6-RUS并联机构动力学建模与分析

苏勃赫 周万勇 石婉莹 张文瑞 张琦

摘  要：提出一种可以作为多自由度隔振平台良好构型的6-RUS并联机构，通过矢量求导法得到速度雅可比矩阵，利用动能定理求解并联机器人质量矩阵，对由N个刚体组成的系统与刚性杆分别进行虚功分析，并采用此方法对该机构进行动力学建模与分析。代入结构参数进行数值仿真，得到6-RUS并联机构三维仿真图和驱动力矩。研究结果为后续实现对多自由度隔振平台的动力学实时控制提供了理论依据。

关键词：并联机构；雅可比矩阵；虚功原理；动力学建模

中图分类号：TP391.9；TH113.2  文献标识码：A  文章编号：2096-4706（2023）06-0143-06

Dynamic Modeling and Analysis of 6-RUS Parallel Mechanism

SU Bohe， ZHOU Wanyong， SHI Wanying， ZHANG Wenrui， ZHANG Qi

（School of Electornic and Control Engineering， North China Institute of Aerospace Engineering， Langfang  065000， China）

Abstract： A 6-RUS parallel mechanism that can be used as a good configuration for a multi-degree-of-freedom vibration isolation platform is proposed. The velocity jacobi matrix is obtained by the vector derivative method， the parallel robot mass matrix is solved by using the kinetic energy theorem， the system consisting of N rigid bodies with rigid rods is analyzed for virtual work separately. And this paper uses this method to product dynamic modeling and analysis of the mechanism. The structural parameters are substituted for numerical simulation to obtain 3D simulation diagram and driving moments of the 6-RUS parallel mechanism. The research results provide a theoretical basis for the subsequent realization of the dynamics real-time control of the multi-degree-of-freedom vibration isolation platform.

Keywords： parallel mechanism; jacobi matrix; principle of virtual work; dynamic modeling

0  引  言

相對于串联机构而言，并联机构采用多支链驱动方式，结构稳定紧凑，有着较好的动力学特性，能够实现多个输入与输出，其具有的多种优点成为实现多自由度隔振的良好构型。但并联机构是一个多自由度的非线性系统，其动力学分析模型由于自身闭环特性而变得比较复杂，具有多变量、多参数耦合等特征。

动力学建模在并联机构动力学研究中扮演着重要的角色，动力学分析是机构控制、结构设计等的基础，并且相对于运动学分析而言，动力学分析可以在一定程度上提高机构的运动精度。Dasgupta和Mruthyunjaya对六自由度Stewart并联机构，采用Newton-Euler建模法，推导出其动力学方程；Geng利用拉格朗日法建立了Stewart平台的动力学模型；王英波等采用凯恩法构造出Stewart平台的单刚体动力学模型。

本文以6-RUS并联机构为隔振平台构型，在6-RUS机构运动学正、逆解算法已经完备的基础上，采用虚功方法建立该机构的动力学方程，其动力学模型的建立对后续分析6-RUS机构稳定性、拟定控制方案等有着重要的意义。

1  机构说明及坐标系建立

6-RUS并联机构三维装配图如图1所示，其中R代表转动副，U代表虎克铰，S代表球副，其机构比较直观的静、动平台图如图2所示。该机构由基座（定平台）、运动平台（负载平台）和六条无约束RUS支链组成。通过控制该机构并联的六条支链驱动大小，可以使得动平台相对静平台产生六个自由度的运动，即能够沿着X，Y，Z作平移运动，绕着X，Y，Z作旋转运动。基于6-RUS机构特点建立基座与运动平台的坐标系。以基座中心为原点，建立定平台坐标系OB-XBYBZB，，（i=1，2，…，6）为定平台6个铰点相对于定平台坐标系的矢量，定平台半径OBAi=rB，αBi是OBAi相对于YB的夹角，γi是第i个电机的轴向相对于YB轴的夹角，θi是电机转角；以运动平台中心为原点，建立动平台坐标系OM-XMYMZM，，（i=1，2，…，6）为动平台6个铰点相对于动平台坐标系的矢量，动平台半径OMPi=rM，αMi是OMPi相对于YM的夹角。主动支链长度AiBi=l1，被动支链长度BiPi=l2，将运动平台的偏转角定义为绕Z轴旋转α，绕Y轴旋转β，绕X轴旋转γ。

2  动力学建模

2.1  运动学分析

6-RUS并联机构运动平台相对于基座的位置姿态{x， y， z， α， β， γ}用齐次坐标变换矩阵可以表示为：

（1）

其中，运动平台的姿态用欧拉角可以写成：

（2）

式中：，，以此类推。

设动平台转动角速度为Ω，则可得：

（3）

式中：，

其中S为向量Ω的叉乘反对称矩阵。

定平台铰链坐标：

（4）

考虑到第i条支链，动平台铰点pi，该点在定平台坐标系中的坐标为pi，则：

pi=X+Rpi （i=1，2，…，6）                          （5）

其中pi可以表示为：

（6）

解得：

（7）

支链关节点坐标：

（8）

支链关节点速度：

（9）

支链关节点加速度：

（10）

（11）

（12）

siTsi=L2B=0                              （13）

（14）

将式（5）对时间求导得：

（15）

（16）

由si=PiBi=Bi-Pi可知：

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

将上式整理，容易得到：

（22）

式中：

（23）

（24）

将式（22）等式左右两边乘以Jc的逆矩阵，得到：

（25）

将Ja和Jc分别代入式（25），得到：

（26）

由式（26）得到6-RUS机构运动平台的雅可比矩阵Jn，表示为：

（27）

即已知驱动速度 ，则可以求解得到动平台速度 。因此，式（16）可以表示为：

（28）

动平台铰链点雅可比矩阵很容易得到：

（29）

由式（16）分析可知，从动臂上端铰链点速度为：

（30）

由式（9）可知，从动臂下端铰链点速度为：

（31）

（32）

则在6-RUS机构6条支链中，每条支链从动臂下端铰链点速度为：

（33）

（34）

（35）

（36）

（37）

（38）

因此，可以得到從动臂雅可比矩阵：

（39）

（40）

（41）

（42）

（43）

（44）

由  可知：

（45）

由  可知：

（46）

由si=PiBi=Bi-Pi可知：

（47）

将式（47）代入式（45），得到：

（48）

将式（48）整理，得到：

（49）

将式（49）展开：

（50）

由式（50）很容易得到6-RUS并联机构运动平台的加速度，包括动平台移动加速度  和动平台角加速度 。

进而可以求解得到动平台铰链点加速度，即式（46）得到求解。

2.2  6-RUS并联机构质量矩阵

在动力学分析中，该方程对所有机器人都适用：

（51）

式中，τ为关节驱动力矩（N，m），q为输入角度（rad）， 为输入端角速度（rad/s）， 为输入端角加速度（rad/s2），M（q）为机器人的广义质量矩阵， 为速度项力矩，包含离心力和科氏力，G（q）为广义重力项力矩。

利用动能定理求解并联机器人质量矩阵M。通过对一个刚体使用动能定理，推导得出：

（52）

式中，vi为刚体i的质心速度（m/s），ωi为刚体i的质心角速度（rad/s），mi为刚体i的质量（kg），Ii为刚体i的转动惯性张量（kg·m2）。

并联机器人的动能由所有组成部分的动能累加得到：

（53）

通过雅可比矩阵，刚体i的速度可以由关节驱动输入速度  来表示：

（54）

将式（52）和式（54）代入式（53），得到动能定理表达式：

（55）

由此，能够得到并联机器人质量矩阵：

（56）

对于刚性杆，杆长为L，沿刚性杆的速度v（x）可以表示为：

（57）

系统内各个组成部分的动能公式如下所示：

（58）

式中，S为刚性杆的横截面积（m2），ρ为刚性杆的密度（kg/m3），dx为沿杆件方向的单位位移（m）。

则刚性杆动能可以表示成：

（59）

化简可得：

（60）

刚性杆两端的速度雅可比矩阵用J1和J2来表示，代入式（60），经过变形即可得到刚性杆质量矩阵贡献：

（61）

6-RUS并联机构质量矩阵由动平台、主动臂、从动臂三部分质量贡献总和组成，表示为：

M=Mn+Ma+Mf                                                （62）

式中，Mn为动平台质量矩阵，Ma为主动臂质量矩阵，Mf为从动臂质量矩阵。

运用式（56），可求出动平台质量矩阵：

（63）

式中，E3为三阶单位矩阵，In为动平台和负载的惯性张量，mn为动平台和负载质量之和（kg）。

主动臂对质量矩阵的贡献可表示为一个矩阵：

（64）

式中Ib1=Ib2=Ib3=Ibi，。

Im为驱动电机的惯量（kg·m2），mb为主动臂的质量（kg），mc为球铰的质量（kg）。

由式（39）～（44）可知从动臂雅可比矩阵，根据式（61）计算每条从动臂质量矩阵，表示为：

（65）

式中，mab为从动臂的质量（kg）。

因此，6-RUS并联机构的质量矩阵可以表示为：

（66）

2.3  基于虚功原理的动力学方程

（1）对于由N个刚体组成的系统来说，虚功原理可以表示为：

（67）

整理，得到：

（68）

式中，mi为刚体i的质量（kg），Ii为刚体i的惯量（kg·m2），Fi为刚体i受到的外力（N），Ti为刚体i受到的外力矩（N·m）， 为刚体i质量中心的加速度，ωi为刚体i的角速度（rad/s）， 為刚体i的角加速度（rad/s2），δxi为虚位移，δφi为虚位移。

将虚位移用雅可比矩阵Ji与关节空间变量位移相乘的结果来表示，代入式（68），再将等式两边同时除以δq，那么式（68）可以写成：

（69）

（2）对于刚性杆来说，虚功原理可以表示成：

（70）

式中，δx为虚位移，，δ1，δ2表示杆两端的虚位移；a（x）为杆的加速度（m/s2），a（x）=（1-x / L）a1+x / La2，a1，a2表示杆两端的加速度。

故式（70）可写作：

（71）

将虚位移转化为关节空间变量的虚位移并化简后得：

（72）

杆件两端的速度与动平台和主动臂的速度密切相关，则已知杆件两端速度，该方程可解。

2.4  6-RUS并联机构动力学模型

6-RUS并联机构满足如下关系：

（73）

式中，τn为动平台的力矩贡献（N·m），τb，i为主动臂i的力矩贡献（N·m），τab，i为从动臂i的力矩贡献（N·m）。

动平台的力矩贡献为：

（74）

式中，，其中，g为重力加速度（m/s2）。

由于主动臂只有旋转运动，所以主动臂的力矩贡献为：

（75）

式中，τ为每个电机施加的驱动力矩（N·m），Gb为主动臂重力的力矩贡献（N·m）。

其中，

式中，mbr=mb+mc；。

每条从动臂的力矩贡献由式（72）可知：

（76）

最终，6-RUS并联机构动力学模型如式（77）所示：

（77）

3  动力学数值仿真

设6-RUS并联机构的结构参数值：主动支链长度AiBi=l1=150 mm，被动支链长度BiPi=l2=500 mm，定平台半径rB=250 mm，动平台半径rM=100 mm，αBi={190°， 290°， 310°， 50°， 70°， 170°}，αMi={220°， 260°，340°， 20°， 100°， 140°}，γi={180°， 300°， 300°， 60°， 60°， 180°}，动平台和负载质量mn=6.5 kg，动平台和负载的惯性张量In=diag（0.2， 0.2， 0.1） kg·m2，主动臂质量mb=8.5 kg，从动臂质量mab=3.5 kg，球铰质量mc=2.5 kg。

代入相关结构参数，求解6条RUS支链的支链关节点与动平台铰点在定平台（基座）下的位置坐标，通过数值仿真，绘制出6-RUS并联机构三维结构图，如图3所示。利用虚功原理方法建立6-RUS机构的动力学模型，图4所示为安装在基座上的6个电机所施加的驱动力矩，其中T1=-15.123 5，T2=-37.866 2，T3=5.694 2，T4=-3.470 9，T5==-31.835 2，T6=-3.339 3。通过运动学正解算法求解得到运动平台的位置和姿态，代入到建立的动力学模型中，计算得到力矩，为6-RUS并联机构的动力特性分析奠定理论基础。

4  结  论

提出了一种6-RUS并联机构，该机构结构紧凑，有着较好的动力学特性，因此可作为多自由度隔振平台的良好构型。基于虚功原理对6-RUS机构进行动力学建模与分析。该方法与Newton-Euler建模法、Lagrange法相比较，计算过程相对简单，是一种高效的动力学建模方法，而且在不同结构的并联机器人动力学研究中适用性更为广泛。6-RUS并联机构动力学建模的研究对后续分析机构稳定性、进行机构优化，并采用控制策略使得被控对象达到期望的实时控制效果等有着重要的意义。

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作者简介：苏勃赫（1996—），男，汉族，河北张家口人，硕士研究生在读，主要研究方向：工业机器人系统设计；通讯作者：周万勇（1971—），男，汉族，北京人，副教授，博士，主要研究方向：工业机器人系统设计。

收稿日期：2022-09-10