考虑基底变形的金属静密封粗糙面接触模型

于颖嘉, 崔 颖*, 张宏翔, 王大玮, 钟兢军

(1.大连海事大学 船舶与海洋工程学院, 辽宁 大连 116026;2.上海海事大学 商船学院, 上海 201306)

金属静密封具有承压能力高、结构简单、耐高温和耐腐蚀等优点，广泛应用于航空航天和石油化工等领域[1-2].金属静密封由两粗糙面接触构成密封界面，粗糙面上微凸体的存在使得密封界面存在孔隙，如果这些孔隙形成了泄漏通道，可能导致密封介质泄漏.密封界面的压缩量是影响泄漏通道截面尺寸的重要因素，而压缩量与作用于密封界面的平均接触压力密切相关.因此，建立有效的粗糙面接触模型，研究粗糙面间的真实接触状况，得到压缩量与平均接触压力之间的函数关系对研究密封界面的泄漏特性具有重要意义.

长期以来，众多学者对粗糙面的接触问题进行了深入的研究.Johnson[3]研究了刚性球体与弹性半空间体的接触问题，结合弹性力学与弹性空间变形规律得到平均接触压力与球体下降高度的关系，为研究粗糙面间的接触问题奠定了基础.Greenwood和Williamson[4]将双粗糙面的接触简化为刚性平面与等效粗糙面的接触，并将微凸体简化为具有相同曲率半径的球体，应用Hertz接触理论与概率统计原理提出GW接触模型.由于GW模型没有考虑微凸体的弹塑性变形与塑性变形，无法应用于中载与重载的情况.Pawlus等[5]和Pullen等[6]对微凸体塑性变形阶段进行研究，提出粗糙面塑性接触模型.然而，该模型只适用于重载情况，无法对中载情况下粗糙面间的接触进行计算.GW模型与粗糙面塑性接触模型均忽略了微凸体的弹塑性变形，为弥补这一不足，Chang等[7]基于体积守恒假设，应用GW模型的建模方法提出了CEB接触模型.由于CEB模型中临界屈服点接触压力发生跳跃，降低了其计算精度[8].Zhao等[9-10]对CEB模型进行改进，以微凸体变形的连续性假设代替体积守恒假设，考虑微凸体的弹性、弹塑性与塑性变形提出了ZMC模型，很好地解决了CEB模型的连续性问题.李炎等[11]采用移动平均滤波方法对实际粗糙面进行光滑处理，应用共轭梯度法求解表面接触压力与摩擦力，提高了粗糙面接触压力的求解速度.

然而，研究表明现存的统计学模型的计算结果相对有限元计算结果与试验结果偏大[12]，一些学者认为这是由于现有模型没有考虑粗糙面基底变形导致的[13-14].李治伟等[15]应用有限元法研究了不同基底厚度对粗糙面接触刚度的影响，研究表明基底厚度对粗糙面接触刚度影响显著.李玲等[16]以数控机床中的金属结合面为研究对象，应用弹性力学中集中载荷作用于弹性半空间体模型计算得到基体变形量，对GW模型进行修正得到了考虑基底变形的弹性接触模型.该模型为建立考虑基底变形的接触模型提供了新思路，但其只适用于弹性接触.

基于上述研究，本文作者根据连续性假设与基底严重变形区域理论，得到压缩量与微凸体真实变形量的关系，建立包含基底的微凸体接触模型；结合粗糙面微凸体高度分布规律与微凸体接触模型提出考虑基底体变形的粗糙面接触模型.通过与接触模型的对比验证了本文中接触模型的合理性.通过分析横向分辨率与名义接触面积对粗糙面平均接触压力的影响规律，验证了模型的稳定性，为研究密封界面的泄漏特性提供理论基础.

1 考虑基底变形的粗糙面接触模型

微凸体接触模型是建立粗糙面接触模型的基础.根据统计学接触模型的基本假设[4]，两微凸体的接触可简化为刚性平面与单个微凸体的接触，如图1所示.

图1中ω为压缩量，z为微凸体高度，d为刚性平面与粗糙面基准平面的距离，R为微凸体等效半径，ωb为基底变形量.当不考虑基底变形时，由ZMC模型可知微凸体的真实变形量与压缩量相等，即

当考虑基底变形时，微凸体的真实变形量ωa为

由公式(2)可知，微凸体的真实变形量为压缩量与基底变形量的差值，若不考虑基底变形量，则导致微凸体真实变形量偏大.为准确计算微凸体的真实变形量，需要先计算基底变形量.将微凸体与基底分开讨论，当微凸体在受到挤压时，基底同时受到微凸体传递过来的压力，如图2所示，p0为微凸体传递的接触压力.根据弹性力学，若应力分布在1个特征长度为2R的有限表面区域内，则这个区域称为严重变形区域，那么整个半空间体的总变形和应力与尺寸为2R的体积在三维空间的总应变和应力属于同一数量级.超过这个严重变形区域，应力以r-2衰减，r为远离严重变形区域的距离，即体积为8R3的正方体空间为能量和力的主要分布空间[17].根据严重变形区域理论，我们可以对基底变形量进行评估.

1.1 微凸体弹性变形阶段

随着压缩量的增大，微凸体的变形逐渐由弹性向完全塑性转化.根据严重变形区域理论，当基底下降ωb时，严重变形区域的应变ε为

则接触压力p0为

假设基底受到的接触合力为F1，即

式中：E*为等效弹性模量.

E为粗糙面弹性模量，ν为粗糙面泊松比.由赫兹接触可知，微凸体接触合力F2为

微凸体的接触合力与基底的接触合力相等，即

联立公式(2)与公式(7)，得到ωa与ω的关系：

由GW模型可知，当微凸体处于弹性阶段时，微凸体上平均接触压力Pet为

当平均接触压力等于0.6H时(H为两个粗糙面中软质材料的硬度)，微凸体开始进入屈服阶段[18].根据公式(9)可导出微凸体进入屈服阶段的临界变形量为

当ωa小于ω1时，微凸体处于弹性阶段，当ωa大于等于ω1时，微凸体处于弹塑性阶段或塑性阶段.

1.2 微凸体塑性变形阶段

定义进入完全塑性的微凸体临界变形量为ω2，当ωa大于ω2时，微凸体处于完全塑性阶段.根据FA模型[19]：

Fig.1 Contact deformation of asperity图1 微凸体接触变形

Fig.2 Severely deformed area of the substrate图2 基底的严重变形区域

式中：Ppt为完全塑性阶段微凸体的平均接触压力.

1.3 微凸体弹塑性变形阶段

当ω1≤ωa<ω2，微凸体处于弹塑性阶段.为满足微凸体变形的连续性，构建样板函数平滑连接微凸体的弹性阶段与塑性阶段.样板函数为

样板函数具有在边界点连续可导的特点，定义两个函数：

在边界点ω1和ω2，应用样板函数连接Q与S：

令Q(ωa)=Pet，S(ωa)=Ppt，可以得到微凸体弹塑性阶段平均接触压力的表达式：

式中Pept为弹塑性阶段微凸体的平均接触压力.

1.4 粗糙面接触模型

由GW模型可知，粗糙面上微凸体的高度服从高斯分布，则在名义接触面An上，微凸体的个数n为

式中 ϵ为微凸体的面密度，Φ(z)为微凸体高度的概率密度函数.当压缩量为ω时，粗糙面上弹塑性变形微凸体的接触合力Fept(ω)为

粗糙面上弹性变形微凸体的接触合力Fet为

粗糙面上塑性变形微凸体的接触合力Fpt(ω)为

则接触面上接触合力Ft为

假设上粗糙面的弹性模量与泊松比分别为E1与ν1，下粗糙面的弹性模量与泊松比分别为E2与ν2，则等效弹性模量为

粗糙面的平均接触压力为Ft(ω)/An：

式中等效半径R以及微凸体面密度η的计算方法参阅文献[20].

2 接触模型对比与稳定性分析

为验证本文作者提出的接触模型的合理性，首先应用自相关函数法生成粗糙度为0.8 μm，自相关系数βx=βy=10，名义接触面积为800 μm×800 μm的各向同性表面[21]，如图3所示.

粗糙面弹性模量E=210 GPa，泊松比为0.33，硬度为850 MPa.ZMC模型、基于有限元法与粗糙面接触经验公式的KE接触模型[19]与本文中模型计算得到的接触合力如图4所示.由图4可知，在本文中模型计算得到的接触合力随压缩量的变化关系与ZMC模型和KE模型相同.当压缩量较小时，三种模型的接触合力数值差异很小，随着压缩量的增大，三种模型计算得到的接触合力差异逐渐增大，且本文中模型的计算结果小于ZMC模型的计算结果.这表明，基底变形在轻载情况下对接触面的接触特性影响较小，在重载时对粗糙面接触特性影响显著.同时，在本文中模型的计算结果更接近KE模型，且考虑了基底变形对粗糙面接触合力的影响，更贴近于工程实际，因此模型对比表明本文中模型合理有效.

Fig.3 Rough surface 3D point cloud data图3 粗糙面三维点云数据

Fig.4 Comparison of contact models图4 接触模型对比

针对粗糙接触面，横向分辨率和名义接触面积是其特征参数，通常需人为选定，因而有必要分析本文中模型的计算是否对这两个参数敏感.横向分辨率是表征粗糙面观测尺度的物理量，横向分辨率越小，粗糙面体现的细节特征越多.在粗糙面点云数据中，样本个数N为表征横向分辨率的量，横向分辨率越小，N越大.自相关函数法生成的点云数据横向分辨率为1 μm，即在100 μm×100 μm的粗糙面上，N=100×100.因此为了研究横向分辨率对粗糙面接触特性的影响，应用自相关函数法在1001 μm×1001 μm的区域生成N=1001×1001个样本点，然后分别以1、2、4以及5 μm的间隔进行采样，间隔长度即为横向分辨率.在压缩量为2 μm的情况下，计算得到了平均接触压力与横向分辨率的关系.

如图5所示，平均接触压力随横向分辨率的降低而逐渐升高.然而，平均接触压力最大上升幅值仅为0.5 MPa，随着分辨率的降低，平均接触压力逐渐收敛.因此，当横向分辨率为1 μm时，可计算得到稳定的平均接触压力值，进而可对粗糙面接触特性进行准确评估.同时，分别生成名义接触面积为400 μm×400 μm、600 μm×600 μm、800 μm×800 μm和1 000 μm×1 000 μm，横向分辨率均为1 μm的三维点云数据.应用本文中的接触模型对不同名义接触面积的接触面分别计算100次，并进行均化处理，平均接触压力与压缩量的关系曲线如图6所示.

Fig.5 The effect of resolution on average contact pressure 图5 分辨率对平均接触压力的影响

Fig.6 Relation between average contact pressure and nominal contact area 图6 平均接触压力与名义接触面积关系曲线

可见，当名义接触面积大于600 μm×600 μm时，名义接触面的变化对平均接触压力影响很小.这表明，粗糙面名义接触面积的选取应大于600 μm×600 μm，此时本文中的粗糙面接触模型对横向分辨率和名义接触面积的选取并不敏感，具有良好的稳定性.名义接触面积为400 μm×400 μm的接触面计算得到的平均接触压力与其他三组数据偏差较大，导致该现象的原因是：在计算各向同性表面的面密度η时，需要对点云进行一阶导数与二阶导数的计算并取平均值.对于具有相同横向分辨率和粗糙度，接触面名义接触面积越大，点云数据越多，计算得到的面密度越准确[22].因此，当名义接触面积为400 μm×400 μm时，由于点云数据较少，使得m2、m4和面密度η的计算值出现偏差，导致平均接触压力值出现误差.

3 结论

a.根据基底的严重变形区域理论推导得到基底变形量，应用受力平衡原理建立粗糙面压缩量与微凸体真实变形量的关系，并提出包含基底的微凸体弹塑性接触模型；进而结合粗糙面微凸体高度分布规律与统计学原理建立考虑基底体变形的粗糙面接触模型.

b.由本文中的模型与ZMC模型和KE模型的对比可知，本文中模型对平均接触压力的计算结果与ZMC模型和KE模型的计算结果具有相同的变化趋势与量级，验证了本文中模型的有效性.本文中模型计算得到的平均接触压力在轻载时与ZMC模型的计算结果相同，随着载荷的增大，两种模型计算结果的分离度逐渐增加，且本文中模型的计算结果小于ZMC模型的计算结果.这表明，基底变形只在重载的情况下对接触面的接触状态有显著影响.

c.应用本文中模型研究了横向分辨率与名义接触面积对接触面平均接触压力的影响，结果表明，平均接触压力与横向分辨率成反比，当横向分辨率为1 μm时，可计算得到稳定的平均接触压力值；名义接触面积的取值应大于600 μm×600 μm，此时名义接触面积对平均接触压力无影响，平均接触压力对横向分辨率与名义接触面积的变化并不敏感，这表明本文中模型具有良好的稳定性.