数学实验教学要重视理论分析——对“45°时滚得最远”这一实验结论的思考

李 荣

数学实验是学生学习数学的常用方式。用于开展实验的工具、环境以及操作过程中出现的误差等都会对实验结果产生影响，因而通过实验获得的结论在没有理论依据的情况下只能作为猜想存在。苏教版四上《怎样滚得远》一课的教学，旨在引导学生观察生活现象，用数学实验的方式探索“斜面与地面成什么角度时，物体滚得远一些”这一数学问题。通过课堂观察和文献研究，笔者发现，不少教师在教学过程中都会着力于“滚得最远”角度的探索，似乎不给学生一个明确的答案，本课中所有的实验探究都会变得没有意义。于是，“物体从同一斜坡的相同高度（简称‘同等条件’）滚落，斜坡与地面的夹角为45°时滚得最远”这一结论便成了一种共识。然而，斜坡与地面的夹角为45°时，物体真的滚得最远吗？针对这个问题，笔者展开了如下思考与探究。

一、究竟是不是“45度时滚得最远”？

1.学理：理论性思辨

如果“45°时滚得最远”的结论合理存在，那么根据物体滚动距离绘制的折线图图像将会是一条抛物线。这种可能只需简单分析就可击破：若斜坡材质较粗糙，坡度很小的时候，如1°、2°时，物体很可能不会从斜坡上滚落；而坡度为89°、88°时，物体必定会滚落并产生滚动距离。上述分析说明：根据物体滚动距离绘制的折线图图像不是一条抛物线，也就意味着滚动距离所成的图像左右两边是不对称的。坡度为45°时，物体可能会滚得最远，但也有可能此时物体滚出的距离并不是极值。

2.建模：科学性分析

为了进一步论证究竟是不是“45°时滚得最远”，一位高中物理教师运用物理建模的方式（如图1 所示，假设坡面光滑，物体重量为0，只 从 力 学的角度进行分析）研究得出：在理想状态 下，tanθ=，即 θ ≈35.3°时，物体滚得最远。

（图1）

3.实证：客观性探究

理论与事实可能会存在一定偏差，为了尊重事实，我校数学研究团队进行了多轮次的对比实验：同材质同坡度进行同物体滚落实验；不同材质同坡度进行同物体滚落实验；同材质不同坡度进行不同物体滚落实验……发现：影响物体滚动距离的因素有很多；实验会产生误差，坡度为44°时物体滚动的距离很难与45°时作出准确的比较……其他学校的教师也对“怎样滚得远”做过实验研究，得到的结果各不相同。例如，有教师实验得出：当斜坡与底面呈40°角时物体滚得最远。也有教师得出：当斜坡与底面夹角在40°～45°之间时，滚动距离最远。

综上所述，“斜坡与地面的夹角为45°时物体滚得最远”这一结论缺少理论依据，也没有足够的事实支撑。

二、“几度时滚得最远”的应然追寻

1.求真：从“结果本位”到“学生本位”

仔细研读教材，可以发现，《怎样滚得远》一课的教学目标是：使学生经历探索斜面与地面成怎样的角度时物体滚得比较远的活动过程，进一步体会在实验中收集数据，并对数据进行比较和分析，培养发现问题和提出问题的能力，以及综合运用所学知识解决问题的能力；使学生通过实践活动，获得一些数学活动经验，感悟数学与生活的广泛联系，体验数学的应用价值；让学生感受做实验是研究事物的一种方法，培养实事求是的科学态度。重点是让学生经历实验活动过程，参与在实验过程中所进行的角的测量、数据统计、平均数的计算等数学活动，而不是找到最终的结论。

2.革故：从“结论至上”到“实验至上”

在《怎样滚得远》一课的教学中，教师应力避“结论至上”的追求，回归数学实验的本来价值，着力于让学生感受到引入实验的必要性，教给学生实验的方法。如，怎样测量与调整斜坡与地面的夹角、怎样把物体放在斜坡的顶部使其自动滚落、怎样测量物体的滚动距离、为什么要多次重复实验后用算出的平均数来表示实验的结果等。在学生小组合作进行实验的过程中，要指导学生合理分工，明确职责，使每一位学生都有机会参与活动全过程；要对学生的活动进行必要的指导，及时发现并纠正学生出现的不规范操作；要注意引导学生在回顾反思中内化解决问题的策略与方法，增强数据分析观念、实践能力和创新意识。

3.化人：从“定势思维”到“数学精神”

数学精神是数学教育的应然追求，数学教育应追求数学精神。受到思维定势影响，一些教师试图努力寻找能使物体滚得最远的角度，不少学生也期望得到一个确切的结果。但是，教学活动尤其是实验活动是复杂的，实验对象、实验内容、实验环境等都是多变的，不可能被完全纳入任一固定的模式，因而需要教师辩证地理解理论分析与教学实践之间的关系。影响实验结果的因素有很多，实验只能说给出了一个相对准确的范围。教师也许可以引导学生得出如下结论：“在目前环境下，在已有的实验角度中，斜坡与地面的夹角为45°时滚得比较远。”

三、实验结果与数学结论的关系处理

通过对《怎样滚得远》中的实验结果与数学结论进行反思，笔者认为，在用实验的方式探索学习的过程中，实践+归纳的科学态度、实践+演绎的理性思考都有助于实验结果更好地向数学结论演化。

1.实践+归纳：开放式推理探究

小学数学教材中很多数学方法、结论、规律等都可以通过不完全归纳获得。笔者在教学本课时，学生按要求完成30°、45°、60°三个坡度的滚物实验后，通过分析得到的数据，一致得出“同等条件下，这三个角度中，斜坡与地面的夹角为45°时滚得最远”的结论。与此同时，学生凭借以往的学习经验，心中自然会产生“这个结论是否具有普适性”的猜测。多数学生认为还需要进一步实验验证，少数学生则认为无需进一步验证。于是，笔者引导学生展开如下探究。

师：是不是所有角度中都是45°时滚得最远呢？

生1：是的。

生2：不一定。

师：为什么说不一定？

生2：因为我们只对三个角度进行了实验，这三个角度无法代表所有的情况。

生3：我也觉得不一定，还需要继续实验来证明。

师：说得真好！同学们都是具有科学精神的孩子！我们是完成了一些实验，也获得了结论，但这个结论只代表有限范围内的情况，这个结论可不一定具有一般性。按照大家的意思，我们得继续实验验证，你们接下来准备对哪些角度进行实验呢？

生1：我觉得还得对20°、70°这些比30°更小或比60°更大的角度进行实验，看看夹角为45°这个中间值时物体是不是真的滚得最远。

生2：我觉得要对35°、40°、50°、55°这些角度进行实验。45°在这些角度的中间，与它们离得更近，更有利于对比。

师：大家说得都很有道理！你们是想证明，角度从0°→45°时，滚动距离是一个逐渐增加的过程；45°→90°时，滚动距离是一个逐渐减少的过程。是这样的意思吗？

生：是的。

师：老师觉得，我们最应该证明的是44°和46°时滚动的距离都比45°时小，其余角度的验证则更多是“锦上添花”。你们认为呢？

生：是的，我们哪怕证实了40°、50°时没有45°时滚得远，也没法证明45°滚得最远。万一44°时滚得最远呢？

要证明同等条件下45°时滚得最远，44°和46°是必须实验验证的两个角度，再配以其他一些角度的佐证，才能从极限思想的角度将其归纳为数学结论。事实证明，44°和46°这两个角度是没法从实验的角度佐证45°是滚得最远的。教师提供足够丰富且具有代表性的样本，能在不断丰富学生学习体验的同时，让他们感受到获得结论的过程的科学性。

2.实践+演绎：内聚型抽象推理

每一个数学结论的产生都离不开数学公理的演绎。正因如此，才有一代代数学家前赴后继地去试图揭开“哥德巴赫猜想”的神秘面纱，因为哥德巴赫的发现在被证明之前只能称为“猜想”。教师必须明白这一点，这是实验结果转化为数学结论的必经之路。

在实验过程中，教师不断提醒学生要注意实验的规范性和科学性，不要受猜测的影响，不要为了证明而证明。

师：同学们，你们的实验有结果了吗？

生：44°和46°太难做了！

师：什么意思？

生1：坡度为44°时滚出的距离有时比45°时滚得近，有时比45°时滚得远，哪怕算它们的平均数，好像也蛮难下结论的。

生2：46°也是这样。

师：孩子们，通过这一轮实验，你们有什么想说的吗？

生1：我想说，45°时物体滚得远是与30°、60°等角度比较得来的结果，但不能说明45°时是滚得最远的。

生2：我觉得，因为操作过程中会产生误差，的确很难比较。但我还是认为45°时是滚得最远的。

师：孩子们，科学家通过构建模型的方法，对这个问题进行了研究……（学生对科学家的研究结果表示无法理解）

师：科学家的研究结果是在理想状态下获得的，与我们的实际操作有一定偏差。但科学家的研究结果也告诉我们，坡度为多少时物体滚得最远受到各方面因素的影响，我们千万不能草率、武断地说“45°时是滚得最远的”。在“怎样滚得远”的实验研究过程中，大家思考能力、实践能力的提高远比获得一个确定的结论更有意义。在实际生活中，设计斜坡不能只考虑“滚得远”，还要考虑其他因素，如安全、美观、材料的多少等。

学生运用不完全归纳法进行合情推理获得结论的经验比较丰富，他们会根据需求去设计接下来的实验。然而，这次实验要验证的猜测与以前都不同，以前的猜测往往都是单向变化，此次要验证的是双向变化的极值问题，极值在什么角度出现都是一个难以确认的问题，选择具有代表性的角度开展实验非常重要。只有让学生真正认识到“45°时滚得最远”这个猜测本身就存在问题，才能使“45°时滚得最远”的结论不再成为他们的“信仰”，从而让他们意识到本课学习的真正意义。

数学家高斯说过：“许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。”这句话既强调归纳是发现数学真理的有效手段，也说明证明的必要性。从《怎样滚得远》一课教学所产生的影响来看，片面追求结果的数学实验往往会对数学结论形成过程中的科学性有所忽视。总之，在数学实验教学中，教师要重视理论分析，引导学生从数学的角度理解数学实验，从而促进他们逐步学会用数学的思维思考现实世界。