施方案。方案采用多种课堂对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解；从实际问题出发，总结出生活中的数学问题，在解决数学问题的同时，可以巧妙地使用实例进行简单说明，为实际问题的解决提供了理论基础，从而达到培养具有分析、评价及质疑的能力的创新人才的目的。

参考文献：

［1］江泽坚，吴智泉，纪友清.实变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］曹广福.实变函数课题式教学研究［J］.数学教育学报，2021，30（02）：3237.

［3］奚李峰，蒋侃.“实变函数”课程的教学研究与实践［J］.宁波教育学院学报，2020，22（06）：116120.

［4］李雪华，李冱岸.“实变函数”课程混合式教学模式的探索与实践［J］.教育教学论坛，2022（12）：100103.

［5］郑前前，杨文杰.概率论在实变函数教学中的应用［J］.科教导刊，2022，（08）：123125.

［6］王诗云.实变函数课程教学对学生数学素养培养的探索［J］.大学教育，2021（12）：9294.

［7］于伟波，李亚亚.实变函数中测度概念的探究式教学［J］.大学数学，2020，36（05）：8387.

［8］方益.实变函数中的集合论方法应用［J］.高等数学研究，2021，24（01）：7173+76.

基金项目：河南省高校科技创新人才支持计划（22HA STIT018）；许昌学院教研项目（XCU2023YB48，XCU2022YB20，XCU2022KCSZ042）

作者简介：郑前前（1988— ），男，汉族，河南周口人，博士，博士后，研究方向：非线性动力学及控制，线性代数、实变函数与泛函分析教学教法研究；杨文杰（1984— ），女，汉族，河南许昌人，博士，研究方向：力学与一般力学、高等数学教学教法研究。