“近似”思想的妙用

张佳　李帆

摘   要：以2022年甘肃省庆阳市一道中考物理探究题为着力点，分析该题中对“近似思想”这一物理学重要研究方法的运用；并以此为跳板将近似思想辐射到日常的教学中，旨在帮助学生解决做题时的困惑，拓宽学生思考现实问题的边界。

关键词：中考物理；近似思想；纯滚动

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）3-0036-3

科学方法是人们在认识和改造客观世界的实践活动中总结的正确思维与行为方式［1］。初中物理在建构物理概念、探究物理规律、分析数据时处处渗透着物理科学方法的应用。科学方法支配着物理知识的获得和应用，是形成知识结构的纲领和脉络［2］。初中物理学习中涉及的科学方法主要有控制变量法、转换法、等效替代法、理想模型法等，但对于近似法的学习显得有点边缘化，模糊不清。在面对现实情境包裹下的物理问题时，不少学生会很容易陷入吹毛求疵的思维怪圈，导致他们无法在短时间内作出取舍和判断，这也成为很多学生的困扰。如何在物理教学中加强近似思想的渗透，帮助学生走出困惑？以2022年甘肃省庆阳市中考物理第19题为例，阐述近似思想在物理解题中的妙用，以此希望能够为各位同行提供一定的参考价值。

1    试题展示

图1为探究动能大小影响因素实验装置示意图，摆线的长度L相同，小球A、B的质量mA＜mB，悬线与竖直方向之间的夹角θ1＜θ2。

（前三问略）

（4）在探究小球动能与质量的关系时，有同学提议可以在水平桌面上将同一根弹簧压缩相同的程度，分别弹出质量不同的小球去撞击木块，撞击木块时小球的动能                 （选填“相等”或“不相等”），该方案                 （选填“正确”或“错误”）。

参考答案：相等，错误。

2    试题分析

题目中创新式地用弹簧为小球提供一定的初速度，其原理为：将同一根弹簧压缩相同的程度，使得两次的弹性势能相同。静止释放小球，弹簧在推动小球的过程中对小球做功，最终弹簧恢复原长，弹簧的弹性势能完全转化为小球的动能，故撞击木块时小球的动能相等。两次小球动能相等，质量不相等，则两次小球的速度一定不同，不符合此实验控制变量法的要求，即不能探究小球动能与质量的关系，该方案错误。

针对此题的争议主要集中在“撞击木块时小球动能是否相等”。考后不少考生对该题参考答案持不同的观点，他们认为：弹簧的弹性势能要能够完全转化为小球的动能，前提条件必须是整个过程只有弹簧的弹力对小球做功。但小球滚动时受到滚动摩擦力及空气阻力，在整个过程中小球需要克服阻力做功，即弹簧的弹性势能有一部分转化为系统的内能，并没有完全转化为小球的动能。在此过程中，不同小球所受阻力不同，故克服阻力做功也不相同，即弹性势能转化的内能也不同，根据能量守恒定律可得出撞击木块时小球动能并不相等的结论。

其实，学生会产生这样的认知很容易理解，他们对物理的认识大都是建立在一种用严谨数学公式和客观事实搭建的底层逻辑之上。这样的认知一方面可以帮助他们细致、全面地考虑问题，但另一方面，也容易使得他们的判断趋于狭隘，抓不住主要矛盾。根本就在于学生还无法灵活应用物理学中另外一个至关重要的思想方法——近似法。“近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，根据所研究问题的需要，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法［3］。近似法并不是为了简化问题而无视客观事实，而是在不影响研究结果的基础上忽略次要因素，是一种科学的研究方法。笔者粗略地将初中物理涉及近似思想的常见情境罗列在表1中。

从表1中我们不难看出，近似思想早已浸润初中物理的各个知识板块，且都是教学中的重难点内容。

在初中阶段，有些题目中并没有明确指出所近似的条件，这些条件往往比较隐晦或者是默认的。比如，题干中没有明确“考虑空气阻力的影响”，则默认不计空气阻力，因为在速度不太大的情况下，空气阻力对物体的运动影响可以忽略；题干中没有提到“接触面光滑”，则默认存在摩擦，因为生活中各类摩擦对物体运动的影响不可忽略。本题题干中没有出现“考虑空气阻力”的信息，则认为可不考虑小球运动过程中的空气阻力的影响；没有提到“接触面光滑”，故小球运动中摩擦力确实存在。但经过仔细分析就可以知道，如果用近似的思想来看待此问题，“动能是否相等”自会迎刃而解——将小球的运动近似看成是一种无滑滚动，即純滚动。而纯滚动的摩擦力并不做功，则在此基础上，相等的弹性势能就会转化为小球相等的动能。

3    试题探讨

3.1    纯滚动过程摩擦力并不做功

图2为本题第（4）问的装置示意图，小球在被弹簧弹出的过程中可近似看成纯滚动，即小球与接触面之间没有相对滑动。

如图3所示，对于做纯滚动的小球，其与接触面相接触的点P速度为零，即vP=0。

而质心速度

vC=Rω        （1）

其中，ω，R分别为小球转动的角速度和小球半径。

3.2    小球做纯滚动的条件

此题中的小球在恒力F的作用下，在水平面上沿直线运动，设小球的质量为m，半径为r，角速度为ω，转动惯量为IC，与水平面间的动摩擦因数为μ。若小球在水平面上滑动，因小球在水平面上既在做平动，又在做转动，由牛顿第二定律和转动力矩公式可得

F-mgμ=ma（2）

mgμ×r=IC β（3）

由（2）（3）两式可得小球的加速度a和角加速度β分别为

所以，要想把小球的运动近似看成纯滚动，只需要适当地增大小球的质量（同等体积选取铅球或铜球），调整弹簧压缩的程度（F），增大水平面的粗糙程度从而使得μ更易达到临界值。

综上所述，在忽略空气阻力以及将小球运动视为纯滚动的近似条件下，可以得到：弹簧的弹性势能将完全转化为小球的动能，两次小球动能相同，与参考答案吻合。考虑到初中学生缺乏相关的高等数学知识，教师可通过实验演示让学生体会纯滚动现象的存在（如向学生简单演示手推篮球）。或即使有部分有滑滚动发生，因滚动摩擦远小于同等条件下的滑动摩擦，加之弹簧推动小球运动距离较小，摩擦力对小球做的功也可以忽略。强调用近似的思想看待摩擦力做功问题，就可以得到与答案相同的结论，从而让他们从心底打消顾虑。

4    教学启示

近似思想是人们在研究实际问題时不得不采用的科学方法，正是由于实际情境中往往充斥着各种各样的次要因素，这些因素对我们所研究结论的影响微乎其微，那么在允许的范围之内就应该将其忽略。在我们的日常教学中应该要经常向学生浸润这种思想方法，这既是对学生物理学科核心素养中科学思维的有力培养，也是对学生人生观、价值观、世界观的充盈。忽略次要因素，抓住主要矛盾，不拘小节，方能成就大事。

参考文献：

［1］于凡，任新成.显化科学方法之科学探究法——以“探究通过导体的电流与电压、电阻的关系”为例［J］.中学物理，2019，37（2）：40-43.

［2］王伟芳.凸显科学方法 发展核心素养［J］.中学物理，2022，40（10）：42-45.

［3］刘俊娟，魏增江.“近似法”在物理解题中的应用［J］.物理通报，2015（5）：54-56.

［4］黄开智，陈宏.关于小球滚动与滑动问题的处理方法［J］.中学物理，2013，31（19）：81-82.

（栏目编辑    陈  洁）

收稿日期：2023-01-21

作者简介：张佳（1995-），男，中学二级教师，主要从事初中物理教学工作。