具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则

摘要：针对一类具有分布时滞的非线性广义系统，利用李雅普诺夫第二方法和广义系统的受限等价变换，给出一致渐近稳定性准则。首先，在假设具有分布时滞的非线性广义系统是正则、无脉冲的基础上，构造了新的增广Lyapunov-Krasovskii泛函（L-K泛函），在L-K泛函中加入了三重积分项以获得更多的时滞信息;然后，对L-K泛函求导后产生的积分项应用边界估值更为精确的Bessel-Legendre不等式（B-L不等式）进行处理，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则条件;最后，利用数值算例，通过Matlab中LMI工具箱求解，验证了所用方法的可行性和有效性。

关 键 词：非线性广义系统; 分布时滞; 一致渐近稳定性准则; Lyapunov-Krasovskii泛函; Bessel-Legendre不等式

中图分类号：O231 文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.1673－5862.2023.01.007

Uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delay

SUN Xin， LI Junxin

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：The uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delays is discussed by Lyapunovs second method and the limited equivalent transformation of descriptor systems. Firstly， under the assumption that the nonlinear descriptor system with distributed delay is regular and impulse free， a novel augmented Lyapunov-Krasovskii functional （L-K functional） is constructed in which the additional delay information is obtained by adding the triple integral terms into L-K functional. Secondly， the integral term produced by derivation of L-K functional is treated by Bessel Legendre inequality （B-L inequality） with more accurate boundary estimation. Consequently， the uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delays is obtained by applying Lyapunov stability theory in terms of linear matrix inequality. Finally， a numerical example is provided to demonstrate feasibility and validity of the proposed method by virtue of the LMI toolbox of Matlab.

Key words：nonlinear descriptor systems; distributed delay; uniformly asymptotic stability criterion; Lyapunov-Krasovskii functional （L-K functional）; Bessel-Legendre inequality

广义系统［1－2］，也称为隐式系统、奇异系统或广义状态空间系统，频繁出现在一系列实际系统中，包括机器人、电力系统、网络和经济系统。广义系统具有广泛的应用前景和深远的实际意义，因而引起国内外众多学者的关注。目前，许多正常系统中的理论已成功扩展到相应的广义系统，例如可控性和可观测性［3］、Lyapunov稳定性［4］、鲁棒稳定性和镇定性［5］、容许性［6］和最优控制［7］。由于环境噪声、不确定性或缓慢变化的参数在许多实际系统中广泛存在，因而非线性广义系统受到广泛关注。目前基于广义系统的控制和系统理论中的大量基本概念和结果已成功扩展到非线性广义系统［8－9］。

时滞现象常常出现在各种工程、生物、机械和光学等系统中， 而且是导致系统不稳定的主要原因。若系统中的时滞为过去一段时间系统变量的积分，这样的时滞称为分布时滞。分布时滞系统模型常用于热力学、生态学或流行病学等领域。分布时滞具有在整个时滞区间的分散性影响，能够更精确地描述系统，揭示事物变化的本质。Ding等［10］提出了基于Lyapunov泛函方法和自由加权矩阵方法的非线性广义时滞系统一致渐近稳定性准则。本文在文献［10］提出的非线性广义时滞系统中加入分布时滞，研究具有分布时滞的非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则。

非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则与Lyapunov-Krasovskii泛函求导后产生的积分项的估计有关。 积分项估计常用的方法有模型变换法、Park不等式法［11］、Moon不等式法、自由矩阵法和积分不等式法［12］等。 为了获得依赖于时滞的稳定条件， 降低现有稳定性标准的保守性仍然是上述参考文献中的核心问题。 在相关研究中， 研究人员［13－14］通常使用Jensen积分不等式、 Wirtinger积分不等式和辅助函数积分不等式来处理L-K函数导数生成的一些积分项。 Seuret等［15］提出了边界估值更为精确的Bessel-Legendre不等式， 并且利用所提出的不等式得到时滞系统保守性更小的稳定性条件。 与Jensen不等式和Wirtinger不等式相比， B-L不等式具有更小的保守性。 受此启发， 可以把B-L不等式推广到具有分布时滞的非线性广义时滞系统， 得到保守性更小的一致渐近稳定性准则。 文献中尚未见研究具有分布时滞的非线性广义系统的时滞依赖的一致渐近稳定性， 这便是本文的工作动机。

本文的主要工作是给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则。首先，假设系统是正则、无脉冲的，在此基础上构造出一个新的增广型Lyapunov-Krasovskii泛函;然后，对Lyapunov-Krasovskii泛函求导后产生的积分项使用保守性更小的Bessel-Legendre不等式进行处理，有效地降低了结果的保守性，从而得到了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性判据。最后，用数值例子验证了所用方法的可行性和有效性。

标记说明 全文中，Rn表示n维向量空间;C表示复数域;Rm×n代表m×n实矩阵;R+×Rn→Rni表示从正实数和n维向量组成的乘积空间映射到一个n1维向量;Xgt;0（或X≥0）表示X是正定（或半正定）矩阵;Xgt;Y（或X≥Y）表示X-Y是正定（或半正定）矩阵;x表示向量x的欧几里得范数;I代表适维的单位矩阵;缩写diag（…）代表分块对角矩阵。

1 问题描述

考虑具有分布时滞的非线性广义系统

式中：x（t）∈Rn是系统在时刻t的状态变量;矩阵E，A，A1，A2∈Rn×n为已知的具有适当维数的常数矩阵，且rank（E）=r≤n;hgt;0，τgt;0分别为系统的常数时滞和分布时滞;φ（t）是连续可微的向量值初始函数;F∈Rn×n1，G∈Rn×n2为非线性系数;连续函数f：R+×Rn→Rn1和g：R+×Rn→Rn2表示系统中的非线性项;f（t，0）=0，g（t，0）=0满足如下范数界条件：fTf≤α2xT（t）x（t），gTg≤β2xT（t-h）x（t-h），其中α，β为正实数。

定义1［1］ 若存在s0∈C，使得行列式det（s0E-A）≠0，则称矩阵对（E，A）是正则的;若degdet（sE-A）=rank（E），则称矩阵对（E，A）是无脉冲的。

定义2 若矩阵对（E，A）是正则、无脉冲的，则称系统（1）是正则、无脉冲的。

定义3 如果系统（1）满足以下条件：正则且无脉冲;如果εgt;0，存在一个参数x（t）≤ε，使得对于任意可容的初始条件，φ（t）满足sup-h≤t≤0φ（t）≤δ（ε），x（t）≤ε时，系统（1）的解x（t）满足x（t）≤ε，即limt→∞x（t）=0，那么称系统（1）是一致渐近稳定的。

引理1［1］ 如果矩阵对（E，A）是正则、无脉冲的，那么存在2个可逆矩阵G， H∈Rn×n，使得

4 结 语

本文针对具有分布时滞的非线性广义系统，得到一个一致渐近稳定性准则，数值例子说明了所提出方法的有效性。以后，可以考虑设计状态反馈控制器或输出反馈控制器对具有分布时滞的非线性广义系统进行控制。

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收稿日期：2022－12－16

基金项目：辽宁省教育厅科学研究经费项目（LJC202002）。

作者简介：孙 欣（1972—），女，辽宁沈阳人，沈阳师范大学教授，博士。