带有动量效应的在线动态移动平均反转策略

吴金明 刘 钊

1(上海工程技术大学数理与统计学院 上海 201620) 2(沧州师范学院计算机科学与工程学院 河北 沧州 061001)

0 引 言

随着经济的发展,投资越来越引起国家和消费者们的重视,故成为了经济发展和生活的一部分。而基于Markowitz均值方差理论[1]的经典投资组合选择方法,存在着需要假设分布和事后预测的问题,故无法适应现在投资市场瞬息万变的发展形势和大数据时代数据的快速更迭。而源自Kelly[2]投资理论的在线投资组合选择方法,具有不假设数据分布、迭代更新的优势,可以更好地适应当下金融市场的发展趋势。

经过几十年的发展,在线投资组合选择策略体系基本形成,大体可分为五大类,分别为:基准类策略、跟随赢家类策略、跟随输家类策略、模型匹配类策略、元学习类策略[3]。其中最具有代表性的一类策略就是跟随输家策略,体现的是一种“追跌杀涨”的投资理念,又因为其通过捕捉并利用投资市场中的反转现象而获取收益,也被称为反转类策略[4]。此外,学者们对策略相关的交易成本[5-6]、边信息[7]、集成方法[8]等问题也进行了广泛研究。

现有的反转类策略[9-13]在一些公开数据集上取得了较好的表现,但是仍然存在一些不足。主要体现在以下两个方面:(1) 多数策略使用了静态模型,没有充分考虑金融市场的非平稳特征[14-15];(2) 多数策略仅利用了市场的反转效应,却很少结合动量效应来挖掘市场的潜力。

针对这两个问题,本文将动态移动平均模型与PA算法、动量效应相结合,提出带有动量效应的在线动态移动平均反转(Online Dynamic Moving Average Reversion with Momentum Effect,M-ODMAR)策略。为了验证策略的改进效果,本文在四个公开的经典数据集上,对包含本文策略在内的十种策略实施数值实验,并给出分析结果。实证结果显示本文提出的带有动量效应的在线动态移动平均反转策略可以获得更高的累积收益。

1 相关工作

反转效应与动量效应都是金融异象的具体表现形式,二者的存在是对市场的有效性假设的巨大冲击。其中,对于反转效应的探索是在线投资组合选择领域研究的重点之一,并且学者们取得了一系列优异的研究成果。下面简单介绍相关领域的研究现状,详情可参考文献[4,9-12,15-20]。

1.1 反转类策略研究现状

Borodin等[9]提出了反相关(Anti-Correlation,Anticor)策略,为了利用均值回归特性,其关注于正滞后交叉相关和负自相关的一致性,也就是使用相关系数来描述反转效应,与同期的其他策略相比,其在数值实验中的表现提高明显,同时开启了反转类策略的研究大门。Li等[10]提出了被动主动均值反转(Passive Aggressive Mean Reversion,PAMR)策略,其损失函数的设计思想是:如果根据上期相对价格所计算出来的收益比阈值大,那么损失函数值就会以线性的速度增加;否则损失为零。Li等[11]提出了置信加权均值反转(Confidence Weighted Mean Reversion,CWMR)策略,假设每期的投资组合向量都服从某个多元高斯分布,每次迭代,先要重新估计其均值向量和协方差矩阵,然后从分布中获得投资组合权重。Li等[12]提出了在线移动平均反转(OnLine Moving Average Reversion,OLMAR)策略,使用了简单移动平均和指数平滑两种方法预测价格,实际上是针对PAMR策略的多周期改进,是一种多周期的均值反转策略。Huang等[13]提出了鲁棒中位数反转(Robust Median Reversion,RMR)策略,通过鲁棒的L1中位数估计器去处理噪声和异常值,该策略表现出较好的鲁棒性,解决了数据中包含异常值的问题。郁顺昌等[4]提出了在线自回归移动平均反转(OnLine Autoregressive moving average Reversion,OLAR)策略,构建了ARIMA模型来预测价格并且使用在线算法对其求解,为处理异常值和非平稳性问题给出了新的解决方式。

1.2 动量效应研究现状

已有反转类策略在累积收益上的表现得到了显著的提升,但很少有文献将动量效应对反转策略的影响纳入到考虑范围。动量效应是指股票未来的价格走向与历史趋势存在正相关的现象,在有些文献中也被称为价格惯性。对于动量效应与趋势效应的关系,有研究表明,价格惯性和价格反转往往同时存在于金融市场之中,并且二者有着互为因果、相互融合的关系[16]。

对于动量效应的探索主要分为两种角度。(1) 根据动量效应的特点来构建投资组合选择策略,跟随赢家类策略[17-19]即为此视角。该类策略直接利用上一期的价格进行投资组合选择,隐含性地假设了本期价格与上一期的价格相同,但没有对动量效应进行显式的表述。由于该类策略在实验效果上普遍差于反转类策略,也不是本文的研究重点,故这里不作介绍。(2) 显式的量化动量效应。Hyndman等[20]提出使用二次指数移动平均方法预测时间序列可以同时保留平滑后的值与趋势,而一次指数平滑却无法包含趋势信息。丁成[21]借鉴业内使用趋势线来衡量走势的方法,使用线性回归的斜率值来量化动量效应并与PA算法结合,该方式显著提升了策略的累积收益。

1.3 问题与解决

综合上述两类文献来看,现存的反转类策略多使用静态模型进行价格预测,无法解决金融市场的非平稳性问题,并且很少有反转策略会深入考虑动量效应对其的影响,而针对动量效应量化问题的探索已有的研究成果也是为数不多。针对这些问题,本文使用在线算法对已有模型进行动态更新以应对非平稳性问题。同时,针对在线投资组合选择问题提出一种新的动量效应的量化方法,以此提高投资的累积收益。

2 问题定义

3 模型思想

反转类策略一般分为两步实现:第一步,预测下一期股票的相对价格;第二步,根据所预测的相对价格选择投资组合。

3.1 静态模型的动态更新

OLMAR策略[10]针对比值数据的预测表达式如下:

(1)

3.2 量化动量效应

几乎所有均值反转类策略均没有考虑动量效应对投资的影响。为解决此问题,本文使用L1中位数来提取动量效应,并用于进一步提高已发挥了反转效应优势的投资策略的累积收益。该方法的详细含义如下:

(2)

4 算法与策略设计

本文在OLMAR策略的基础上引入ONS算法得到了具有动态属性的ODMAR策略,继而利用PA算法选取投资组合,最后借助动量效应来进一步优化所选的投资组合,即可得到最终的M-ODMAR策略。

4.1 ONS算法简介及其在预测中的应用

(3)

第t+1的参数γt+1通过使用ONS算法求解目标函数获得,公式如下:

(4)

式中:第一项为累积误差,表示预测的总体误差;第二项为正则项,主要作用是为了防止过拟合。然后对式(4)进行泰勒展开,并进一步化简后,参数向量γ的更新公式[22]如下:

(5)

因为这种更新方式可以大大减少矩阵逆的计算时间,其所花费的时间仅为O(n2),其中n为矩阵的阶数。ODMAR策略的价格预测过程见算法1。

算法1ODMAR(ω,η)

输入:窗口大小ω,学习率η,初始矩阵A0=ηIω。

1.FORt=1TOnDO

4.接收实际价格xt并计算损失:lt(γt);

8.ENDFOR

4.2 PA算法在投资组合选择中的应用

首先,利用PA算法构造投资组合选择模型[11]:

(6)

然后,利用拉格朗日乘子法对式(6)求解[12]:

综合上述两种情况,可得:

(7)

至此,得到了完整的PA算法,具体步骤见算法2。由于我们不考虑卖空的情况,因此要在每次得到投资组合后将其投影到Δm空间,其步骤会在后面的策略中体现。

输出:当期投资组合bt+1。

4.3 基于动量效应调整投资组合

此时,再考虑到在线投资组合的非负约束问题,为了确保投资组合是非负的,最终要将新得到的投资组合投影到Δm空间中。规则如下:

然后,本文使用上述算法并结合在线投资组合选择的通用框架,设计了ODMAR和M-ODMAR这两种投资组合选择策略。

策略1ODMAR投资组合选择策略

输出:累积收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.获取股票相对价格:xt;

5.预测下一个相对价格向量:

6.更新投资组合:

7.将投资组合投影到可行域:

8.ENDFOR

策略2M-ODMAR投资组合选择策略

输出:累积收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.获取股票相对价格:xt;

5.预测下一个相对价格向量:

6.更新投资组合:

7.计算动量效应:

8.调整投资组合:

9.将投资组合投影到可行域:

10.ENDFOR

5 实证研究

本节将通过与八种现有的策略[4,9-13]进行对比,并使用累积收益的高低作为评价标准,从而说明ODMAR策略和M-ODMAR策略在投资选择决策上的优势。五个追踪低收益策略[9-13]在相关工作中已有介绍,三个基准策略[4]具体如下:

Market策略,按照平均的投资权重购买股票,并一直持有到期末,在此期间不做任何调整。最优股票(Best Stock)策略,把所有资产投入到在事后看来最优的那只股票上去,并一直持有到期末。最优定常再调整(Best Constant Rebalanced Portfolio, BCRP)策略,按照事后最优的比重来投资,过程中相对价格的变化会使投资比重发生改变,故每期都要将比重重新调整到最开始的状态。

5.1 数据集及实验设置

实验中采用了四个经典的公开数据集,均来自真实的市场数据,具有很强的可对比性和实际性,即NYSE(O)、NYSE(N)、DJIA和MSCI。具体信息如表1所示。参考已有文献[4],本文使用了统一的参数ε=10、ω=5,这种参数设置排除了参数的影响,更能体现策略差异在不同环境中的表现情况。

表1 真实市场的基准数据集

5.2 累积收益分析

表2展现了十种不同投资策略在四个数据集上的累积收益。总体来看,与其他八种策略相比,ODMAR策略和M-ODMAR策略都表现出了明显的优势,分别在NYSE(O)和NYSE(N)上的表现最为突出。

表2 四个数据集上十种策略的累积收益

具体来看,ODMAR策略在NYSE(O)、DJIA和MSCI上的累积收益高于OLMAR策略,分别提高了203.7%、46.9%和66.1%。该策略提升效果显著并且在这三个数据集上都得到了所有策略中最优的成绩。但在NYSE(N)上表现要差于RMR策略和OLMAR策略。这一现象表明,参数的动态更新在多数数据集上具有很好的提升效果,但在NYSE(N)数据集上的表现却不够理想。再来比较本文提出的ODMAR与M-ODMAR两个策略,相对于ODMAR而言,M-ODMAR策略在NYSE(O)、NYSE(N)和MSCI上的累积收益均得到了提高,分别为11.9%、60.7%和18.9%,其中在NYSE(N)上的提高最明显。虽然动量效应的加入没有使DJIA上的累积收益得到提升,但是对于其他三个数据集的累积收益提升确实起到了促进作用,尤其是对NYSE(N)来说。总之,M-ODMAR策略在每个数据集上的累积收益都达到了十种策略中的最高值。这一现象表明,增加对动量效应的考虑,有助于反转类策略累积收益的增加。更重要的是,动量效应的加入解决了ODMAR策略在一些数据集上表现不佳的问题,二者的结合具有重要的意义。

5.3 交易成本分析

在现实生活中,交易成本是投资者必然要承担的成本,而在线投资组合选择由于具有多次投资的特性,故对于交易成本则更为敏感。虽然交易成本的种类多种多样但是最为主要的形式就是比例成本,故本文将比例交易成本作为研究对象,分析了在不同比例下累积收益的变化情况。图1到图4描绘了在四个经典数据集上,六种策略随着交易成本率的递增其累积收益的变化情况。

图1 策略在NYSE(O)数据集上的交易成本分析

图2 策略在NYSE(N)数据集上的交易成本分析

图3 策略在DJIA数据集上的交易成本分析

图4 策略在MSCI数据集上的交易成本分析

首先,在0%至1%的交易成本率之间,ODMAR策略与M-OMDAR策略的累积收益曲线一直位于OLMAR策略与RMR策略之上,这说明ODMAR与M-OMDAR在存在交易成本的情况下仍然有着更高的盈利能力;其次,本文策略的累积收益与其他策略相比差距明显,这说明本文策略有着较强的交易成本承受能力;然而更有趣的是,ODMAR策略在NYSE(N)数据上0交易成本时的累积收益均低于其他两个策略,但是随着交易成本的增加其累积收益快速超过了其他策略并且与M-OMDAR策略一起不断拉大与其他两个反转策略的差距,这说明本文策略受交易成本影响的程度更小。此外,在任意交易成本率下,M-OMDAR比OMDAR获得更高的累积收益,说明了动量效应对于累积收益的影响在交易成本存在的情况下仍是有效的。

6 结 语

本文提出基于动量效应的动态移动平均反转的投资组合选择策略——M-ODMAR策略。首先,在OLMAR的基础上引入ONS算法,得到具有动态调整特征的ODMAR策略,并取得实际性的效果。然后,在ODMAR的基础上加入动量效应,同时利用金融市场中的反转效应和动量效应,使得M-ODMAR策略的累积收益进一步提升。此外,ODMAR和M-ODMAR两个策略在存在交易成本的市场中,累积收益的相对优势有扩大的趋势。上述结果体现了两点:(1) 利用动态模型可以更好地处理金融数据并有效提高累积收益;(2) 在研究反转效应的同时加入对动量效应的考虑,可以更好地利用金融市场中的信息,为反转效应的研究提供一个新的思路和方向。但是,本文研究仍然存在一些不足,例如,对具有非平稳性的金融数据探索仍然不充分,并且学习率也需要事前确定,没有完全体现策略的动态性。因此,可以借鉴OLAR模型中的差分技术来进行拟合,并且引入参数的动态学习技术来进一步体现动态属性以应对千变万化的金融市场,这将是我们今后的研究方向。