菱形中变量线段和的最小值

刘传泽

求菱形中变量线段和的最小值，是中考试题中的一个重要考点. 解答这类题，常把一个顶点关于对称轴所在直线的对称点作为突破口.

例（2022·湖南·娄底）如图1，菱形ABCD的边长为2，∠ABC = 45°，点P，Q分别是BC，BD上的动点，CQ + PQ的最小值为________.

解析：如图2，连接AQ，作AH⊥BC于H.

∵四边形ABCD是菱形，

∴点C关于对角线BD所在直线的对称点为A，

∴AQ = CQ，∴CQ + PQ = AQ + PQ.

当点A，Q，P共线时，AQ + PQ的值最小，最小值为AH的长（垂线段最短）.

反思：一般地，动点在哪一条直线上，多以这条直线为对称轴，进行变量线段的等量转换. 本题以直线BD为对称轴，用AQ替换CQ，转化为三点共线的问题，再结合垂线段最短的性质求解. 其中等线段转化是解答问题的切入点.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：3分钟

如图3，菱形ABCD的邊长为2，∠ABC = 60°，点P是BC的中点，点Q是BD上的一动点，CQ + PQ的最小值为_____. （答案见第27页）

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）