相场法模拟中取向与热扩散参数对Ni-Sn合金枝晶形貌的影响

摘 要：利用相场模型与温度场进行耦合的控制方程来模拟Ni-Sn二元合金凝固过程中的枝晶生长情况。依据热力学定律、自由能泛函与熵泛函原理，建立Ni-Sn合金相场和温度场耦合的模型。用相场法模拟合金在非均匀温度下枝晶生长过程和枝晶生长形貌的情况。对形成的图像进行对比，研究各向异性强度参数与热扩散参数对枝晶生长形貌和生长速度的影响。模拟研究表明：在非均匀温度场下，当各向异性强度参数增大时，枝晶的生长速度会随之增大，并且二次支臂的生长数量也会增加。此外，当热扩散参数增大时，枝晶的生长速度会随之减小，枝晶主干变细，并且二次支臂的生长数量会有明显减少。

关 键 词：相场法; 枝晶生长; 数值模拟; Ni-Sn合金

中图分类号：TG113 文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.02.006

Effects of orientation and thermal diffusion parameters on dendrite morphology of Ni-Sn alloy in phase field simulation

GAO Ming， JIAO Yiwei

（College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：The phase field model coupled with the temperature field is used to simulate the dendrite growth of Ni-Sn binary alloy during solidification. Based on the thermodynamic law， free energy functional and entropy functional， the coupling model of Ni-Sn alloy phase field and temperature field is established. The phase field method is used to simulate the dendrite growth process and morphology of the alloy at non-uniform temperature. The images are compared to study the effects of anisotropic strength parameters and thermal diffusion parameters on dendrite growth morphology and growth rate. The simulation results show that the growth rate of dendrites and the number of secondary arms will increase with the increase of anisotropic strength coefficient in the non-uniform temperature field. In addition， when the thermal diffusion coefficient increases， the growth rate of dendrites will decrease， the main dendrite will become thinner， and the number of secondary arms will be significantly reduced.

Key words：phase-field method; dendrite growth; numerical simulation; Ni-Sn alloy

材料的力学性能与其微观组织密切相关，枝晶是最常见的微观结构组织，所以它的形貌对材料的宏观特性有着至关重要的作用^［1］。金属凝固过程中由于传热和动量传输的复杂性，需要控制大量参数和复杂条件。一般说来，枝晶的尺度大多在微米级，通过实验手段对其凝固过程中的生长进行研究较为困难，而采用相场法能够实现枝晶生长过程微观与宏观的统一^［2-3］。由于相场法能够引入序参量，这就可以避免追踪固液界面，使模拟效果更接近真实情况^［4］。

相场法基于统计物理学，以Ginzburg-Landau 相变理论为基础，使用微分方程来表示复杂的扩散效应、有序化势和热力学驱动力^［5］。引入相场变量φ描述固相与液相界面上的状态，并确定相场变量φ的控制方程与温度场的控制方程，从而更好地反映出金属凝固的真实情况^［6-7］。

本文采用相场与温度场耦合的方法，模拟了Ni-Sn二元合金枝晶生长过程，研究了各向异性强度参数和热扩散参数对枝晶生长的影响，并且分析了各参数对二元合金枝晶生长形貌及速度的影响，为合理选择控制参数提供了理论支持^［8］。

1 Ni-Sn二元合金相场模型

1.1 相场控制方程

基于热力学一致性，推导相场控制方程的过程可分为2种，一种为自由能泛函推导，另一种为熵泛函推导。本文以熵泛函理论为基础，结合热力学第二定律，假设系统密度均匀，液相无对流，并且在绝热的前提下推导相场方程^［9-10］，过程如下：

其中：φ为相场参量;M_φ为相场参数;T为无量纲温度;ε为界面厚度有关的参数;上标A，B分别表示合金中组分Ni和Sn;c为合金中Ni的组分;δ为各向异性强度参数;j为各向异性强度参数的模数。

1.2 温度场控制方程

其中：κ为无量纲热扩散参数，与潜热成正比;D_T为合金的热扩散参数;C_P为合金的比热容;L^A，L^B分别为合金中的组分Ni，Sn金属的熔化潜热;c为合金中Ni的组分。

2 数值模拟

本文采用有限差分法，把模拟区域分成300×300网格，设初始晶核半径为r，并且使其位于计算区域中心，并设置如下条件^［12］：

在网格边界区域，选择Zero-Neumann边界条件^［13-14］。Ni-Sn合金的物性参数^［15］见表 1。

3 模拟结果与分析

3.1 各向异性强度参数对枝晶生长的影响

3.1.1 各向异性强度参数对枝晶形貌的影响

模拟时，只改变各向异性强度参数δ，即δ=0.005，δ=0.007和δ=0.009，并且选择了3个不同的时间步长进行计算，计算结果绘制为3组图片（图1）。其中，a，b，c对应着时间步长n=1000，n=2000，n=3000;1，2，3则分别对应每个时间步长下，各向异性强度参数δ分别为0.005，0.007和0.009时的枝晶形貌。

从图1可以看出，当各向异性强度参数值为0.005时，晶粒主要沿着主轴方向生长，没有体现某一方向上的生长优势，二次支臂生长也不明显;当各向异性强度参数值为0.007时，随着各向异性强度增强，晶粒在主轴方向的支臂变得发达且细长，同时也能发现有二次支臂的生长;当各向异性强度参数值为0.009时，可以看出较为明显的二次支臂生长，其数量也有增加，这说明各向异性强度参数的增大会导致固相与液相接触面的不稳定扰动出现。图1从纵向对比，可以发现时间步长对枝晶生长的影响。当各向异性强度参数相同时，时间步长的增加会使主干支臂长度和二次支臂的数量都有所增加。

3.1.2 各向异性强度参数对枝晶尖端生长速度的影响

由图1可知，相同时间步长下枝晶尖端的生长速度也并不相同。为了探究枝晶尖端生长速度与各向异性强度参数之间的关系，绘制了不同各向异性强度参数下主干支臂长度随着时间步长的变化曲线图，如图2所示。从图2可以看出，当各向异性强度参数从0.005增加到0.009时，支臂长度的直线斜率会随之变大。这说明随着各向异性强度参数的增加，枝晶尖端的半径变小，加快了枝晶生长速度。

3.2 热扩散参数对枝晶生长的影响

3.2.1 热扩散参数对枝晶形貌的影响

为了探究热扩散参数与凝固过程中枝晶形貌之间的关系，选择3个热扩散参数分别为κ=1.4， κ=1.6， κ=1.8下的3个时间步长的模拟数据，并绘制了3组图片（图3）。其中，a， b， c对应着时间步长n=1000， n=2000， n=3000;1， 2， 3则分别对应每个时间步长下，热扩散参数κ分别为1.4， 1.6和1.8时的枝晶形貌。

从图3的横向对比可以看出，随着热扩散参数的增加，枝晶的主干支臂会变小，同时也会抑制二次支臂的生长。这是因为固液界面的前沿部分集中了大量的枝晶生长时释放的潜热，随着热扩散参数的增加，凝固潜热释放也会变快，导致枝晶的主干变得越来越光滑，二次支臂生长也不明显。从图3的纵向对比也可以看出时间步长对枝晶生长的影响。随着时间步长的增加，枝晶主干支臂长度也会随之减小，二次支臂的数量和长度也会减小。

3.2.2 热扩散参数对枝晶尖端生长速度的影响

图4为不同热扩散参数下枝晶主干支臂长度随着时间步长的变化曲线图。从图4可以看出，随着热扩散参数的增加，枝晶主干支臂长度随之减少，导致枝晶尖端生长速度变慢。这是由于凝固潜热的释放速度会随热扩散参数增加而变快，导致温度梯度变大，使枝晶尖端生长速度减慢。

4 结 论

通过对得到的模拟结果进行对比分析，可以得出以下结论：

1） 各向异性强度参数增大会导致枝晶的尖端生长速度变快，二次支臂更容易出现，其数量也会增加。各向异性强度参数相同时，运行的时间步长越多，枝晶的主干支臂生长越发达。

2） 热扩散参数增大会导致枝晶的尖端生长速度变慢。当热扩散参数相同时，运行的时间步长越多，枝晶的生长形貌越显著。

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