金孝忱
在近几年的高考数学试题中,导数问题往往以压轴题的形式出现,这类问题的难度较大,侧重于考查同學们的逻辑推理、分析和运算能力.那么,如何破解这类问题呢?下面介绍三个技巧.
一、虚设零点
在判断函数f(x)的单调性时,我们经常会遇到f'(x)的零点不可求的情形,此时可先判断f'(x)零点的存在性,并求出其范围;再虚设零点,通过代换来判断出函数的单调性,化简函数的极值.该方法常用于解答与导数有关的隐零点问题、不等式问题、最值问题等.
二、二(多)次求导
对于一些含有指数式、对数式的导数问题,求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性,也就不能进一步求得函数的极值、最值.此时需要对函数进行二(多)次求导,进一步确定导数的正负性,从而判断出原函数的单调性.
第一问比较简单,根据导函数与函数的单调性之间关系,即可判断出函数的单调性.对于第二问,要对参数倪的取值进行分类讨论,中间需要多次构造函数,进行多次求导,以根据导函数的正负判断出函数的单调性,进而求得原函数的值域.
三、构造同构式
有时通过等价变形,可将方程、不等式左右两端的式子变为结构一致的式子,即同构式,便可根据同构式的结构特征构造函数.然后对函数求导,运用函数的单调性来解题.同构法较为灵活,需仔细观察代数式的特点,对其进行合理的变形,从中发现,或通过类比、分析,找出同构式,以利用同构式,寻找新的解题途径.
除了上述三种技巧,解答导数问题的技巧还有数形结合、参变量分离、整体换元、放缩等,同学们需在练习时总结方法、技巧.由于导数问题较为复杂,有时解答一道题往往要用到多种方法.