多项式型非自治迭代方程的凹凸解

陈烨明 曾莹莹

摘 要    ：迭代是同一函数的重复运算. 比通常的迭代更复杂的是有不同函数参与运算的非自治迭代. 本文讨论了一类包含非自治迭代的线性组合的函数方程， 即多项式型非自治迭代方程. 在前人给出的连续递增解的基础上，本文进一步研究了解的凹凸性， 给出了凹凸解的存在性、唯一性及连续依赖性.

关键词 ：非自治迭代; 凸性; 差商

中图分类号 ： O178 文献标识码 ：

A DOI ：  10.19907/j.0490-6756.

2023.041005

Convex solutions of polynomial-like nonautonomous  iterative equations

CHEN Ye-Ming  1，ZENG Ying-Ying  2

（1. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China;

2. School of Mathematical Sciences/ V.C. & V.R. Key Lab of Sichuan Province，   Sichuan Normal University， Chengdu 610068， China）

Iteration is repetition of same function. Iteration with different functions， called nonautonomous iteration， is a more complex one. In this paper， we consider a class of functional equations with linear combination of nonautonomous iterations， namely  polynomial-like nonautonomous iterative equations. Based on some known results， the existence， uniqueness and continuous dependence of the convex solutions on the iterations and coefficients are studied.

Nonautonomous iteration; Convexity; Divided difference

（2010 MSC 26A18， 39B12）

1 引 言

迭代是运算的不断自复合， 其在计算机科学与工程等领域有广泛应用， 如机器人控制  ［1］和图像处理  ［2］等. 从数学的角度看，对于一个自映射 f：X→X ， 其中 X 是非空集合，以及任意给定的自然数 n ，  f 的 n 阶迭代可递归地定义为  f  n= f  n-1°f， f  0= id  恒同映射 ， 其中 ° 表示映射的复合. 包含未知函数迭代的函数方程被称为迭代方程  ［3， 4］. 诸如迭代根问题  ［5， 6］和不变曲线问题  ［7， 8］等都是典型的迭代方程问题.

多项式型迭代方程

∑  n  i=1  λ   i f   i（x）=F（x），x∈I  （1）

也是广受关注的一类迭代方程， 其中 I 是一个区间， 系数  λ  i∈  R  （ i=1，…，n ）且 F 为给定函数. 有关方程（1）解的结果十分丰富， 如连续递增解  ［9］、连续递减解和凹凸解  ［10］、可微解及解的稳定性  ［3， 11， 12］等.

迭代过程是严格重复的. 最近，人们开始关注迭代过程不那么严格重复的非自治迭代问题，如工程应用中出现的迭代学习控制算法. 这是一种用于解决重复环境下动态系统的跟踪问题的方法. 当系统输出重复跟踪参考轨迹时， 该算法利用上一次迭代的跟踪误差信息来更新当前的迭代控制输入， 其中的迭代过程的参数会变化  ［13， 14］. 可见，这是传统迭代过程的一种推广，被称为非自治迭代  ［15-17］. 在此类迭代中，每次复合的函数会随着复合次数 n 而变化. 定义 n-k+1 阶非自治迭代  A  k，n：C（I，I）→C（I，I） 为 陈烨明， 等： 多项式型非自治迭代方程的凹凸解

A  k，n：fMT ExtraaA@

α  n°f°…° α  k+1°f° α  k°f，f∈C（I，I）  （2）

其中的整数 k≤n ， 且 A：=   α  i   i∈ Z ?C（I，I） 为给定函数族. 特别地，形如

∑  n  i=1  λ   i A   σ（i），σ（i）+i-1f（x）=F（x），x∈I  （3）

的迭代方程被称为多项式型非自治迭代方程， 其中 F∈C（I，I） 为给定函数，   λ  i∈ R  i=1，…，n ， 且 σ： 1，2，…，n →  Z .  Geiselhart和Wirth  ［18］考虑了方程（3）的特殊情形  A  1，nf（x）=x，x∈ 0，+∞ ， Tang等  ［19］在  λ  i≥0 ，  F 递增且  α  i 递增的条件下在［0，1］和 R 上分别讨论了方程（3）的连续递增解的存在性、唯一性及其对已知函数和参数的连续依赖性. 本文将借助二阶差商进一步讨论方程（3）的凹凸解的存在性、唯一性和连续依赖性.

后文安排如下. 在第2节中， 我们介绍差商并讨论非自治迭代关于差商的性质. 在第3节中， 我们借助非自治迭代关于差商的性质及不动点定理讨论方程（3）在［0，1］上的凹凸解的存在性、唯一性和连续依赖性. 最后， 我们在第4节中通过一个例子来验证主要结果.

2 预备知识

为了利用不动点定理证明本文的主要结果， 我们需要用差商来构造合适的解空间. 令 I= a，b  ， 以 C（I） 表示 I 上全体连续函数所组成的集合， 并令 C（I，I） 表示 I 上全体连续自映射所组成的集合， 其中 a，b∈  R 且 a

f［ x  1， x  2］  f  x  2 -f  x  1   x  2- x  1

和

f［ x  1， x  2， x  3］  f  x  3， x  2 -f  x  2， x  1   x  3- x  1 ，

其中  x  1， x  2， x  3∈I 互异. 显然，  f  x  1， x  2  和  f  x  1， x  2， x  3  均对所选点的次序具有对称性. 记

L  f=  sup    x  1≠ x  2∈I  f  x  1， x  2  ，

l  f=  inf    x  1≠ x  2∈I  f  x  1， x  2  .

容易验证， 若对任意的  x  1≠ x  2∈I 有 f  x  1， x  2 ≥0 （或 ≤0 ）， 则 f 递增（或递减）， 进而，若  l  f>0 则 f 严格单调; 若对任意的  x  1≠ x  2≠ x  3∈I 有  f  x  1， x  2， x  3 ≥0 （或 ≤0 ）， 则 f 为凸（或凹）. 更进一步， 对于 -∞

C I;l，L ={f∈C（I）：l≤f  x  1， x  2 ≤L，

x  1≠ x  2∈I}

及

C（I;l，L，m，M）={f∈C I;l，L ：

m≤f  x  1， x  2， x  3 ≤M，  x  1≠ x  2≠ x  3∈I} .

我们首先利用 C（I） 中函数关于线性运算、复合及取逆的差商估计  ［9］证明非自治迭代的差商的估计结果.

引理2.1   设  A  k，n 为由式（2）所定义的算子， 其中 A=   α  i   i∈ Z ?C I;l，L，m，M ∩C（I，I） ，   0≤l≤L ，  m≤0≤M 且整数 k≤n . 当 ζ，ξ≥0 时，有

（i） 若 f∈C I;0，ζ，0，ξ ∩C（I，I） ， 则

A   k，nf∈C（I;0，  Lζ    （n-k+1），m ζ  2∑  2（n-k）  i=n-k  （Lζ）   i，

Lξ+M ζ  2 ∑  2（n-k）  i=n-k   Lζ    i）∩C（I，I）;

（ii） 若 f∈C I;0，ζ，-ξ，0 ∩C（I，I） ， 则

A   k，nf∈C（I;0，  Lζ    （n-k+1），

-Lξ+m ζ  2 ∑  2（n-k）  i=n-k   Lζ    i，

M ζ  2∑  2（n-k）  i=n-k   Lζ    i）∩C（I，I）.

证明  我们仅对情形（i）进行证明， 情形（ii）的证明是类似的.

由 f∈C I;0，ζ，0，ξ ∩C（I，I） 并利用文献［10， 引理2.4］可得

α  i°f∈C I;0，Lζ，m ζ  2，Lξ+M ζ  2 ∩C（I，I），

α  i∈A，i∈  Z.

进而有

A   k，nf=  α   n°f °…°  α   k°f ∈C（I;0，

Lζ    （n-k+1），m ζ  2∑  2（n-k）  i=n-k   Lζ    i，

Lξ+M ζ  2 ∑  2（n-k）  i=n-k  （Lζ）   i）∩C（I，I）.

证毕.

令 L I，J = f：I→J  L  f<∞}.  为讨论解的连续依赖性， 我们给出如下两个不同的同阶非自治迭代的估计不等式.

引理2.2    ［19］ 对任意给定的 x∈I ，  k，m∈  Z 和 r∈  N ， 若 f，g∈L（I，I） 且  α  k+i， β  m+i∈L（I，I） 对所有的 i∈ 1，…，r  成立， 则对每个 j∈ 1，…，r  ， 存在点  x  i，j∈I 0≤i≤j-1  和  x  *  i，j∈ I（0≤i≤j） 使得

A   k+1，k+jf（x）- B   m+1，m+jg（x） ≤

L  *∑  j-1  i=0    L   f L  *    i f  x   i，j -g  x   i，j  +

∑  j  i=1    L   f L  *    j-i| α   k+i（ x   *  i，j）- β   m+i（ x   *  i，j））|，

其中

A  k+1，k+if= α  k+i°f°…° α  k+1°f ，

B  m+1，m+ig：= β  m+i°g°…° α  m+1°g

且

L  *= ma x  1≤i≤r  L   α  k+i  .

3 存在唯一性及连续依赖性

根据共轭性（共轭函数可取 h（x）=a+ b-a x ，  x∈ 0，1  ）， 以下不妨假设 I= 0，1   并进一步考虑其上的方程（3）， 其中给定 A=   α  i   i∈ Z ? C（I，I） ，  σ： 1，2，…，n →  Z ， F∈C（I，I） . 令

C  + I;l，L，m，M =C I;l，L，m，M ∩

C  +（I，I），

其中

C  +（I，I）={f∈C（I，I）：f 0 =0，f（1）=1} .

易见，  0≤l≤1≤L 且  C  + I;l，L，m，M  是Banach空间 C（I） 的一个紧凸子集. 为讨论方程（3）的凸解， 我们假设

（A）   λ  1>0 ，   λ  i≥0 ， i=2，…，n 且 ∑  n  i=1  λ   i=1;

（V1） 对所有的 1≤i≤n 和所有 0≤j≤i-1 有  α  σ（i）+j∈ C  + I;0，L，0，M  ， 其中常数 L，M>0 并有  l   α  σ（1）≥l>0 ;

（V2）  F∈ C  + I;0， L  F， m  F， M  F  ， 其中常数  L  F， m  F， M  F>0 .

条件（A）是标准化假设. 这是因为当 ∑  n  i=1  λ  i≠0 时， 方程（3）总可以对系数做归一化而化为一个满足（A）的新方程. 由文献［9］可知， 如果  λ  1 l   α  σ（1）>0 ， 条件（A）， （V1）和（V2）就可保证方程（3）存在连续递增解 f∈ C  + 0，  L  F  λ  1 l   α  σ（1）   . 下文将进一步研究其解的凹凸性.

定理3.1  （凸解） 假设条件（A）， （V1）和（V2）成立. 若

η   L  F  λ  1l  ρ   L  F  λ  1l ，  M  F  λ  1l  ≤  m  F   λ  1l   3  L  2  F   （4）

则存在  ζ  0≥  L  F  λ  1l ≥1 和  ξ  0≥  M  F  λ  1l ≥0 使得方程（3）存在凸解 f∈ C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  ， 其中

η ζ =L∑  n  i=1  λ   i  Lζ    i-1 ，

ρ ζ，ξ =∑  n  i=1  λ   i［M∑  2（i-1）  j=i-1   Lζ    j+ L  3ξ∑  2（i-2）  j=i-2   Lζ    j］.

进一步， 若

θ  ζ  0 = L  λ  1l  ∑  n  i=2  λ   i∑  i-2  j=0    ζ  0L    j］ <1  （5）

则方程（3）在  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  中存在唯一解，且连续依赖于函数  α  σ（i）+j （ i=1，…，n，j=0，…，i-1 ）和 F .

证明  连续递增解 f∈ C  + 0，  L  F  λ  1 l   α  σ（1）   的存在性已经在文献［9］中给出. 下面讨论凸解的存在唯一性与连续依赖性.

存在唯一性. 给定常数  ζ  0≥  L  F  λ  1l ≥1 和  ξ  0≥  M  F  λ  1l ≥  0 . 易见  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  是Banach空间 C（I） 的一个紧凸子集. 首先， 定义算子 M：   C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0 →C（I） 为

Mf= λ  1 α  σ（1）+ λ  2 α  σ（2）+1f° α  σ（2）+…+

λ  n A  σ（n）+1，σ（n）+n-1f° α  σ（n），

其中 f∈ C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  . 由于  λ  i≥0 ， 利用文献［10， 引理2.4］和引理2.1， 对所有的 f∈  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  和 i=2，…，n ， 有

λ   i A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α   σ（I）∈C（I;0， λ   iL  L ζ  0    i-1，

0， λ   i［  L ζ  0    i-1M+ L  2 L ξ  0+M ζ  2  0

∑  2（i-2）  j=i-2   L ζ  0    j］）.

进而可得 Mf∈C I; λ  1l，η  ζ  0 ，0，ρ  ζ  0， ξ  0   . 由条件（A）， （V1）和（V2）可知 Mf（0）=0 ，   Mf（1）=1 且  λ  1l>0 . 从而 Mf：I→I 是一个同胚. 由文献［10， 引理2.5］可得

Mf   -1∈ C  + I; 1 η  ζ  0  ， 1  λ  1l ，- ρ  ζ  0， ξ  0     λ  1l   3 ，0 .

其次， 定义算子 T： C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0 → C（I） 为

Tf=  Mf   -1°F，f∈ C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0 .

由文献［10， 引理2.4］和（V2）可得  Tf∈  C  + I;0，  L  F  λ  1l ，  m  F η  ζ  0  - ρ  ζ  0， ξ  0  L  2  F    λ  1l   3 ，  M  F  λ  1l   . 由  ζ  0 和  ξ  0 的定义、函数 η 和 ρ 的单调性及不等式（4）可得 T 是一个  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  上的自映射.

最后， 对于任意的 f，g∈ C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  ， 利用文献［19， 引理2］、引理2.2及 F 是个满射可得

‖Tg-Tf‖=

‖  Mg   -1°F-  Mf   -1°

F‖=

‖  Mg   -1-  Mf   -1‖≤

1  l   Mf ‖Mg- Mf‖≤

1  λ   1 l    α   σ（1） ∑  n  i=2  λ   i‖ A   σ（i）+1，σ（i）+i-1g°

α  σ（i）- A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α   σ（i）‖=

1  λ   1 l    α   σ（1） ∑  n  i=2  λ   i‖ A   σ（I）+1，σ（I）+i-1g-

A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f‖≤

L  λ  1l  ∑  n  i=2  λ   i∑  i-2  j=0    ζ  0L    j ‖g-f‖=

θ  ζ  0 ‖g-f‖.

这说明 T 是  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  上的一个连续映射.

综上， 由Schauder不动点定理， 方程（3）在  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  中存在一个解 f . 易见该解是一个递增凸解. 此外， 如果条件（5）成立， 则 T 是一个压缩映射. 此时，由Banach压缩映射定理可进一步得到解的唯一性.

连续依赖性. 注意到当条件（4）和（5）同时满足时， 方程（3）在  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  中存在唯一凸解 f=  Mf   -1°F . 将 M 记为 M A，σ  以强调其与  α  i 和 σ 的相关性， 也就是说，

f=  M A，σ f   -1°F.

接下来， 把方程（3）里的 A ，  σ 和 F 分别用 B：=   β  i   i∈ Z ?C（I，I） ，  τ： 1，2，…，n →  Z 和 G 来替代. 假设新替换的 B ，  τ 和 G 满足与 A ，  σ 和 F 类似的条件. 替换后的新方程为

∑  n  i=1  λ   i B   τ（i），τ（i）+i-1g（x）=G（x），x∈I，

其在  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  中存在唯一解 g 且 g 满足   g= （M（B，τ）g）  -1°G.  由引理2.2，有

‖M A，σ f-M B，τ g‖≤‖ λ  1 α   σ（1）- λ  1 β   τ（1）‖+∑  n  i=2 ‖ λ   i A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α   σ（i）-

λ   i B   τ（i）+1，τ（i）+i-1g° β   τ（i）‖

≤ λ  1‖ α   σ（1）- β   τ（1）‖+∑  n  i=2  λ   i‖ A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α   σ（i）- A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° β   τ（i）‖

+

∑  n  i=2  λ   i‖ A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f° β   τ（i）- B   τ（i）+1，τ（i）+i-1g° β   τ（i）‖

≤ λ  1‖ α   σ（1）- β   τ（1）‖+

∑  n  i=2  λ   i  sup   x，y∈I，x≠y  A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f x，y   ‖ α   σ（i）- β   τ（i）‖

+∑  n  i=2  λ   i‖ A   σ（i）+1，σ（i）+i-1f-

B   τ（i）+1，τ（i）+i-1g‖

≤∑  n  i=2  λ   i   ζ  0L    i-1‖ α   σ（i）- β   τ（i）‖+∑  n  i=2  λ   i∑  i-1  j=1    ζ  0L    i-j-1‖ α   σ（i）+j- β   τ（i）+j‖

+

L∑  n  i=2  λ   i∑  i-2  j=0    ζ  0L    j‖f-g‖

=∑  n  i=1  λ   i∑  i-1  j=0    ζ  0L    i-j-1‖ α   σ（i）+j- β   τ（i）+j‖+ λ  1lθ  ζ  0 ‖f-g‖.

进而，由文献［19， 引理2］可得

‖f-g‖=‖  M A，σ f   -1°F-  M B，τ g   -1°G‖≤

‖  M A，σ f   -1°F-  M A，σ f   -1°G‖+‖  M A，σ f   -1°G-  M B，τ g   -1°G‖≤

L    （M（A，σ）f）  -1‖F-G‖+ 1  l   M（A，σ）f ‖M A，σ f-M B，τ g‖≤

1  λ  1 l    α   σ（1）  ‖M A，σ f-M B，τ g‖+‖F-G‖

≤

1  λ  1l （∑  n  i=1  λ   i∑  i-1  j=0    ζ  0L    i-j-1‖ α   σ（i）+j- β   τ（i）+j‖+ λ  1lθ（ ζ  0）‖f-g‖+‖F-G‖）.

注意到 0≤θ  ζ  0 <1 ，从而有

‖f-g‖≤ 1  λ  1l 1-θ  ζ  0   {‖F-G‖+

∑  n  i=1  λ   i∑  i-1  j=0    ζ  0L    i-1-j‖ α   σ（i）+j- β   τ（i）+j‖}.

由此可知方程（3）在  C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  中的解连续依赖于 A ，  σ 和 F . 证毕.

为讨论方程（3）的凹解， 假设

（C1） 对所有的 1≤i≤n 和所有 0≤j≤i-1 有  α  σ（i）+j∈ C  + I;0，L，-M，0  ， 其中常数 L，M>0 ，此外还要求  l   α  σ（1）≥l>0 ;

（C2）  F∈ C  + I;0， L  F，- M  F，- m  F  ， 其中常数  L  F， m  F， M  F>0 .

注意到通过共轭函数 h（x）=1-x，（x∈I） 可将凹函数 f∈ C  + I;0， ζ  0，- ξ  0，0  化为凸函数 g= h  -1°f°h∈ C  + I;0， ζ  0，0， ξ  0  ，则方程（3）可变形为

G（x）= h  -1°F°h（x）=

∑  n  i=1  λ   i 1- A   σ（i），σ（i）+i-1f h（x）  =

∑  n  i=1  λ   i B   σ（i），σ（i）+i-1g（x）  （6）

其中 B=    h  -1°α  i°h   i∈  Z . 这说明方程（3）凹解的存在性问题可转化为方程（6）凸解的存在性问题. 再由定理3.1可得如下结果.

定理3.2  （凹解） 假设条件（A） （C1）和（C2）成立. 若

η   L  F  λ  1l  ρ   L  F  λ  1l ，  M  F  λ  1l  ≤  m  F   λ  1l   3  L  2  F ，

则存在  ζ  0≥  L  F  λ  1l ≥1 和  ξ  0≥  M  F  λ  1l ≥0 使得方程（3）存在凹解 f∈ C  + I;0， ζ  0，- ξ  0，0  ， 其中

η ζ =L∑  n  i=1  λ   i  Lζ    i-1，

ρ ζ，ξ =∑  n  i=1  λ   i［M∑  2（i-1）  j=i-1  （Lζ）   j+ L  3ξ∑  2（i-2）  j=i-2  （Lζ）   j］.

进一步， 若

θ  ζ  0 = L  λ  1l  ∑  n  i=2  λ   i∑  i-2  j=0    ζ  0L    j <1，

则方程（3）在  C  + I;0， ζ  0，- ξ  0，0  中存在唯一解，且解连续依赖于函数  α  σ（i）+j  （ i=1，…，n，j=0，…，  i-1 ）和 F .

4 例

考虑非自治迭代方程

1 57  α  3°f° α  2°f+ 56 57  α  1°f=F  （7）

其中  α  1（x）=19x/20+3 x  2/100+ x  3/50 ，   α  2（x）=9x/10+ x  2/10 ，   α  3（x）=91x/100+ x  2/10- x  3/100 和 F（x）=5x/18+2 x  2/3+ x  3/18 .

容易验证，   l   α  1=19/20 ，  α  1， α  2， α  3∈ C  +（I;0，  6/5，0，1/10） 且 F∈ C  +（I;（0，16/9，2/3，5/6） . 取   ζ  0=40/21 和  ξ  0=25/28 ， 此时不等式（4）成立. 由定理3.1， 方程（7）有凸解 f∈ C  +（I;0，40/21，0，25/28） . 此外， 由于 θ（ ζ  0）=3/133<1 ， 则解 f 是方程（7）在  C  +（I;0，40/21，0，25/28） 中的唯一解，且连续依赖于给定函数.

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