正方形中线段的数量关系

杨文金

历年中考试卷中总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系的问题，其常见形式主要有三种类型.

一、证明“a = b”型

例1 （2022·甘肃·兰州）综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线CP交于点P. 试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明.

【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题. 请在图1中补全图形，解答老师提出的问题.

【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，连接DP. 知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值. 当AB = 4时，请你求出△ADP周长的最小值.

解析：（1）如图4，取AB的中点F，连接EF，利用“同角的余角相等”说明∠PEC = ∠BAE，再根据“ASA”证明△AFE ≌ △ECP，得AE = EP.

（2）如图5，在AB上取AF = EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE，可证     △FAE ≌ △CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形，即可得出∠DCP = 45°.

（3）如图6，连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于点G，交CP于点O，连接AG，可证△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP + DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG = 4[5]，進而得出△ADP周长的最小值为AD + AG = 4 + 4[5].

二、证明“a = xb”型

例2（2021·山东·烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图7所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N.

【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是__________，位置关系是_____________.

【探究证明】（2）将图7中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图8，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？请说明理由.

解析：（1）如图7，由正方形的性质得AD = AB，AF = AE，∠DAE = ∠BAF = 90°，根据“SAS”证明△DAE ≌ △BAF，由全等三角形的性质得DE = BF，∠ADE = ∠ABF，由直角三角形的性质得BF = 2AM，则DE = 2AM，易得∠ANE = 90°，从而DE⊥AM. 故应填DE = 2AM，DE⊥AM.

（2）如图9，延长AM至点H，使得MH = AM，连接FH，证明△AMB≌△HMF（SAS），由全等三角形的性质得出AB = HF，∠ABM = ∠HFM，证明△EAD ≌ △AFH（SAS），由全等三角形的性质得出DE = AH，则DE = 2AM，易得∠AND = 180° - （∠ADE + ∠DAM） = 90°，即AN⊥DN. 故线段DE与AM之间的数量关系是DE = 2AM，线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.

三、证明“a + b = c”型

例3 （2022·湖北·恩施）如图10，四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F. 求证：DF = BE + EF.

解析：根据“AAS”可证△CBE ≌ △DCF，

可得BE = CF，CE = DF.

由CE = EF + CF，可得DF = BE + EF.

（作者单位：山东省枣庄市第二中学）