巧用一题多变 深挖课本习题

陈晓凤

摘   要：数学学科的学习有其特殊性，必须通过数学作业来落实所学知识点。完成具有指导性、启发性、典型性等特点的课本习题是学生对所学概念进一步理解巩固的重要手段，也是基本技能培养、基本应用方法启迪、基本思想深化拓展的最实用、最有效的工具。因此，研究改编课本习题，充分挖掘课本习题所承载的知识点，让课本习题发挥最大功效显得尤为重要。

关键词：拓展概念；改变条件；改变结论；数字延伸至字母；改编课本题

作为当代合格的中学生，高质量完成数学作业是其学习的主要任务。作业是学校教育教学环节中检查学生对所学知识掌握情况的重要工具，也是课堂教学环节的有效补充。数学学科教学的特殊性，通过数学作业巩固所学知识点显得尤为重要。现代化社会中，网络快速发展，获取信息的渠道变得多样，使得出一份练习变得相对简单。毫无选择性的作业，耗费孩子们太多的课后美好时光，损害了学生的身心健康。这样铺天盖地的作业给孩子们带来了巨大的负担，而且无法真正达到温故而知新的目的。让孩子的美好童年时光留下了阴影，也不利于孩子的心理健康发展。

中共中央办公厅，国务院办公厅于2021年7月24日在《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中提出，“双减”是指全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担。尤其着重指出要求分类明确作业总量。如何精准地设置孩子课后作业，提高作业质量，最大限度地发挥作业的效果，是每一位数学教师都应该思考的问题。

长期以来由于从各个渠道收集题目太容易，再加上导学案的使用，以至于不少教师把课本习题给丢弃了。但是，课本习题大多都是专家组的教师们仔细研究认真挑选出来的，是具有较高实用性的。而且历年来中考题、质检题有不少也是出自课本习题或者是课本习题的改编题。所以研究改编课本例习题，充分挖掘课本习题所承载的知识点，让课本习题发挥其最大功效显得尤为重要。以下就教学中对课本习题所做的一些处理谈谈自己的一些做法。

1  通过拓展概念来进行习题改编

绝对值是七年级上册内容中不易理解的一个知识点，给学生的学习带来很大困扰。课本针对绝对值这个知识点设计了如下的习题：

例1（课本七年级上册第15页第5题）：写出下列各数的绝对值：

-125，+23，-3.5，0，，-，-0.05.

上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对值最小？

课本的这道习题考查的是绝对值的基本概念。要求学生会准确求出正数、负数及0的绝对值。从数字的角度理解一个正数的绝对值是它本身；一个负数绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

例2（课本七年级上册第15页第12题）：如果x=2，那么x一定是2吗？如果x=0，那么x等于几？如果x=-x，那么x等于几？

课本的这道题考查的是对绝对值基本概念逆向理解。

从数轴上看： a表示数a的点到原点之间的距离。x=2表示到原点的距离为2，原点右边的数2到原点的距离为2，原点左边的数-2到原点的距离也为2，所以x=2或-2。到原点的距离为0的点就只有原点本身，所以x=0时，x=0。x=-x表示的是相反数等于本身，即0的相反数还是0，所以x=0。

学生如果能准确回答出上述几个问题，那么学生对绝对值的基本概念已经掌握。教师不妨在此基础上做更进一步地拓展：

例3：从数轴上看：a 表示数a的点到原点之间的距离，类似地a-2表示数α的点到表示数2的点之间的距离.一般地a-b表示数a的点到表示数b的点之间的距离。

（1）在数轴上，若表示数x的点与表示数-1的点之间的距离为3个单位长度，则x=            ；

（2）对于任何有理数x，式子x+2+x-4 有最_____（大或小）值，该值为________；

（3）利用数轴，求方程x-2+x+4=6的所有整数解的和

这样，学生在掌握绝对值基本概念的基础上，把到原点的距离拓展为到任意一个点的距离。学生通过画数轴体会距离的概念，掌握用数形结合的方法来解决数学问题。在这个过程中，培养了学生的思考能力，动手操作能力，解决数学问题的能力，并且拓展了学生的思维。

2  通过改变题目满足的条件来进行习题改编

初中教学中一元二次方程与二次函数这两个知识点有着千丝万缕的联系，因此，学好这两部分知识对初中代数的学习非常重要。

例4（课本九年级上册第25页第8题）：利用一面墙（墙的长度不限），用20米长的篱笆怎样围成一个面积为50的矩形场地？

课本的这道题考查的是用一元二次方程解决实际问题。为了更充分地利用这道题，可以尝试把条件进行如下改变：

把围成一个面积为50的矩形场地分别改为：

（2）围成一个面积为32的矩形场地；

（3）围成一个面积为60的矩形场地。

并设计了以下几个活动：

活动1：根据题意分别列出方程；

活动2：将每个方程化成一元二次方程的一般形式，分别指出二次项系数，一次项系数及常数项；

活动3：不解方程判断每个方程的根的情况；

活动4：请你选择合适的方法解方程；

活动5：你能求矩形面积的取值范围吗？

前面的1-4個活动，让学生对一元二次方程的概念、解法、解法的合理选择、根的判别式以及根的合理性等知识点进行进一步的复习与巩固，更加全面深入地理解以上所有知识点。活动5可以结合课本九年级上册第57页第7题进行。

例5：用一段长为20米的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园，（1）墙长为18米时，这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

把知识点由一元二次方程提升为二次函数的动态问题。其中由于衔接的需要，把题目中篱笆的长由30米修改成20米。

课本的这道题考查的是运用二次函数的最值问题解决实际问题。为了更充分地利用这道题，可以把条件进行如下改变：把（1）中的墙长为18米改为（2）墙长为8米。

解：设BC边长为x米，矩形菜园的面积为S平方米。

S=·x

=-（x-20x+10-100）

=-（x-10）+50（0

∵a=-<0，

∴当x=10时，S=50.

∴当BC=10米，AB=5米时，

菜园的面积最大，最大面积为50平方米。

S=·x

=-（x-20x+10-100）

=-（x-10）+50（0

∵当x<10时，S随x是增大而增大，

∴当x=8时，S=-（8-10）+50=48.

∴当BC=8米，AB=6米时，

菜园的面积最大，最大面积为48平方米。

課本原题考查的是二次函数的顶点在自变量取值范围内，在顶点处取得最值。由于a=-<0开口向下，所以顶点处取得的是最大值。改变条件后，顶点不在自变量取值范围内，这时要结合二次函数的增减性来判断，此时最高点在x=8的位置。把二次函数最值问题的不同处理方式都进行了对比练习，加深了学生对知识点的理解，培养了学生分析问题，解决问题的能力。

3  通过改变题目求解的结论进行习题改编

证明三角形的全等，可以让我们进一步得到线段、角度和面积相等，这是初中几何证明中非常重要的工具。三角形全等再结合图形变换平移、轴对称及旋转可以组合成许多有趣的题目。

例6（课本九年级上册76页第5题）：如图1，△ABC和△ECD都是正三角形，且点B、C、D在一条直线上。△EBC可以看作是△DAC怎样地变化得到？说明得到△EBC的过程。

△DAC无论是平移、翻折或旋转得到△EBC，这两个图形之间始终必须满足全等，为帮助学生顺利找到方向，我们不妨先给学生设个台阶，先完成下题：

（1）如图2，△ABC和△ECD都是正三角形，且点B，C，D在同一条直线上。请找出与△DAC全等的三角形，并说明理由。

先引导学生通过SAS证明出△DAC≌△EBC，从而得出△DAC经过旋转得到△EBC。

再问：（2）线段AD与BE有什么关系？

由△DAC≌△EBC得出：AD=BE。

教师紧接着又问：

（3）若△ABC保持不动，将△ECD绕着点C旋转，在旋转的过程中，AD与BE是否始终相等？请说明理由。

这样将一个静止的几何问题进一步转化为一个动态的问题，成为一个探究题。学生首先要能够把旋转过程的几种典型位置画出来，如图1-1至图1-6。

再根据不同的图形选择合适的方法证明，从而发现旋转的过程AD=BE恒成立。

这样通过不断地更换求解的结论，把一道简单的三角形全等的证明题层层递进成一道几何探究题，让一道课本题发挥出它的最大功效。

4  通过由数字延伸至字母的变化来进行习题改编

例7（课本七年级上册140页第9题）：如图2，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线。

（1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

这道题主要是角平分线这个概念的巩固练习。题（1）已知两个小角度数通过“角平分线”及“角的和”求出大角度数。题（2）已知大角及一个小角度数，通过“角平分线”及“角的差”求出另一个小角度数。在孩子们巩固练习完“角平分线”、“角的和”及“角的差”等基本知识点后，我们不妨做如下改编：

如图2，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线。

（1）如果∠BOC=40°，∠COD=30°，那么∠AOE是多少度？

（2）如果∠BOD =70°，那么∠AOE是多少度？

（3）如果∠BOD =a，那么∠AOE是多少度？

（1）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC=80°。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD=60°。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC=140°。

题（1）仍然是已知两个小角具体度数，通过“角平分线”求出对应的大角度数，再利用“角的和”，求出两个大角度数的和。

（2）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC

=2∠BOC+2∠COD

=2（∠BOC+∠COD）

=2∠BOD

=140°。

（3）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC

=2∠BOC+2∠COD

=2（∠BOC+∠COD）

=2∠BOD

=2a

题（2）条件改成已知两个小角的和的度数，这时不能再像题（1）那样分别求出每个小角对应的大角度数，而应该把这两个小角度数和看成是一个整体，求出这两个小角的度数和，再求出大角和的度数。

题（3）的处理方法与题（2）差不多，只不过题（3）进一步地把两个小角和的度数变成了以字母的形式呈现。这样改编以后使题目变得更有梯度，由具体数字延伸至字母，最后体现数学几何推理的整体思想。让学生的几何推理能力，思维能力都得以训练提升。

学生可以通过数学学习锻炼自己的思维，提升自己的思维能力，从而达到磨练意志的目的，成为一名全面发展的人才。具有指导性、启发性、典型性等特点的课本习题，能帮助孩子们对概念进行进一步理解巩固，也是基本技能培养、基本应用方法启迪、基本思想深化拓展的最实用、最有效的工具。因此，让课本习题在教学中充分发挥它的作用，进行多角度、全方位、深层次的思维分化，就能极大地激发学生的创造性思维，激发智慧火花，提高学生的数学学习意识，把教师和学生从沉重的作业海洋中解放出来，真正减轻教师教学和学生学习的沉重负担。充分挖掘课本习题，削减学生沉重作业负担，让学生有更多的时间发展自己各个方面的才能，使德智体美劳全面发展。这才是当代教师应该研究思考的重要领域。