把握数的概念核心本质 发展学生高层次思维

董文彬

“分数的再认识”是北师大版《义务教育教科书·数学》五年级上册 “分数的意义”单元的起始课，由于分数在学生数的概念认知系统中占有十分重要的地位，因此“分数的再认识”也成为数的认识领域一节经久不衰的核心课，其意义不言而喻。

纵观各版本教材，学生对分数的认识在小学数学中大致分为两个阶段：第一阶段是在第一学段三年级学习“分数的初步认识”，第二阶段是在第二学段五年级学习“分数的意义”。以北师大版教材为例，在第一学段，学生已经在分物的背景下从“平均分”的角度初步认识了分数，从“平均分”一个“整体”（特指一个单独的物体或图形），如苹果、长方形、正方形、圆等，到平均分一个“群体”（或称之为“集合”），如一群小鸭子、一堆五角星等。可见，三年级学生已经初步完成了对分数的意义（比率层面）的建构与认识：一个物体或图形作为整体的分数认识、一群（多个）物体或图形作为整体的分数认识。这里“整体”的意义因拓展而内涵丰富，分数表示的是一个整体的一个部分，是部分与整体相互依存的倍比关系。学生在用画图的方式表达一个分数的意义时，积累了由面积模型到集合模型的分数表征的活动经验。五年级“分数的意义”是对三年级分数学习的继续深入——在分物或测量的背景下继续探索分数的“比率”“度量”“商”等多维度层面的意义，进而使学生从多重角度形成清晰的脉络来帮助理解分数意义独特而丰富的内涵，从不同的学习路径完成对分数的意义多元性的认识与拓展。而“分数的再认识”作为单元起始课，主要是在三年级延伸的基础上继续完成对分数“比率”这一维度意义的深化再认识——平均分的对象由一个物体或图形到多个物体或图形再到多组物体或图形，从不同角度认识整体“1”的丰富内涵，进而概括和深化认识分数比率层面的意义——分数表示部分与整体的关系。换而言之，对分数表达“关系”的认识是“分数的再认识”这节课的核心。

基于以上思考，“部分、整体”是分数发展的基础，是学生理解分数概念最基本、最重要的维度。笔者在这节课中设计了相关核心学习活动，通过层层深入的学习路径帮助学生建立对分数比率意义层面的深入理解。从解构到建构，以期在把握数的概念本质中帮助学生发展高层次思维。

一、唤醒经验，建构意义

教师出示“活动一”：以图形“圆”为素材创作表示出[14]这个分数。

师：我们已经初步学习过分数，下面请以图形“圆”为素材表示出[14]这个分数。

教师展示交流学生作品，有如下4种。

师：大家看这4幅图都能表示[14]吗？请你具体说说是怎样表示[14]这个分数的。

生（指图1）：这幅图是把一个圆平均分成4份，其中涂色的1份就表示占这个圆的[14]。

生（指图2）：把4个圆平均分成4份，其中涂色的1份是1个圆，就表示占这4个圆的[14]。

生（指图3）：把8个圆平均分成4份，其中涂色的1份是2个圆，表示占这8个圆的[14]。

生（指图4）：把12个圆平均分成4份，其中涂色的1份是3个圆，就表示占这12个圆的[14]。

师：每幅图的涂色部分都表示了[14]，每个[14]的大小一样吗？

生：不一样。

师：为什么不一样？

生：因为它们各自的整体不一样。

生：第一个[14]平均分的是1个圆，第二个[14]平均分的是4个圆，第三个[14]平均分的是8个圆，第四个[14]平均分的是12个圆，它们各自的整体不一样，平均分成4份后，其中1份的面积就不一样。

师：它们各自的整体不一样，为什么涂色部分又都能表示[14]这个分数？

生：因为都是把它们各自的整体平均分成了4份，涂色部分占了4份中的1份。

师：也就是说，不管整体是多少，只要把它们平均分成4份——

生：其中的1份就可以用[14]表示。

师：由此看来，分数实际上是用来表示什么的？

生：表示部分占整体的几分之几。

生：表示部分和整体的关系。

师：以[14]为例，它表示了部分和整体之间怎样的关系？

生：其中的部分1份占整体4份的[14]。

生：我们也可以反过来看，整体4份是部分1份的4倍。

【分析与思考】让学生以图形“圆”为素材创作表示出[14]这个分数，是为了帮助学生唤醒第一学段对分数学习的认识经验。学生从平均分1个图形到多个图形再到多组图形，在创作并表示出[14]的過程中体会到了表示同一个分数可以有不同的情形，丰富了整体“1”的内涵，同时也在自我建构分数概念的意义。特别是对“每个[14]的大小一样吗，为什么不一样？”“它们各自的整体不一样，为什么涂色部分又都能表示[14]这个分数？”这两个进阶问题的讨论中，帮助学生进一步明确了分数概念的本质——分数表达的是部分与整体的关系。

二、逆向创造，理解意义

教师出示“活动二”：一个图形的[13]是[ ]，画出这个图形。

学生依次呈现下面9种画法（如图5）。

师：作为[ ]的整体，这些图形都画得对吗？

生：都对。

师：可是这些图形的形状各不相同，行吗？说说理由。

生：我认为行，因为虽然形状不同，但都是由9个小方格组成的。

生：一个图形的[13]是[ ]，是连着的3个小方格，也就是说[ ]是这个图形整体的一部分，说明这个图形整体应该是部分的3倍，应该是9个小方格，所以只要画出的这个图形是9个小方格就行了。

生：我明白了，不管这个图形画成什么形状，只要3个小方格是一份，画出这样的3份就可以。

师：为什么只要画出这样的3份就可以？

生：部分占整体的[13]，那么整体就一定是部分的3倍，把部分[ ]看成1份，那么整体应该就是这样的3份。

师：也就是说，我们上面所画出的这些图形都表达了——

生：部分和整体之间的关系。

师：什么关系？

生：部分占整体的[13]，整体是部分的3倍。

【分析与思考】这个活动是让学生根据图形的一部分画出其原来的整体，学生在画的过程中要根据[13]的意义思考：[ ]与整个图形（整体）之间有什么关系？原图形是由几个[ ]组成的？通过这种由部分逆向创造整体的过程，在“同与不同”的深度追问中帮助学生进一步理解了部分和整体之间的关系：部分占整体的几分之几，整体是部分的几倍——这是作为“关系”的分数最本质的意义。

三、对比刻画，深化意义

教师出示“活动三”：为灾区人民捐款，笑笑捐献了零花钱的[12]，淘气捐献了零花钱的[12]，他们捐的钱一样多吗？请说明理由。

生：一样多，捐的都是[12]，都是一半。

生：不一定吧，他们的零花钱要是不一样多呢？

师：他们捐的钱到底是不是一样多？请在学习单上写出你的想法。

生：我觉得这个问题的结论有三种可能。假设笑笑的零花钱是a元，淘气的零花钱是b元，他们都捐了各自零花钱的一半；当a>b也就是笑笑的零花钱比淘气多时，笑笑捐得多；当a=b也就是他俩零花钱一样多时，他们捐得也一样多；当a<b也就是笑笑的零花钱比淘气少时，那淘气捐得多。

生：我同意他的想法，他们虽然都捐了各自零花钱的[12]，但捐得是不是一样多还得看他们的零花钱是不是一样多。

生：我是通过画图表示的（指图6）。大家能看懂我的想法吗？

生：这种方法其实和之前那位同学的想法是一样的，只是画图更直观了。

【分析与思考】数量关系的本质是多少，分数也不例外。这个活动是让学生讨论“两人都捐了零花钱的[12]的前提下，捐的钱是否一样多”，让学生进一步理解：对于同一个分数来说，整体的数量不同，对应部分的数量也不同。同时，深化理解分数表示多少的相对性：从相对量的角度理解分数意义中部分与整体的关系。

教师继续出示（变换数据）：为灾区人民捐款，奇思捐献了零花钱的[14]，妙想捐献了零花钱的[34]，他们捐的钱一样多吗？请说明理由。

（学生思考，之后展示他们的想法如图7。）

生：我是这样想的，假设妙想有4元零花钱，她捐出[34]就是捐出3元。如果奇思有28元零花钱，他捐出[14]就是7元，这时奇思捐得多。如果奇思有12元零花钱，他捐出[14]就是3元，这时他们捐得一样多。如果奇思也有4元零花钱，他捐出[14]就是1元，这时妙想捐得多。所以有三种情况。

教师课件动态演示，帮助学生直观理解上述三种情况。

师：通过讨论这个问题，你们对分数有什么新的认识吗？

生：只知道各自捐的钱占各自零花钱的几分之几，不知道各自零花钱的总数，无法确定谁捐得多，谁捐得多得根据他们零花钱的总数而定。

生：只知道各自部分和整体的关系，不知道各自整体是多少，就无法确定各部分的大小。

【分析与思考】这个活动是对上一个问题的进阶思考，让学生进一步讨论“各自捐的钱占各自零花钱的几分之几不同的前提下，捐的钱是否一样多”，让学生在举例、画图中进一步理解：对于不同的分数，整体的数量不同，对应部分的数量有时不同，有时相同。对这种不确定性的讨论，是学生对分数表示多少的相对性的再次深入认识，能深化作为“关系”的分数的意义。

四、关联话题，延伸意义

教师出示信息：甲捐款10000元，乙捐款100元。

师：在为灾区捐款的活动中，甲、乙两人一位捐款10000元，一位捐款100元。你有什么感受？

生：甲捐得多，乙捐得少。

生：甲很慷慨，乙比较“抠门”。

教师出示补充信息：一位亿万富翁捐款10000元，一位普通的快递员捐款100元。

师：你又有什么想说的吗？

生：开始只看甲、乙捐款的钱数时，我也认为乙捐得少，有点儿抠门，但是看到他们各自的收入后，我的想法改变了，我觉得甲捐得不算多，乙也并不摳门。因为甲是一位亿万富翁，他捐10000元，与他的收入相比只是微小的一部分而已，而乙是一位普通快递员，收入较低，他捐100元，和他的收入相比，已经不少了。

师：谁能具体解释解释？

生：假设甲有1亿元，而他捐了10000元，相当于他只捐了他收入的[110000]，而假设乙的收入是5000元，他捐100元相当于他收入的[150]，所以我觉得相比之下快递小哥捐得更多。

生：看谁捐得多不能只看他捐了多少钱，还要看他的收入，更重要的是要看他捐款的钱数和他收入的比例关系。

师：其实就捐款这件事而言，只要为灾区人民捐出了自己的钱，奉献了爱心，就都是好样的。但这个话题能够引起大家联想到用分数关系来解释思考，表达自己的观点，老师还是为你们感到高兴的。相信你们对分数一定又有了更高层次的认识。

【分析与思考】这个活动是在捐款的情境中让学生直观感受和讨论“两人捐款的多与少”，在接续补充信息的过程中，学生认知上发生了变化，这样学生在表达自己观点的过程中自然地在头脑中构造和关联分数的意义去解释自己的想法：在看待问题时不要只关注部分，还要关注整体，关注部分与整体的关系，这正是分数作为比率维度的最基本的意义。

（责任编辑：杨强）