时间序列分析课程理论与实践教学探索

唐立　吴锦标

摘  要：时间序列分析学科发展迅速，应用广泛，对该课程的教学提出挑战。时间序列分析课程是统计专业的核心课程，既需要培养学生的理论研究能力，又需要培养学生的实践动手能力，如何在有限的学时内实现这一教学目标，是一个值得不断探索的课题。该文从理论课堂学时与实践课堂学时配置、理论知识和应用方法内容的配置，以及理论部分考核和实践部分考核的配置几个方面进行探讨，提出具体的安排和建议，为时间序列分析课程教学改进提供参考。

关键词：时间序列分析；教学内容；理论课堂；实践课堂；教学目标

中图分类号：G642        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）17-0115-04

Abstract： The rapid development and wide application of Time Series Analysis have challenged the teaching of this course. The course of Time Series Analysis is the core course of Statistics. We need to cultivate students' theoretical research ability and practical ability. How to achieve this teaching goal in a limited class hour is a topic worth exploring. This paper discusses the allocation of theoretical class hours and practical class hours， the allocation of theoretical knowledge and application methods， and the allocation of theoretical part assessment and practical part assessment， and puts forward specific arrangements and suggestions to provide reference for the teaching improvement of Time Series Analysis.

Keywords： Time Series Analysis; teaching content; theoretical classroom; practical classroom; teaching objectives

現代社会靠什么来精准认识世界的各种规律？靠数据！数据分为静态数据和动态数据，所谓静态数据是指与时间无关的数据，而动态数据当然是指随时间变化的数据。静态数据分析，我们一般通过多元统计分析等课程来学习，而动态数据分析的学习就是依赖于时间序列分析等课程。时间序列分析分为确定时间序列分析和随机时间序列分析，而随机时间序列分析是大学本科课程教学的重点，是我们这篇文章将要讨论的中心，下面简称其为时间序列分析。

作为统计学科重要的分支，时间序列分析起源于20世纪30年代，以G.U.Yule提出的自回归模型和G.T.Walker提出的移动平均模型和混合模型为代表。1970年George E.P.Box等[1]的著作《时间序列分析：预测与控制》，是时间序列分析学科发展的转折点，标志着时间序列分析理论和应用形成系统，成为一个新的学科领域。而1987年Peter J.B等[2]的著作是一本较早将时间序列分析方法引入大学课程教育的著名教材。

国内的统计学科发展较晚，时间序列分析课程是大约2000年左右才开始在大学开设。国内所用的教材基本上全部借鉴于上述国外的著作。目前国内已经涌现了许多时间序列分析教材，这些教材有的侧重于理论，有的侧重于应用，有的侧重于软件实现，对我国各种统计相关专业的教育和发展起到非常重要的作用。特别地，对于统计学专业学生来说，时间序列分析课程是一门核心基础课程。学生既需要掌握好这门课程较深的理论知识，又需要能运用这些知识和方法解决实际问题。因而，怎样在有限的学时内实现这一教学目标，是一个值得不断探讨的课题。

一  理论课堂与实践课堂学时的配置

统计专业的学生培养，既要面向继续升学深造的研究型人才培养，又要面向社会就业工作的实战型人才培养。所以，时间序列分析课程学时宜设置成两部分：理论课堂学时和实践课堂学时。理论课程部分很重要，因为理论是基础，没有理论的支持，不可能有广泛的应用。这一部分一般占到整个课程学时的大部分。我们必须深入浅出地将一些必要的原理讲解清楚，学生才能理解和接受由此导出的方法和结论。目前，大多数本科时间序列分析理论教学内容，主要集中在时间序列分析发展初期的经典知识部分，即一元线性时间序列分析的知识。显然，这一部分内容是非常重要而又基础的，后面发展的时间序列分析的知识或多或少与之有联系。

一元线性平稳时间序列{Xt}，一般可以用如下模型表示

另一方面，实践课程部分训练学生自己动手，运用所学知识解决实际问题的能力，也是非常重要的。对于统计专业的学生，时间序列分析课程教学不应只停留在理论上，而是应同步教导学生运用这些方法解决实际问题。一般地，我们可以在理论课程部分结束之后，开设时间序列分析的实践课程。在实践课程中，让学生自己选择一个感兴趣的实际问题，搜集相关数据，然后运用所学的理论和方法去研究这个实际问题。这样的实践课堂其实是很有必要的，因为学生通过自己动手解决一个实际问题，可以进一步激发他们的学习兴趣，也能够使学生真正理解和掌握所学的知识，而且这些实践经历对学生未来工作中的实际应用是很有帮助的。

理论课堂和实践课堂是不一样的，理论课堂侧重于原理的讲解，配套的习题都是针对已经讲过的原理出的。通过做练习，可以深化对这些原理的理解和记忆。同时，只要把原理用到习题中，习题中的问题就可以解决。但实践课堂不一样，学生面对的是任意未知的实际问题，一般只用理论课堂上讲解的原理是不够的。事实上，关于时间序列分析实践课堂的设置已经引起了人们关注[3]，但大家可能只是安排少量的课时，让学生上机做一些简单的练习，而不是让学生任意选择一个实际问题。因为大家担心学生遇到的实际问题太复杂，而以学生掌握的有限知识无法解决，致使实践课堂训练无法完成。这种担心是有道理的，但我们不能因此放弃让学生独立自主解决一个实际问题的教学目标。

我们这里建议的是，至少给出时间序列分析课程总学时的四分之一学时，用于实践课堂训练，让学生去研究一个实际问题，写出一份实验报告。特别地，我们鼓励学生选择当下社会热点问题进行研究，而这一点一般教材上的习题是做不到的。教材上的习题往往都是针对较早年代的问题，用的都是过了很多年的数据。那么，我们怎样解决学生理论知识不够与实际问题难度之间的矛盾呢？这里我们建议两点：一是补充、辅导、帮助学生学习一些新方法、软件操作等。二是不苛求完美，只要求學生的实践效果达到一定的层次就可以了。实际上，我们只要在某些方面针对性地给学生补充一些知识，就可以协助学生较好解决其所选择的实际问题。这个也就是下一小节我们将要探索的教学内容的配置。

二  理论知识与应用方法教学内容的配置

前面谈到，大多数本科教材和教学内容都主要在一元线性时间序列分析相关知识，这一部分的理论和方法一直是教学重点内容。现在统计学科和计算技术都有很大的发展，一方面为了学生实践应用的需要，另一方面也是为了跟上时代发展的脚步，需要不断补充新的思想方法进入本科教学内容。我们需要探索理论知识和应用方法教学内容的配置，使学生尽可能地掌握深入的理论知识和广泛的应用方法，成为社会发展所需要的统计人才。

在已有的时间序列分析经典教学内容上，接下来我们着重谈谈从哪些方面进行引导和补充，可以较快地拓展学生的能力，解决好其所遇到的实际问题。关于这些补充的知识，我们就不必强调理论上的证明和推导了。我们可以针对不同的学生，启发和教授各种常用的技能，若有学生想要深入探讨，再教给他们一些途径，让他们自己进一步查证即可。下面我们总结几个适合补充到本科时间序列分析教学中，特别是实践课程教学中的应用方法，与大家共享。

（一）  关于异方差现象方面的补充

金融、经济等领域常常是学生感兴趣的方向，而这一方向中问题的相关数据很可能有异方差现象，往往不能依靠本科时间序列分析课程的主流知识解决[4]。当学生采集到该领域的实际数据时，通常发现这些数据用线性时间序列分析方法效果不理想，即使使用差分或者函数变换等办法仍然无法用线性时间序列方法建模。这时，引入一个非线性的条件异方差模型，就很可能解决问题。因为金融、经济等领域的数据，有一些共同的特点，而这些特点目前来讲，用条件异方差模型效果是比较好的。事实上，条件异方差模型是本科时间序列分析课程主要教学内容外，最常见的扩展内容之一，相对于其他的非线性模型，条件异方差模型的理论研究和软件开发是比较成熟的。

关于这一部分教学内容，我们可以首先向学生简单讲解这类模型的由来、特点和适用范围，以及与线性模型的区别和联系等，然后具体指导学生运用这一方法，其中包括相关软件的操作指导等。我们只需要简单教授这一应用方法就可以了，甚至通过一些PPT演示，或者配备一份指导书就可以做到。当然，这些内容的传授，可以针对有这方面需求的学生进行，也可以面向所有的学生，可以在理论课堂上做简略的讲解，也可以在实践课堂上演示。

（二）  关于门限模型方面的补充

除了异方差模型，简单又好用的非线性模型还有门限模型，其能体现不同状态下数据的不同规律，而这种数据现象也是学生在实际中容易遇到的[5]。门限模型包含一大类的模型，其理论和方法还在不断的研发当中，虽然它还不够完善，但已经有着广泛的应用。特别是门限自回归模型，其作用好比数值分析中的分段线性逼近，当全局的线性模型不合适时，分段线性模型有可能收到不错的效果。不同状态区间下的门限自回归模型的理论、方法和软件开发等，发展相对也比较成熟，让学生掌握这一方法的实际应用也是比较方便的。所以，这种状态分段下的线性自回归门限模型，也经常是本科主流时间序列分析课程内容的有益而又自然的补充。

对于同一组数据，可能会有多个模型都可以通过适应性检验，从单个模型来看，它们都是成功的模型。这时，就需要我们将这些模型再分别进行对比，最终选取最合适的模型。这种模型的选取，在实践课程中肯定是需要的。比如，一组数据适合某个门限模型，学生可以将其的效果与线性模型相比较，然后做出判断，做出取舍。一直以来，我们鼓励学生从多个角度思索问题，尝试建立多种模型，然后进行比较，以获得理想的结果。这种不断尝试、不断探索合适的方法、合适的模型的过程既有趣，又能激发学生进一步的学习潜能，对学生而言是非常有益的锻炼。

（三）  关于协整关系方面的补充

与一元时间序列分析相呼应的当然还有多元时间序列分析。对多元时间序列的研究，不仅涉及每个时间序列的变化规律，还涉及多个时间序列之间的相互关系，较为复杂。但有一种情况下是比较简单的，就是多个时间序列之间存在协整关系的时候。事实上，协整关系和前面介绍的条件异方差模型一样，是目前最普遍补充到以一元线性时间序列分析为主体的本科教学中的内容。

实践课堂中，学生通常对一组数据总能够建立起一个预测效果还不错的时间序列模型，该模型反映的是单个时间序列自身的变化规律。进一步，有的学生可能还想探究该时间序列产生这一变化规律的外在原因，或者说想要分析有其他哪些变量序列对这个时间序列的动态变化产生了显著性影响。这时，我们就可以建议其尝试利用协整关系，对平稳或非平稳同阶单整的多个时间序列之间建立回归模型，或者建立误差修正模型，从而查找可能的原因，即考虑多个时间序列之间的相互作用关系等。特别地，两个时间序列之间的协整关系是最简单，也是应用最广泛的[6]。例如，设两个时间序列{X_t}，{Y_t}都是一阶单整的，{Y_t}对{X_t}有协整关系，则通常可以表示为回归模型

（四）  关于空间统计方面的补充

我们都生活在三维的现实空间中，除了时间坐标，还有地理位置坐标。加上了地理坐标的时间序列样本成为空间数据，空间数据统计方法也是目前热门的统计方法之一[7]。如果学生在实践课堂中选择的实际问题的相关数据，带有明显的地理坐标性，可以在学生完成基本的一元线性时间序列分析后，引导学生做一些空间统计相关的分析。一来可以拓宽学生的思路，二是对具体问题综合运用更合适的统计分析方法，可以得到更全面、更细致的研究结果。

例如，某种疾病数据的演变规律除了与时间相关，很可能也与地理位置相关。比方说，实践课堂中，学生可以对全国这种疾病总和数据做一个时间序列分析，完成基本的实践课程训练。接着，我们可以引导学生将全国各个地区的这种疾病数据做一些空间统计分析。通过这些分析，可以得到此疾病是否具有空间聚集性，地区之间发病的相关程度，以及此疾病隨时空传播演变的趋势、过程等。

三  理论部分考核与实践部分考核在总成绩评定中的配置

课程考核是检验学生对这门课程掌握程度，以及督促学生学好这门课程的有效手段，同时也是学生展现自我能力的一个表现机会。我们需要合理、科学、公平地展开课程考核。鉴于以上关于时间序列分析课程教学需要分为理论课堂教学和实践课堂教学两部分，所以时间序列分析课程的考核至少也需要分为理论部分考核和实践部分考核。

理论部分的考核一般选择闭卷考试，旨在考核学生对时间序列分析基本的概念、原理和方法掌握的情况。考题使用的数据个数很少，数据一般不具有实际意义，但却能反映学生理解和掌握理论知识的程度。按照前面我们提议的理论课堂学时与实践课堂学时的配置，这一部分的考核成绩在总的成绩评定中应该占有较大的比重，比如55%或60%等。

第二部分实践课堂考核，一般选择实验报告形式的开卷考核。我们可以将学生的实践报告评定成若干等级，比如优、良、中、差四个等级。可以先设定一个等级良的标准，必须完成一系列设定的训练任务。然后评优的标准就可以是这样：在达到良好标准以后，如若学生又补充运用一些其他的时间序列分析方法研究该实际问题，可以考虑评优。例如，除使用线性时间序列模型外，增加使用非线性时间序列模型等方法，或者使用了一个新的软件技术来做数据分析等，可以评优。关于软件的使用，时间序列分析方法常用的软件有：EViews、R语言等，但其实还不断有其他新的软件可以用来做时间序列分析[8]。

总的成绩评定包含理论闭卷考核成绩和实践报告开卷考核成绩，以及平时表现情况。我们可以将不同等级的实践报告直接折合成分数，也可以将平时表现情况与之一起折合成一个分数。平时表现情况一般包含考勤、作业等。虽然理论部分的闭卷考试很重要，但开卷这一部分的考核也是比较重要的，在总的成绩评定中占比可以略低于理论部分课程考核成绩，但也不应太低，占比可以取成45%或40%等。

四  结束语

时间序列分析学科不断的进步和发展，对我们的课程教学提出了新的要求、新的挑战，我们不但要让学生掌握好经典基础理论知识，也要让学生能应对实际中需要多种方法相结合才能解决的复杂问题。这里，我们结合自己的教学经验，对时间序列分析课程理论与实践教学的几个方面提出了一些粗浅的看法，与大家交流。只为在有限的课时内，培养学生掌握好理论知识和更多的时间序列分析方法，使他们能更好地走上学习深造和就业岗位，能更好地服务社会，为社会主义建设作贡献。

参考文献：

[1] [美]GEORGE E.P.B， [英]GWILYM M.J，[美]GREGORY C.R.时间序列分析：预测与控制[M].顾岚，译.北京：中国统计出版社，1997.

[2] PETER J.B， RICHARD A.D. 时间序列：理论与方法[M].田铮，译.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 黄彭奇子，段晓君，晏良，等.面向应用型人才的军校“应用时间序列分析”教改探索[J].教育教学论坛，2021（45）：58-62.

[4] 陈超，陈英梅.应用型本科金融时间序列分析课程教学改革路径——基于PYTHON语言[J].教书育人，2022（6）：110-112.

[5] 范剑青，姚琦伟.非线性时间序列——建模、预报及应用[M].陈敏，译.北京：高等教育出版社，2005：95-108.

[6] 埃夫任·科琴达，亚历山大·切尔尼.时间序列分析方法与应用[M].王倩，译.北京：化学工业出版社，2018：128-145.

[7] 肖革新.空间统计实战[M].北京：科学出版社，2018：1-10.

[8] 潘伟权，黎嘉嘉，樊冬梅.基于Prophet软件计算的时间序列分析研究[J].软件，2022，43（6）：13-16.