一类带记忆项的波动方程耦合方程组解的破裂

杜嘉仪, 明 森*, 麻雅娴, 杨 婕

(1.中北大学数学学院, 太原 030051; 2.中北大学大数据学院, 太原 030051)

本文研究如下带散射阻尼项和记忆项的波动方程耦合方程组的Cauchy问题,

(1)

近年来,非线性波动方程解的破裂性态和生命跨度的上界估计被广泛关注[1-15].文献[1]研究了变系数波动方程utt-∂i(aij(x)∂ju)=|u|p的初边值问题,利用Kato引理得到次临界时解的破裂及其生命跨度的上界估计.文献[2]证明了带散射阻尼项的波动方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|u|p(β>1)的解会破裂, 运用迭代方法建立了次临界情形解的生命跨度的上界估计.临界情形解的破裂性态的研究见文献[3].文献[4]研究了带记忆项的波动方程utt-Δu=Nγ,p(u)的Cauchy问题,得到解具有临界指数p0(n,γ).当n=1时,p0(n,γ)=∞.当n≥2时,p0(n,γ)是二次方程(n-1)p2-(n-2γ+3)p-2=0的正根.证明了解会在有限时间破裂以及生命跨度的上界估计.文献[5]研究了带弱阻尼项和记忆项的波动方程utt-Δu+ut=Nγ,p(u)的初值问题, 得到解会在有限时间破裂,但未给出解的生命跨度估计.文献[7]利用检验函数方法建立了经典的波动方程耦合方程组解的生命跨度估计,其中检验函数与超几何函数Φβ(x,t)相关.文献[8]证明了带记忆项的波动方程耦合方程组局部解的存在性.利用迭代方法证明解会破裂,但未得到解的生命跨度估计.文献[9]研究了带阻尼项和幂次非线性项|v|p,|u|q的波动方程耦合方程组的初值问题, 利用迭代方法在次临界与临界时给出了解的生命跨度的上界估计.其它相关研究见文献[10-15].而关于带散射阻尼项和记忆项的波动方程耦合方程组解的破裂性态以及生命跨度估计尚无研究结果.

因此,拟利用迭代方法研究问题(1)解的破裂性态.主要结果如下．

T(ε)≤Cε-min{F-1(n,p,q,γ),F-1(n,q,p,γ)},

(2)

其中,F(n,p,q,γ)=((2-γ)p+(3-γ)+q-1)/(pq-1)-(n-1)/2,C是与ε无关的正常数．

T(ε)≤Cε-min{H-1(n,p,q,γ),H-1(n,q,p,γ)},

(3)

其中,H(n,p,q,γ)=n-2-n/p+ ((1-γ)q+(3-γ)+2p-1)/(pq-1).

T(ε)≤Cε-min{H-1(n,p,q,γ),F-1(n,p,q,γ)}.

(4)

T(ε)≤Cε-min{F-1(n,q,p,γ),H-1(n,q,p,γ)}.

(5)

(6)

需说明的是,文献[4]研究了带记忆项的波动方程的Cauchy问题.文献[7]利用检验函数方法研究了带幂次非线性项|v|p,|u|q的波动方程耦合方程组的小初值问题.文献[8]证明了带记忆项的波动方程耦合方程组的解会破裂,但未得到解的生命跨度估计.文献[9]运用迭代方法证明了带阻尼项和幂次非线性项|v|p,|u|q的波动方程解的破裂及其生命跨度的上界估计.本文将文献[4]中研究的问题推广为带散射阻尼项的耦合方程组情形.将文献[8]中研究的波动方程耦合方程组推广为带散射阻尼项的耦合方程组情形,并建立解的生命跨度上界估计.将文献[7,9]中研究的带幂次非线性项|v|p,|u|q的问题推广为带记忆项Nγ,p(v),Nγ,q(u)的情形.另一方面,通过比较可知,(3)～(5)式中的生命跨度估计结果优于(2)式中的结果.

下面给出定理证明过程中需用到的一些引理以及问题(1)弱解的定义．

引理1[2]设

则有0<φ1(x)≤C(1+|x|)-(n-1)/2e|x|,并且Δφ1(x)=φ1(x),其中C>0是常数．

引理2[4,9]假设r1=(n-1)/2-1/q.当p>q时,r2>(n-1)/2-1/p.当p=q时,r2=(n-1)/2-1/p.存在常数C,K,对∀t≥0,当p>q时,则有

(7)

(log〈τ〉)-(q-1)|U2(τ)|qdτds.

(8)

当p=q时,可知

(log〈τ〉)-(p-1)|V2(τ)|pdτds,

(9)

(log〈τ〉)-(q-1)|U2(τ)|qdτds.

(10)

定义1若(u,v)是问题(1)的弱解,则

而且

(11)

(12)

1 定理1的证明

引入乘子m(t)=exp(μ(1-α)-1(1+t)1-α),则有

m′(t)=μ(1+t)-αm(t),m(0)≤m(t)≤1,t≥0.

(13)

在(11)、(12)式中令φ=ψ=1,等式两边对t求导并且同乘以m(t),可得

结合(13)式,则有

(14)

(15)

利用Holder不等式,可知

于是,

(σ+R)-n(p-1)|V(σ)|pdσdτds,

(16)

(σ+R)-n(q-1)|U(σ)|qdσdτds.

(17)

类似于文献[9]中引理2.2的证明,得到

Cεq(t+R)n-1-(n-1)q/2,

(18)

Kεp(t+R)n-1-(n-1)p/2.

(19)

将(19)式代入(14)式,则有

U(t)≥Km(0)cγεp(t+R)-(n-1)p/2·

Km(0)cγεp/(n(n+1)(n+2))·

(t+R)-(n-1)p/2tn+2-γ.

(20)

将(18)式代入(15)式,可得

V(t)≥Cm(0)cγεq/(n(n+1)(n+2))·

(t+R)-(n-1)q/2tn+2-γ.

(21)

下面运用迭代方法计算.假设

U(t)≥Dj(t+R)-ajtbj,t≥0,j∈N*,

(22)

V(t)≥Δj(t+R)-αjtβj,t≥0,j∈N*.

(23)

由(20)～(21)式知D1=Km(0)cγεp/(n(n+1)(n+2)),a1=(n-1)p/2,b1=n+2-γ,Δ1=Cm(0)cγεq/(n(n+1)(n+2)),α1=(n-1)q/2,β1=n+2-γ.

将(23)式代入(16)式,可得

(σ+R)-n(p-1)-αjpσβjpdσdτds≥

将(22)式代入(17)式,得到

αj+1=n(q-1)+ajq,βj+1=bjq+3-γ.

当j是奇数时,则有

(pq)(j-1)/2(n+(n-1)p/2)-n;

(24)

αj=(pq)(j-1)/2(n+(n-1)q/2)-n;

(25)

bj=

(pq)(j-1)/2(b1+(3-γ)(p+1)/(pq-1))-

(3-γ)(p+1)/(pq-1)

(26)

βj=

(pq)(j-1)/2(β1+(3-γ)(q+1)/(pq-1))-

(27)

当j是奇数时,则有

(pq)(j-1)/2(logD1-Sp,q(∞)),

(28)

(29)

U(t)≥exp((pq)(j-1)/2J(t))(t+R)nt-(3-γ)(p+1)/(pq-1),

J(t)=

log (D1t((2-γ)pq+(3-γ)p+1)/(pq-1)-(n-1)p/2)-Sp,q(∞)-

(n+(n-1)p/2)log 2.

因此,当t≥Cε-(((2-γ)q+(3-γ)+p-1)/(pq-1)-(n-1)/2)-1时,知J(t)>0.故T(ε)≤Cε-F-1(n,q,p,γ).

2 定理2～4的证明

利用Holder不等式,则有

(30)

(31)

计算可得,当n=1,p,q>1或n=2,1

将(31)式代入(14)式,则有

U(t)≥Cm(0)cγεp(t+R)-n(p-1)tp+3-γ≥

Cm(0)cγεp(t+R)-pt(n-1)p-γ+1.

由(22)式可得,D1=Cm(0)cγεp,a1=p,b1=(n-1)p-γ+1.计算可得

T(ε)≤Cε-(((1-γ)q+(3-γ)+2p-1)/(pq-1)+n-2-n/p)-1=

Cε-H-1(n,p,q,γ).

类似地,得到V(t)≥Cm(0)cγεq(t+R)-qt(n-1)q-γ+1.则有T(ε)≤Cε-H-1(n,q,p,γ).因而得到定理2中的生命跨度估计．

当n=2,1

3 定理5的证明

引入序列{lj}j∈N,其中lj=2-2-(j+1).假设

U2(t)≥Cj(log〈t〉)-bj(log(t/l4j))aj,

t≥l4j,j∈N.

(32)

当p>q时,将(32)式代入(8)式,则有

(log(τ/l4j))ajqdτds.

计算可知2l4j≥l4j+1,1-lk/lk+1≥2-(k+3).当y≥1时,则有〈y〉≥y≥1/4〈y〉.

类似于文献[4]中的证明过程,当s≥l4j+1时,可知

1/(1-γ)2-4(1-γ)j+5γ-3n-2〈s〉n-γ(log(s/l4j+1))ajq.

所以,当t≥l4j+2时,可得

V2(t)≥

(log(t/l4j+2))ajq(log〈t〉)-(q-1)-bjq.

(33)

结合(7)式与(33)式,当s≥l4j+3,t≥l4j+4时,得到

U2(t)≥

〈t〉-1(log〈t〉)-p(q-1)-bjpq·

Cj+1(log〈t〉)-bj+1(log(t/l4j+4))aj+1,

其中,

Cj+1=

(ajpq+1)-1,

aj+1=ajpq+1,bj+1=p(q-1)+bjpq.

计算可得

aj=pq/(pq-1)(pq)j-1/(pq-1),

bj=p(q-1)/(pq-1)((pq)j-1),

(34)

M=CKp/(1-γ)p+12(7γ-6n-9)p+3γ-3n-9(pq-1)/pq,

Θ=2[(3-γ)p-γ+2]4pq.

当p=q时,类似于p>q情形的证明过程,将(7)～(8)式替换为(9)～(10)式,则有

U2(t)≥

(ajq+1)-p·(ajpq+p+1)-1·

(log〈t〉)-(pq-1)-bjpq(log(t/l4j+4))ajpq+p+1.

计算得到,

aj=p(q+1)/(pq-1)(pq)j-(p+1)/(pq-1),

bj=(pq)j-1,

(35)

其中,

M=

CKp/(1-γ)p+12(6-3γ-3n)p+3γ-3n-6·

(pq-1)p+1/(p(q+1)p+1),

Θ=2[(4-2γ)p-γ+2]4(pq)p+1.

于是

logCj≥(pq)j(logC0+1/(pq-1)·

logM-SjlogΘ)-logM/(pq-1),

(36)

由(34)～(35)式可知,

aj=A(pq)j+1-A,bj=B(pq)j-B.

(37)

利用(32)、(36)及(37)式,则有

U2(t)≥

M-1/(pq-1)exp((pq)j(log(2-A-BC0M1/(pq-1)Θ-S·

(logt)A-B))(log〈t〉)B(log(t/2))1-A,

此处,log〈t〉≤log(2t)≤2logt,log(t/2)≥1/2logt,∀t≥4．