资产组合下投资者最优清算策略研究

于爽 李鹏

摘要：当投资者需要进行资产交易时，投资者的每笔交易都会产生暂时性和永久性的价格冲击。由于资产之间的交叉冲击，在进行一种资产交易时也要考虑对另一种资产产生的影响。为了寻求一种交易策略在限定时间内清算资产并获取最大的收益，可以利用动态规划原理，求解模型对应的HJB（Hamilton Jacobi Bellman）方程得到最优的执行策略，并将最优的执行过程拆分为基准过程与追踪比率，可以更直观地对策略结果进行经济解释。

关键词：资产组合；动态规划原理；HJB方程；最优执行

2022年，全国商品住宅销售面积下降，产业利润不断下滑，房地产进入振荡期，随着恒大、碧桂园等大量房企杠杆率过高，债务压力大，房地产的前景变得不容乐观。因此，大量相关股票、债券遭遇抛售，面对此类情形，投资者产生了出售大量相关资产的需求。投资者要考虑投资者如何在卖出或买入大量的金融资产时，最小化由于买卖资产而对市场产生价格波动的不利影响。

为了解决交易的最优执行问题，Bertsimas和Lo建立了线性的价格冲击模型，给出了模型的离散最优控制解，以最小化预期交易成本。Almgren和Chris在Bertsimas和Lo模型的基础上，将交易成本的平方项作为风险规避标准。Ahn和Biais等人在实证分析中发现，交易量、订单流和执行成本都呈现典型的U型日内模式。

此后，Pereira和Zhang提出一个考虑随机价格影响的多期投资组合选择模型。相对于单个资产的研究，资产组合下的最优执行策略更具现实研究意义，例如，Park和Van Roy研究在无限时间下投资者的最优执行问题。Cartea和Gan考虑了一个具有协整资产的连续时间的最优执行问题。为了模拟真实金融市场中的状态变化，Ma提出了一种带有多状态的暂时性与永久性冲击的最优执行策略。

一、投资组合的执行模型

假设投资者将T＞0固定为交易期限，可以考虑多资产投资者的最优执行问题：投资者计划在固定的时间段[0，t]内清算他的资产组合。设向量Q0∈Rd表示投资组合的初始库存，投资者要考虑资产组合的交易速度，用表示投资者的交易速度，Qt表示投资者在t时刻的库存过程，Qt满足微分方程：

dQt=－vtdt  （1）

投资者在下达市价单时会对资产价格产生冲击，通常情况下，卖出订单推低价格，而买入订单推高价格。令向量St∈Rd表示t时刻投资者的d维资产，资产价格过程的动态性表示为：

（2）

式中，Pt是表示市场中其他投资者净永久冲击的d×1维向量，B是衡量其他投资者永久价格冲击而产生的对资产价格敏感性的d×d维的正定矩阵，σs是d×d维的非退化矩阵，并且Σs=σsTσs。其中，对角线元素对应，单个股票的自身永久价格冲击，而其非对角线元素对应着其他股票的交叉永久价格冲击。

为了量化市场中其他投资者的净永久价格冲击，假设Pt遵循如下的均值回复过程：

（3）

这里的Φ是一个具有非负元素d×d维的对角矩阵，代表着平均回归率。σp是d×d维的常系数波动矩阵，并且Σp=σpTσp。令与之间的相关矩阵为pdt，p是一个d×d维的矩阵，并且。来自其他投资者 Pt的净永久价格冲击对资产价格的净需求压力有着这样的解释，令（BPt）l表示向量BPt的第i个元素，对于i=1，2，……，d。当（BPt）l为正值时，表示目前市场中第i个资产，当市场上资产的买家多于卖家，当（BPt）l为负值时，正好相反。

除了永久性的价格冲击外，投资者的交易也会导致暂时性的价格冲击。然而，与永久价格冲击的情况不同，投资者交易的临时价格冲击不会影响资产价格St，但会影响资产的执行价格。根据现有文献，假设临时价格冲击是线性的，并定义资产组合的执行价格的向量StE∈Rd为：

StE=St －  fvt （4）

其中，f表示投资者在执行资产组合的清算时对资产价格的暂时性冲击，f是d×d维的矩阵，f的对角元素对应单个股票的自身临时价格冲击，而非对角元素对应其他股票的交叉临时价格冲击。

投资者按市值计价的财富，表示为，其中，投资者以设定的执行价格进行清算资产产生的收入过程表示为：

（5）

初始财富。

考虑投资者的最优执行问题，投资者的目标是在固定的时间范围[0，T]内清算其整个投资组合，并根据以下绩效标准最大化其预期终端财富：

（6）

这里的表示为的条件期望。

上式中投资者的绩效标准包括三个部分：第一，投资者在终端时间T的财富；第二，表示在终端时间清算剩余股份获得的收入，假设时间T的线性临时价格冲击系数为κ，κ是Rd×d维的正定矩阵。绩效标准的最后一项表示运行库存成本，表示惩罚矩阵，是Rd×d维的正定矩阵。特别说明的是，该惩罚项不会导致投资者现金头寸的任何现金损失，但会影响最佳交易速度。换句话说，惩罚矩阵代表投资者进行交易的紧迫程度。

投资的交易目标是选择其交易速度以最大化投资绩效，因此投资者的价值函数定义为：

（7）

其中，是由个可预测过程的一组可容许策略集，使得。将投资者的最优执行问题总结为以下随机控制问题：

（8）

二、最优执行策略

在解决随机控制问题时，通常采取动态规划原理求解，为了简写符号，记号 ，

考虑下列HJB方程：

（9）

其中，

（10）

终端条件

设上式HJB方程的拟设为

（11）

通过将拟设（11）代入（9）式中的HJB方程，可以得到最优交易策略是以下等式的解：

（12）

为了得到最优的交易策略，令（12）式中的目标函数对的一阶导数为0便可求得最优的交易策略

（13）

将拟设式（11）代入（9）式中的HJB方程可得

（14）

然后，匹配项和剩余项导出下列的耦合微分方程。

（15）

（16）

（17）

（18）

求解上述微分方程组可得最终结果为：

（19）

（20）

（21）

（22）

综上所述，最终可得最优的交易策略：

根据上式可以得知当时，对于所有的，都有正定矩阵。在这种情况下，最优交易策略可以重写为下列式子：

（23）

其中，跟踪率和基准定义为：

（24）

（25）

根据（23），最优交易策略可以表示为和的乘积。矩阵可以解释为投资者清算其资产的比率，其完全由投资者的临时和永久价格冲击决定。其中，矩阵和的对角线元素为单只股票的自身（永久性和临时性）价格冲击。其他条件不变时，当每个股票的自身价格冲击增加时，的对角线元素会随之减少。

此外，可以解释为基准过程，当前净需求压力中与系数矩阵呈线性关系，并且体现了净价格压力的持续性。代表在时间t≥0时投资者投资组合的库存，因此，表示投资者应调整其交易策略，以跟踪基准过程。与的情况一样，（25）中的基准包含股票的自身和交叉价格冲击。

根据（24）和（25），多资产投资者的最优交易策略意味着应以的速率向基准平仓。由于股票的自身和交叉价格冲击，投资者在低冲击下会表现出更积极地跟踪基准的交易策略。

三、数值模拟

本节将讨论投资者在固定的期限范围内清算两个资产的情况，利用数值模拟模拟价格变动以及清算资产的过程。在同时存在临时和永久的价格冲击的情形下，投资者在进行清算时不仅需要考虑价格冲击效应，还要考虑进行多资产清算时资产之间交叉冲击效应。本节将进行数值模拟，其中的模型参数如表1所示。

下图分别展示了资产1与资产2在固定期限内的最优执行策略、基准过程、以及库存水平。

由上图可以得知，当前存与基准过程之间的差距较大时，投资者的交易会变得积极，这是由于基准过程代表资产的当前净需求。此外，资产2的清算过程显得更加积极，这是由于资产2的价格影响系数产生的影响，也就是说在清算期末，如果资产未清算完毕，投资者不得不清算自己的剩余资产，由于价格冲击的存在，价格的变动会不利于投资者清算，当存在较大的价格影响系数时，投资者会倾向于在期限末前清算所有的资产，以避免产生较大的价格冲击。

四、结语

本文主要介绍了多资产投资者的最优执行过程，在清算过程中考虑了永久和暂时的冲击效用，通过将大的交易目标拆分为较小的子目标规避部分冲击。在模型中，将最优执行过程分为基准过程与追踪比率，使最优执行过程有了更加明显的经济解释。也就是说，投资者应将库存清算到一个代表市场净需求压力的基准水平，但当投资者向基准点交易时，交易速度会受到价格冲击的影响。

参考文献：

[1]Bertsimas，D，Lo，A.W.Optimal Control of Execution costs[J].Journal of Financial Markets，1998，01（01）：1-50.

[2]Almgren，R，Chriss，N.Optimal Execution of Portfolio Transactions[J].Journal of Risk，2001（03）：5-40.

[3]Ahn，H.-J.，Bae，K.-H.，&Chan，K.Limit Orders，Depth，and Volatility：Evidence from the Stock Exchange of Hong Kong[J].The Journal of Finance，2001，56（02）：767-788.

[4]Biais，B.，Hillion，P.&Spatt，C.An Empirical Analysis of the Limit Order Book and the Order Flow in the Paris Bourse[J].The Journal of Finance，1995，50（05），1655-1689.

[5]Pereira，J.P.，&Zhang，H.H.Stock Returns and the Volatility of Liquidity[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，2010，45（04），1077-1110.

[6]Park，B.，&Van Roy，B.Adaptive Execution：Exploration and Learning of Price Impact[J]. Operations Research，2015，63（05），1058-1076.

[7]Cartea，?.，Gan，L.，&Jaimungal，S.Trading Co-Integrated Assets with Price Impact[I]. Mathematical Finance，2019，29（02），542-567.

[8]Guiyuan Ma，Chi Chung Siu，Song-Ping Zhu，etl.Optimal Portfolio Execution Problem with Stochastic Price Impact[J].Automatica，2020，112（C）.

作者简介：于爽（1998），男，河南省开封市人，硕士研究生，主要研究方向为金融信息工程；李鹏（1977），河南省卫辉市人，副教授，主要研究方向为计算数学、金融数学。