最终S-Nekrasov矩阵逆矩阵无穷范数的上界

蒋建新

（文山学院 人工智能学院, 云南 文山 663099）

数值分析中矩阵A的逆矩阵A-1的被用于计算条件数，对的计算或估计，是近些年矩阵理论研究的热点之一。

对于H矩阵子类中大部分热点矩阵逆矩阵的无穷范数，已有许多学者得到了一些较好的结果[1-5]。但是对于最终S-Nekrasov矩阵的研究，还没有文献研究。

本文利用S-Nekrasov矩阵逆矩阵无穷范数最新的估计式，结合最终S-Nekrasov矩阵的定义式的结构特点，研究该类矩阵无穷范数的上界估计问题。

1 预备知识

定义1[6]设矩阵A=(aij)∈Cn×n，对∀i∈N，有|，i= (2, 3, …,n)，则称A是Nekrasov 矩阵。

定义2[6]设A=(aij)∈Cn×n，若

S ⊆ N，S ≠ ∅，ri(A) =

引理1[7]设A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov 矩阵，则时，有≤max

其中，

引理2[7]设A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩阵，则当有

其中，

引理3[8]设A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩阵，则当有有

其中，

引理4[8]设A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩阵，则时，有

其中，

2 主要结果

本部分，首先给出最终S-Nekrasov矩阵的定义，并证明该类矩阵是非奇异矩阵。其次，利用引理1、引理2、引理3 以及引理4 中的S-Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数的估计式，给出S-Nekrasov∃矩阵逆矩阵无穷范数的估计式。

定义3 设A=sI-F，i∈C，若存在某个k∈N +使得skI-Fk∈S-Nekrasov矩阵,则称A为最终S-Nekrasov矩阵，记为A∈S-Nekrasov∃。

定理1若A=sI-F∈S-Nekrasov∃，则A为非奇异矩阵。

证明：因为A=sI-F∈S-Nekrasov∃和定义1 知，存在某个k∈N +使得skI-Fk∈S-Nekrasov矩阵，又因为S-Nekrasov矩阵是非奇异矩阵，即sk不是Fk的特征值,因此s不是F的特征值. 故A没有0 特征值，即A非奇异。

定理2 如果存在正整数k使得A=sI-F∈S-Nekrasov∃，若

则

证明：因为A=sI-F∈S-Nekrasov∃，所以存在正整数k使得skI-Fk∈S-Nekrasov，则skI-Fk非奇异。

因为skI-Fk= (sI-F)(sk-1I+sk-2F+ … +sFk-2+Fk-1)，则

(sI-F)-1= (skI-Fk)-1(sk-1I+sk-2F+ … +sFk-2+Fk-1 )

定理证毕。

接下来，在定理2 的基础上，应用引理2 证明定理3。

定理3 如果存在正整数k使得A=sI-F∈S-Nekrasov∃，若

则

证明：由定理2 得

则

证毕。

同理可证定理4 和定理5 成立。

定理4 如果存在正整数k使得A=sI-F∈S-Nekrasov∃，若

则

定理5 如果存在正整数k使得A=sI-F∈S-Nekrasov∃，若

则

本文通过构造的方法，得到了S-Nekrasov∃矩阵逆矩阵线性互补的误差界，这个研究弥补了S-Nekrasov∃矩阵该方面的空白，也是对H 矩阵子类研究的进一步拓展。