在双向描述中培养小学生的空间观念

刘梅 白进伟

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。在小学阶段，图形的认识是从点的认识一直到圆柱的认识，经历了从一维图形到二维图形再到三维图形的学习，遵循了学生的认知规律，培养学生的空间观念。在教学中，怎样培养小学生的空间观念，笔者以“认识圆柱”为例，做一些探讨。

一、在双向描述中，抽象图形

图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的。从小学到中学，对同一个或同一类图形的认识，经历了从辨认到认识，再从认识到探索并证明的三个学段的学习。

认识圆柱，经历了从辨认到認识两个阶段的学习，无论是辨认还是认识，均要构建生活中的物体与抽象图形的关联，并在双向描述中培养学生的空间观念。在一年级的学习中，让学生把形状相同的物品放在一起，从直观上描述这些圆柱形物品在材料、用途、大小等方面各不相同，接着教师提出，除了观察这些物品的“不同点”，还要观察这些物品的什么？启发学生想到观察这些物品的“相同点”。此时教学就转向从具体到图形表象的抽象过程，为此调动学生的视觉、触觉、听觉感知圆柱形物品上、下或左、右或前、后两个面的形状、大小及位置关系，感知圆柱形物品曲面的形状、大小，感知圆柱形物品曲面与上、下或左、右或前、后两个面的位置关系，从整体上构建物品与抽象图的关系，在学生头脑中直观地抽象出圆柱表象，初步建立空间观念。皮亚杰说过：“空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程。”由此，设计辨认哪些物品是圆柱，设计描述圆柱的表象，设计用学习的材料如橡皮泥做出所描述的物品，评价学生是否在头脑中建立起圆柱的模型图。这种双向教学思想，一直延续到了五、六年级认识立体图形的学习中。如到了六年级认识圆柱，呈现现实生活中的圆柱形建筑物和生活用品，通过观察、比较它们的相同点，唤醒学生对圆柱的认知，在描述“面”的形状、大小及位置关系时，体会从具体到抽象的空间想象过程；为增强学生空间观念，让学生再把抽象的圆柱具体化，描述生活中的哪些物体是圆柱。在双向描述中，不仅抽象出图形，更重要的是发展了学生的空间观念。

二、在双向描述中，概括特征

数学思维包含找寻关联、建立联系和数学理解，不能建立联系，学生就要学习和记忆太多的独立的概念和技能。有了相互间的联系，他们就能在以前知识的基础上建立更新的理解。

当学生构建圆柱的“模型图”后，接下来，要学习圆柱的什么知识？让学生带着问题深入思考，如果学生的思维受阻，教师引导学生厘清新旧知识的关联，依图寻本，延伸认知，完善结构。

从哪些方面学习圆柱？圆柱是立体图形，圆柱和已经学过的哪些立体图形有关联？已经从认识和测量两个方面学习了长方体，那么要从哪两个方面学习圆柱？今天这节课学习圆柱的特征，为什么要从“面”的角度认识圆柱的特征？一系列高阶问题的提出，能有效促使学生主动将原有经验和新知进行对比、分析，扩充原有的知识结构，想到用同化的方式认识圆柱的特征，此时学生学习的思维清晰可见。在学习的过程中，学生很容易归纳出圆柱由两个底面和一个侧面组成的，两个底面是大小一样的圆形，圆柱有无数条高，这些显性基本的知识固然重要，但更重要的是引导学生构建圆柱与圆、长方形、正方形、平行线、平行线之间的距离等知识的联系，再根据它们的关联推理出圆柱隐性的属性特征，由此引导学生有序观察，观察两个底面，两个底面的大小为什么一样大？两个底面所在的平面为什么是平行的？圆柱的高为什么有无数条？圆柱的高为什么同时垂直于两个底面的直径？观察圆柱的侧面，是曲面，可以展开在一个平面上吗？侧面展开后可能是什么图形？学生在描述以上问题的过程中，数学思维从三维图形转化为二维图形，又从二维图形转化为一维图形，从整体上认识了圆柱，概括出圆柱的特征，增强学生空间观念的发展。

三、在双向描述中，评估目标

要保证所有的学生能深入并高质量地学习，评估和教学必须结合起来。一节课中，教师应该清楚地知道已教了什么及学生学了什么，使得评估与教学目标相呼应。

根据教学内容范围的大小，小学数学教学目标可分为六个级别。作为小学数学教师要从单元的角度设置单课的目标。即：教学前，指向核心素养导向下分析单元教学目标后，再统筹单元内容，整合板块，分解重难点，设计单课教学目标。如，学习“圆柱与圆锥”，不仅习得有关圆柱、圆锥的基础知识和基本技能，更重要的是发展学生的空间观念，帮助学生建立几何直观，培养学生的模型意识、推理意识及应用意识，体会数形结合、转化、极限、变中不变等数学思想，彰显育人的价值。由此，评估“认识圆柱”这节课的课堂教学目标，教师可选择不同的评估技术进行评估。

评估1：评估学生应用程序性知识的情况。

评估学生对圆柱特征认识和描述，不是单一的判断哪些图是圆柱？哪些图不是圆柱？而是要用分类的思想把这5个图分为两类，第一类是第1、3、5图，第二类是第2、4图。第一类的3个图有什么不同点？有什么共同点？第二类的2个图为什么不是圆柱？这两类图有什么关联？通过描述，巩固学生对圆柱本质特征的理解，用转化的方法构建两类图的联系，并拓展了圆柱的知识。为发展学生的实践能力，把抽象的圆柱具体化，让学生根据以上两类几何图形想象并描述出生活中的实际物体，或课后你能设计一个包含圆柱、具有对称性的作品吗？教学拉长学生的思考，不仅促进学生空间观念的发展，同时也体现出跨学科的教学思想。

评估2：评估学生把数学应用于复杂或新情境的能力。

如果从静态观察、想象，学生就能直观感知出上图第2、3个图分别以长方形的长、宽为边旋转得到的两个圆柱。要让学生真正体会从“面”到“体”的空间转换，教师追问，这两个圆柱是怎样得到的？教学从静态思维转向为动态思考，以显促隐，从运动变化的观点组织学习，让学生初步体会点、线、面、体之间的转换，直观沟通长方形的长或宽与圆柱底面半径的关系，长方形的宽或长与圆柱高的关系，长方体与圆柱的关系。显然，在旋转中想象图形，在想象中描述一维图形与二维图形的关联，在描述中画出二维图形与三维图形的关联，促进学生空间想象能力的发展，提高学生对圆柱特征的理解。

通过评估，了解学生达到教学目标的进展情况，为最大发挥评估在教学上的作用，教师需要从对学生解答过程中表面的对错分析转向学生在解答过程中的思维过程分析，帮助学生往正确的方向努力。

认识图形，让学生经历情境——图形——特征——评价的学习过程，在情境表征、图形表征、操作表征、语言表征的相互转换中，实现一维、二维、三维的空间转换，使发展学生的空间观念真正落实于课堂。

【注：本文系“2021年度云南省教育科学规划基础教育专项项目《基于新课程标准的小学数学教学改进实践研究》（项目批准号BFJC21023）”“2022年度普洱市教育科学规划重点课题《多元表征下小学数学概念理解过程的实证研究》（课题立项编号22Z007）”的阶段性研究成果。】