SEI1I2QR传染病模型的动力学分析与应用

徐文达,许李灿,于非凡,刘素莉

(1.吉林大学 数学学院,长春 130012; 2.香港浸会大学 工商管理学院,香港 999077)

目前,关于传染病模型的研究已有很多结果,包括时滞微分方程、随机微分方程和偏微分方程模型等[1-5].Viguerie等[6]提出了一个基于偏微分方程耦合非均匀扩散模型的SEIRD数学模型; 贾继伟等[7]通过建立脉冲微分方程模型研究了考虑境外输入病例情况下的病毒传播行为和影响; 钱蓉等[8]分析了分数阶SIR传染病模型的动力学行为.文献[9]研究表明,在传染病建模中应关注无症状感染者的影响.本文基于传染病人群中无症状感染者一部分会转化为确诊病例、另一部分会直接自愈的现象,构建SEI1I2QR传染病模型,并分析传染病灭绝和爆发的阈值条件,最后结合真实病例数据,通过数值模拟对模型参数进行灵敏度分析.

1 SEI1I2QR传染病模型的建立

图1 SEI1I2QR模型的传播示意图Fig.1 Schematic diagram of transmission of SEI1I2QR model

本文将总人口分为7个仓室: 易感者S、潜伏期人群E、无症状感染者I1、有症状感染者I2、隔离人群Q和移除人群R.进一步,将隔离人群Q又分为: 无症状感染者I1进入仓室Q1进行隔离观察,隔离观察期间无症状感染者可能病情加重进入仓室Q2进行治疗; 有症状感染者I2确诊后进入仓室Q2进行隔离治疗.由于传播2019新型冠状病毒(COVID-19)的奥密克戎毒株感染者大多是无症状感染者,具有传染率高但致死率低的特点,因此本文不考虑人口出生和死亡,即假设总人口(S+E+I1+I2+Q1+Q2+R)(t)=N.对确诊病例进行流行病学调查和必要的全民核酸检测,有利于快速发现潜伏感染者和无症状感染者,从而加快感染者的确诊和隔离进程.本文根据COVID-19传播规律建立一类考虑无症状感染者及两类隔离仓室的SEI1I2QR模型,如图1所示.图1中:f=f(S,E,I1,I2)表示3类具有传染性的群体与易感染者接触的传染项,

f(S,E,I1,I2)=(β0E+β1I1+β2I2)S,

式中β0,β1,β2分别表示处于不同感染状态E,I1,I2的感染率,且β0≤β2≤β1,即处于潜伏期的感染者具有最弱的传染性,无症状感染者的传染性最强,有症状感染者的传染性居于二者之间; 单位时间内新感染者以α1,α2,α3的概率分别进入感染阶段E,I1,I2,αi∈(0,1),i=1,2,3且α1+α2+α3=1;k1,k2表示隔离率;δ表示隔离仓室之间的转化率;γ1,γ2表示移出率; 1/θ表示疾病的平均潜伏时间;p是概率参数,且p∈(0,1).

基于如上假设建立的模型可表示为常微分方程组:

(1)

其满足初值条件:

S(0)=S0>0,E(0)=E0>0,I1(0)=I10>0,I2(0)=I20>0,Q1(0)=Q2(0)=R(0)=0,

其中S0+E0+I10+I20=N.分析表明,Q1,Q2,R不影响模型的动力学行为,从而可考虑简化的SEI1I2模型:

(2)

2 模型分析

通过分析模型,易得如下结论.

引理1对于任意非负的初值,系统(2)的解是非负的,即非负锥

是正不变的.

引理2系统(2)的解是一致有界的,即

0≤S(t)

引理3极限

存在,且0≤S(∞)

F是一个非负矩阵,V是非奇异M-矩阵,其逆矩阵V-1是非负的,且

根据下一代矩阵法,可定义模型的基本再生数为R0=ρ(FV-1),其中ρ(A)表示矩阵A的谱半径.

定理1令

(w1,w2,w3)=(β0,β1,β2)V-1,

(3)

则基本再生数可表示为R0=α1w1+α2w2+α3w3.

证明: 矩阵F可表示为

F=S0(α1,α2,α3)T(β0,β1,β2).

(4)

在式(4)两端右乘V-1,有

FV-1=(α1,α2,α3)T(w1,w2,w3).

易见矩阵FV-1的秩为1,谱半径等于其唯一的正特征值,即α1w1+α2w2+α3w3.证毕.

于是模型的基本再生数为

(5)

定理2当R0<1时,传染病不会爆发; 当R0>1时,传染病会爆发.

证明: 构造Lyapunov函数

L=w1E+w2I1+w3I2,

其中wi(i=1,2,3)由式(3)确定.将函数L关于t求导得

(6)

结合矩阵F,V的定义,有

从而

定理2表明,传染病是否会爆发完全由基本再生数R0决定.

3 灵敏度分析与数值模拟

SEI1I2QR模型中的参数含义及其取值列于表1.下面基于建立的SEI1I2QR传染病动力学模型,验证定理2的正确性并分析隔离无症状感染者和核酸检测这两项措施对病例数的影响,通过改变参数,设置对照组进行评价.

表1 SEI1I2QR模型中的参数含义及其取值

3.1 R0<1和R0>1时的疫情爆发情况

用MATLAB软件对系统(1)进行数值模拟,验证本文结果的准确性.根据表1的参数选取,在系统(1)中取S0=15,S0=150,此时其模型预测分析结果如图2所示.由图2(A)可见,E,I1,I2随着时间t的增加而减小到0,传染病不会爆发; 由图2(B)可见,E,I1,I2先增加然后减小到0,传染病会爆发.从而验证了引理3和定理2的正确性.

图2 R0<1(A)和R0>1(B)时的模型预测分析结果Fig.2 Prediction analysis results of model when R0<1 (A) and R0>1 (B)

图3 2022-03-04—2022-05-21的每日新增确诊人数和无症状感染者人数Fig.3 Number of newly diagnosed and asymptomatic infections per day from March 4,2022 to May 21,2022

3.2 隔离无症状感染者的灵敏度分析

由于有症状感染者会迅速被进行确诊、隔离治疗,所以本文主要讨论隔离无症状确诊者的情况.无症状感染者很难被发现,但又同时具有传染力,所以隔离无症状感染者,是防止病毒传播极其有效的方法.本文数据来源于长春市卫生健康委员会获取的长春市2022-03-04—2022-05-21的COVID-19的确诊人数及无症状感染者人数.根据长春市统计局获取2022年长春第7次人口普查中的常住人口数据,目前长春市常住人口超过906.69万人.病例数据如图3所示.

图4 隔离无症状感染者的防控效果预测Fig.4 Prediction of prevention and control effect of isolating asymptomatic infections

采用SEI1I2QR模型,取不同的隔离系数k1=0.4,0.6,0.8,1,对照不同隔离系数下的新冠疫情传播情况即研究I1的变化趋势,通过MATLAB软件得到的仿真模拟结果如图4所示.由图4可见,若对无症状感染者及时精准地发现并隔离,可明显降低确诊人数,并且隔离系数k1越大,疫情规模越小,增长速度越慢.而随着隔离系数k1的增大,疫情峰值会显著下降.

3.3 核酸检测措施的灵敏度分析

奥密克戎毒株具有很强的潜伏期和隐秘性,潜伏期感染者体内病毒浓度很低同样无症状,所以如果不进行核酸检测,则会感染更多的易感者.核酸检测的主要作用是控制传染源,切断COVID-19的传播途径,保护易感者人群,能更及时地从潜伏期感染者中筛选出无症状感染者和有症状感染者.

但在实际应用中核酸检测的覆盖率和有效率不能保证100%,所以本文通过改变参数值研究其对疫情传播的影响.下面对核酸检测概率参数设置对照组:θ=0.4,0.6,0.8,1.0,通过改变θ研究其对疫情传播的影响.核酸检测出无症状感染者和有症状感染者的防控效果预测如图5所示,图6为图5峰值的放大图.由图5和图6可见,核酸检测对病毒传播具有明显的抑制作用,系数θ越大越容易更快地筛选出感染人群,系数θ越小感染人群被发现得越慢.

图5 核酸检测出无症状感染者(A)和有症状感染者(B)的防控效果预测Fig.5 Prediction of prevention and control effect of asymptomatic (A) and symptomatic infections (B) detected by nucleic acid

图6 核酸检测出无症状感染者(A)和有症状感染者(B)防控效果预测的峰值放大图Fig.6 Enlarged views of predicted peak value of prevention and control effect of asymptomatic (A) and symptomatic infections (B) detected by nucleic acid

综上,本文根据建立的SEI1I2QR疫情传染病模型,利用长春市2022年3—5月间的真实疫情数据模拟了在不同参数下疾病传播的变化趋势,并对比了不同防控政策下疾病传播的变化趋势.结果表明,对风险人群科学精准排查,尽早对无症状感染者进行隔离诊治以及核酸检测等措施对遏制疾病传播有积极效果.