智慧课堂环境下高中数学实验研究

李必船

数学实验对于学生学习兴趣的培养和创新能力的提高有重要意义，是培养学生数学学科核心素养的必要教学形式。但是数学研究对象往往比较复杂和抽象，加之实验模型难以构建，以致数学实验在中学课堂上难以开展。“智慧课堂”系统和GeoGebra软件的应用为包括立体几何在内的数学实验带来了新契机。在智慧课堂环境下，教师可以科学应用信息技术引导学生自主实验，通过手、眼、脑的配合完成知识的生成。笔者以一道立体几何习题为例，介绍高中数学数字化实验的设计思路和实施方法。

一、研究背景

传统教学模式下数学实验主要是重现和验证数学结论。而现代意义上的数学实验是以信息技术和专业数学软件的应用为特征，通过构建实验模型，在信息化和智能化环境下开展的探究性教学模式，旨在培养学生分析问题、解决问题的能力。数字化实验强调学生的自主实践和独立操作，充分发挥学生的主体作用，有利于培养学生的创新精神，促进学生数学学科核心素养发展，它是一种适应课程改革与发展、体现立德树人精神的新型数学教学模式。

章建跃在《课程改革呼唤数学实验》一文中指出：以核心素养为统领的课改诉求，主要体现在调动各种感官参与数学学习与应用的活动，教师借助于适当的工具，让学生通过动手试验、动眼观察、动脑思考等全方位的活动，经历“事实—概念—性質（关系）—结构（联系）—应用”的完整学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中，形成“做数学”的体验和意识，提高从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力，为发展数学学科核心素养奠定坚实基础。很多教师的数学教学有所欠缺，特别是缺少概括概念所必需的“事实”、归纳性质所需要的素材、训练应用能力所需要的好问题，以及以反映真实的问题情境为载体的过程性教学，为此，在中学数学课程中引入数学实验可谓是正当其时。

广大教师对于数学实验的重要性是充分认同的，经常在“情境创设”和“探究”等教学环节中应用信息技术演示实验。但仅凭演示，学生还是没有机会动手操作，只能获得间接经验，效果大打折扣。造成这种现象的原因有两点：一是缺少用于指导教师开展学生自主实验的一般模式，完全依靠教师设计与研究，费时费力；二是开展数学实验需要较多教学时间，在“提升核心素养”和“刷题提高考试成绩”的选择中，教师多倾向于后者。

二、智慧课堂环境下的数学实验模式

智慧课堂的普及和数学软件的应用，为数学实验创新创造了条件。智慧课堂系统支持教室内多种终端设备的互联互通，具备实时的数据收集和分析能力，便于师生间、生生间的立体化互动，使教学环境更为开放，进而使以学定教的差异化“精准教学”成为可能，促进个性化教学和因材施教的真正实现。

教师开展数学实验教学需要专业的数学软件支持，其中GeoGebra软件就是比较理想的选择。GeoGebra软件尤其在立体几何方面功能强大，是立体几何实验的好工具。

笔者对数学实验模式做了全面研究，基本内容包括：明确实验目标，确定实验内容，设计实验步骤，建立实验模型，组织学生自主实验，提交实验结果，分析实验原理，总结与拓展。

教师设定实验目标要考虑以下两点：一是明确知识与技能目标，使之起到辅助常规数学教学的作用，即针对常规教学中的难点，用实验的方法在真实的情境中分析和解决问题；二是明确核心素养目标，培养学生的数学学科核心素养先要有令学生感兴趣的形式与内容，让学生在真实情境中观察、思考、总结、交流讨论，这个过程就是学生素养提升的过程。学生获得的直接经验对素养的提升作用远超传统教学模式下获得的间接经验。教师在选择实验内容时，要将素养提升作为主要因素考虑。

实验模型的建立有两种形式：对于平面上的函数与几何问题，宜以学生自主建立模型为主，既提升学生的信息技术素养，又保证实验过程的完整性；对于立体几何等其他实验，则以教师建立实验模型后分享给学生的形式为主，以提高实验的效率和准确性。

智慧课堂系统的应用为实验结果的提交、交流讨论提供了便利：教师在系统中发布“主观题作业”；学生截图或拍照提交作业，提交后可以与同伴的实验作品进行对比。接下来的实验原理分析还是以学生讲评为主，教师要做好串联、并联和总结。智慧课堂系统中“学生讲”的功能支持学生将平板电脑信息投影至教室主屏幕，学生只需在自己的平板电脑上操作就可以在全班范围内展示实验操作与实验现象。

三、习题呈现

2019年人教A版《普通高中教科书 数学  必修 第二册》习题8.5“拓广探索”第15题如下。

如图1所示，透明塑料制成的长方体容器-内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜程度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；

（2）没有水的部分始终呈棱柱形；

（3）水面所在四边形的面积为定值；

（4）棱始终与水面所在平面平行；

（5）当容器倾斜如图1（3）所示时，·是定值。

其中所有正确命题的序号是____________，为什么？

简析：答案是（1）、（2）、（4）、（5）。旋转过程中，棱与地面的夹角从90°减小到0°，有水的部分和没有水的部分始终是棱柱，且棱柱高为定值，底面积为定值。

受版面限制，教材只能展现个别场景，此题还有很大的发挥空间。教师将这道习题改编为一项数学实验，既可以培养学生的学习兴趣，又可以进一步挖掘该题的思维价值，发现并提出更多的问题。旋转过程中水的形状除了与旋转的角度有关，还与图1中水面的高度有关，教师基于此，设图1（1）中容器高度为，水的高度为，引导学生分三种情况讨论：0<<0.5；=0.5；0.5<<。此实验可以在两个层次上提升学生的数学学科核心素养。一是提升“直观想象”素养，这是学生学好立体几何的基础，也是提升其他素养的基础。教师让学生在实验环境中观察与体验，获得直接经验，逐步使所有学生的直观想象素养达到培养要求。二是提升“数学计算”素养，习题本身并没有复杂的运算问题，教师只需追问：水面什么时候经过点或点，就得到一个有趣的计算问题。但这需要较高的直观想象素养作为基础，学生需要通过实验发现旋转过程中，有水部分的形状和没有水部分的形状都是棱柱，且两个棱柱的底面积和高都是定值。

四、实验设计

（一）建立实验模型

第1步：依次建立5个滑动条、、、、，分别表示长方体的长、宽、高，底面在地面上时水的高度，旋转角（侧棱与轴的夹角），∈[0°，90°]。

第2步：输入=（0，0，0），=（0，，0），=（- cos（），0， sin（）），=平移（，向量（，）），=（ sin（），0， cos（）），得到“3D绘图区”的、、、、五个点。

第3步：选择“棱柱”工具，依次点击、、、、、，得到四棱锥。

第4步：输入=如果（<=0.5， ，-）。是一个过渡变量，设置此变量的目的是将0.5 <<时的情况转化为0<<0.5时的情况，减少制作的工作量。

第5步：输入=如果（<=tan（2/）， cos（）+0.5 tan（）cos（）， 如果（<=tan（（2-2）/）， sqrt（2 cos（） sin（）），sin（）（（ ）/+ 0.5 tan（90°-））））。變量表示在0<<=0.5的情况下水面的高度。

第6步：输入=（0，0，如果（<=0.5，，（）

-）），得到旋转过程中水面与轴的交点。“如果”指令的运用是配合第5步中的转化。

第7步：输入垂直平面（，轴），得到过点且垂直于轴的平面。

第8步：输入相交路径（，），得到平面与容器的交线，即旋转过程中的水面。此处省略对后续视图的美化。

至此，GeoGebra实验模型制作完成，学生可以在自己的平板电脑上开展实验活动（如图2）。

（二）指向“直观想象”素养发展的实验设计

直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。实验活动：任取一组变量、、、的值，改变的值控制容器旋轉，观察有水的部分与没有水的部分呈现的形状分别是什么。完成下面的观察报告：

当=_______，=_______，=_______，=_______时，随着旋转角由0°增加到90°，有水部分的形状依次是：_______、_______、_______；没有水部分的形状依次是：_______、_______、_______。

实验步骤：1.学生自主实验，截图提交实验结果。2.学生投屏主讲分析实验原理。3.教师串联、并联、总结。

实验结果：

当0<<0.5时，有水部分的形状依次是：、、；没有水部分的形状依次是：、、。

当=0.5时，有水部分的形状依次是：、、；没有水部分的形状依次是：、、。

当0.5 <<时，有水部分的形状依次是：、、；没有水部分的形状依次是：、、。

（三）指向“数学运算”素养发展的实验设计

（四）指向“数学抽象”素养发展的课后拓展实验设计

五、结语

实验是数学教学的重要形式，是常规教学的必要补充，对于提高教学质量、提升学生数学学科核心素养有不可替代的作用。教师要推进数学实验与信息技术深度融合，要考虑学生的差异性，设计合理的实验目标，在实验中加强对学生的引导和个别指导，实现真正的手眼脑并用，避免流于形式的“表演”。立体几何实验模型的制作费时费力，教师学习应用新的软件和技术能大大提高效率。对教师而言，提高信息素养是职业要求，也是成长路径。

注：本文系安徽省教育信息技术研究2022年度立项课题“智慧环境下数学实验校本课程的研究”（课题编号：AH2022031）的研究成果。

参考文献

[1] 章建跃.课程改革呼唤数学实验[J].江苏教育，2017（27）：18.

[2] 张永超.智慧课堂觅智慧 思维学科话思维——关于畅言智慧课堂教学系统在数学教学中应用的思考[J].中国数学教育，2018（9）：2-6.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[S]．北京：人民教育出版社，2020.

（作者系安徽省合肥市庐阳高级中学教师）

责任编辑：祝元志