含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振

曾小玲 任芮彬 邓科

摘 要    ：本文研究了含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振（SR）.在绝热极限条件下，本文利用统一色噪声逼近（UCNA）法将原系统转化为相关高斯白噪声驱动的新双稳系统，给出其Fokker-Planck方程后基于双态理论推导了系统信噪比（SNR）的表达式.本文分析了势参数、噪声参数及外力参数对信噪比的影响，发现对所有参数随机共振均出现. 本研究可望为实际应用提供理论基础.

关键词 ：随机共振； 相关色噪声； 周期方波信号； 双稳系统

中图分类号 ：O29 文献标识码 ：A DOI ：  10.19907/j.0490-6756.2023.041003

Stochastic resonance in a bistable system with correlated  colored noises and periodic square wave signal

ZENG Xiao-Ling  1， REN Rui-Bin  2，  DENG Ke  1

（1. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China；

2. College of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China）

Stochastic resonance （SR） in a bistable system with correlated colored noises and periodic square wave signal is explored. Given the adiabatic limit condition， the original system is transformed into a new bistable system driven by correlated white Gaussian noises by using the unified colored noise approximation （UCNA） method. Then the Fokker-Planck equation is given for the new system and exact expression for the signal-to-noise ratio （SNR） is deduced by virtue of the two-state theory. Finally， dependence of SNR on the system parameters， including the potenial paramaters， the noise parameters and the external force parameters， is analized. It is shown that SR appears for all parameters. The obtained results are expected to provide a theoretical basis for practical applications.

SR; Correlated colored noises; Periodic square wave signal; Bistable system

1 引 言

作为噪声起建设性作用的例子，经典随机共振（Stochastic Resonance，SR）主要研究噪声对弱信号（亚临界信号）的放大作用  ［1， 2］. 随后，SR泛指与系统相关的量化指标， 如信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR），输出增益（Output Gain， OG）等对系统参数的非单调钟形依赖. SR在物理、生物、化学及工程等领域均有应用， 相关研究已有很多  ［3-8］.

最初，SR研究多考虑高斯白噪声（White Gaussian Noise， WGN）驱动的单稳、双稳或多稳系统. 然而，鉴于高斯白噪声在自然界中并非真实存在，近年的研究逐渐转向高斯色 噪声（如Ornstein-Uhlenbeck噪声  ［9］和Mittag-Leffler噪声  ［10］） 以及非高斯噪声（如Tsallis-Borland噪声  ［11］和Sine-Wiener噪声  ［12］）驱动的单稳、双稳或多稳系统. 当加性噪声和乘性噪声有相同或相关来源时，两种噪声就被称为相关噪声.近年来，含相关噪声的非线性系统的SR渐成研究热点，如Qiao等  ［13］研究了相关色噪声驱动的双稳系统的SR，评估了势阱的深度和宽度对SR的影响，Brening等  ［14］研究了乘性外噪声引起的耦合系统的跃迁现象，Wang等  ［15］研究了相关高斯色噪声和非高斯噪声对SR的影响，发现噪声相关性能促进SR，等.

另一方面，在SR研究中，除了正（余）弦信号  ［16-18］，周期方波信号也可以作为亚临界信号. 但令人奇怪的是，多数研究均使用正弦信号作为亚临界信号，而很少使用周期方波信号. 鉴于此，本文将研究含相关高斯色噪声及周期方波信号的双稳系统的SR.周期方波信号不同于正弦信号之处在于其具有丰富的频率成分，同时也是数字通信中的 常用信号之一  ［19］. 因此，本研究具有潜在的应用价值.

2 模 型

考虑如下含周期方波信号及相关乘性和加性色噪声的过阻尼双稳系统

d x  d t =-  d U 0（x）  d x +f（t）+xε（t）+η（t）  （1）

势函数

U 0（x）=- 1 2 aw 2x 2+ 1 4 bmx 4  （2）

U 0（x） 包含一个不稳定点 x  un=0 和两个稳定点 x ±= ± aw 2/bm  .当 a=b=d 1 时，阱深为 D h=  d 1w 4/4m ，宽度为 D w=2 w 2/m  ；当 a=1/d 2 2 ，  b=1/d 2  4 时，阱深为 D h=w 4/4m ，宽度为 D w=2d 2 w 2/m  .取定 w 2=m=1 ，用 d 1 来调整阱深， d 2 来调整阱宽，参见图1.

此外， f（t）=c+vR（t）+uz（t） 是外力，其中周期方波信号 R（t） 的周期为 T ，

R（t+T）=R（t）= 1， 0

z（t） 为双态噪声，以等概率取值±1，自相关率为 d ，即 〈z（t）z（s）〉= e   -d|t-s|，   c ， v ， u 为外力参数.

在模型（1）中， ε（t） 是0均值乘性色噪声， η（t） 是0均值加性色噪声，满足

〈ε（t）〉=〈η（t）〉=0，

〈ε（t）ε（s）〉= p τ  1  e   - |t-s| τ 1 ，

〈η（t）η（s）〉= q τ  2  e   - |t-s| τ 2 ，

〈ε（t）η（s）〉=2λ pq δ（t-s），

其中 p ， q 分别为噪声 ε（t） ， η（t） 的强度， τ 1 ， τ 2 分别为 ε（t） ， η（t） 的自相关时间， 0<λ<1 为 ε（t） 和 η（t） 的关联强度.基于Jung和Hanggi建立的统一色噪声近似（UCNA）方法  ［20］， ε（t） ， η（t） 可以通过以下模型产生：

d ε（t）  d t =- 1 τ 1 ε（t）+ 1 τ 1 ζ（t），   d η（t）  d t =- 1 τ 2 η（t）+ 1 τ 2 θ（t）   （4）

其中 ζ（t） 和 θ（t） 均为0均值高斯白噪声，满足

〈ζ（t）ζ（s）〉=2pδ（t-s），

〈θ（t）θ（s）〉=2qδ（t-s），

〈ζ（t）θ（s）〉=2λ pq δ（t-s）.

为求系统输出的信噪比，令 y= ln （x） . 式（1）可以改写为

d y  d t =s+ 1 x η（t），

s=f 1（y）+ε（t）=

1 x ［-  d U（x（y））  d x +f（t）］+ε（t），

d s  d t =［f′ 1（y）- 1 τ 1 ］s+ f 1（y） τ 1 +

f′ 1（y） x η（t）+ ζ（t） τ 1    （5）

由绝热消去理论  ［21］，消去式（5）中的参数 s 后可得

d x  d t = 1 g（x，τ 1） ×

［-  d U 0（x）  d x +f（t）+xζ（t）+η（t）］  （6）

其中

g（x，τ 1）=1+τ 1U″ 0（x）- τ 1 x U′ 0（x）+ τ 1 x f（t）=

1+τ 1（-aw 2+3bmx 2）- τ 1 x ［-aw 2x+

bmx 3-f（t）］.

对式（6）再次应用绝热消去理论，可得如下含相关高斯白噪声的方程：

d x  d t = 1 g（x，τ 1，τ 2） ×

［-  d U 0（x）  d x +f（t）+xζ（t）+θ（t）］  （7）

其中

g（x，τ 1，τ 2）=1+（τ 1+τ 2）U″ 0（x）-

τ 1 x U′ 0（x）+ τ 1 x f（t）=1+（τ 1+τ 2）（-aw 2+

3bmx 2）- τ 1 x ［-aw 2x+bmx 3-f（t）］.

接着，由随机等价规则  ［22-25］将可将方程（7）改写为

x′（t）=α（x）+β（x） Γ （t）  （8）

其中

α（x）= -U′ 0（x）+f（t） g（x，τ 1，τ 2） ，

β（x）=  px 2+2λ pq x+q  g（x，τ 1，τ 2） ，

Γ （t） 是0均值高斯白噪声， 〈 Γ （t） Γ （s）〉=2δ（t-s） . 方程（7）对应的Fokker-Plank方程为

ρ（x，t）  t =-    x F（x）ρ（x，t）+   2  x 2 Q（x）ρ（x，t）  （9）

其中

F（x）=α（x）+β（x）  d （β（x））  d x = 1 g（x，τ 1，τ 2） ×

［aw 2x-bmx 3+f（t）］+ 1 2 Q′（x），

Q（x）=［β（x）］ 2= px 2+2λ pq x+q  ［g（x，τ 1，τ 2）］ 2 .

假定系统满足绝热近似条件  ［26］，且周期方波信号的幅值足够小 （v1） ，频率足够低（Ω =2π/T1） ，使得系统有足够时间在一个方波周期内松弛到局部平衡点，则系统的准稳态分布函数为

ρ  st（x）= N  Q（x）   exp ［- U（x，t） p ］  （10）

其中 N 为归一化常数， U（x，t） 为修正的势函数，即

U（x，t）=-p∫ aw 2x-bmx 3+f（t） Q（x）  1 g（x，τ 1，τ 2）  d x=

∫ ［-aw 2x+bmx 3-f（t）］g（x，τ 1，τ 2） x 2+2λ r x+r  d x，

r=q/p 是噪声强度的比值.将 U（x，t） 进行参数展开，得

U（x，t）=h 1（x）-h 2（x）f（t）  （11）

其中

h 1（x）=∫ （-aw 2+k 0a 2w 4-τ 1a 2w 4）x+（3k 0b 2m 2-τ 1b 2m 2）x 5 x 2+2λ r x+r  d x+

∫ （-3k 0aw 2bm+2aw 2bmτ 1+bm-bmaw 2k 0）x 3 x 2+2λ r x+r  d x=

∫ ［-aw 2+（k 0-τ 1）a 2w 4］x+［bmaw 2（-4k 0+2τ 1）+bm］x 3+b 2m 2（3k 0-τ 1）x 5 x 2+2λ r x+r  d x，

h 2（x）=∫ 1+k 0（-aw 2+3bmx 2）+2aw 2τ 1-2bmτ 1x 2 x 2+2λ r x+r  d x，

k 0=τ 1+τ 2 .当系统满足绝热近似条件且时间尺度 Tw  -1 0 时（ w 0 代表系统（1）在无信号输入状态下的特征转换率），粒子由 x + 所在的阱跃迁到 x - 所在的阱的跃迁概率及相应的逆跃迁概率为

W ±（t）=   U″ 0（x ±）U″ 0（x  un）   2π ·   exp ［ U（x ±，t）-U（x  un，t） p ］  （12）

由双态理论  ［26］，设 n ±（t） 分别表示处于稳态 x + 及 x - 的概率，则 n ±（t） 满足方程

d n +（t）  d t =-  d n -（t）  d t =  W -（t）n -（t）-W +（t）n +（t）  （13）

在绝热近似条件下，由于双态模型的局部平衡的确立要比跃迁概率间的交换快得多，则方程（13）的初始分布为

n +（t）= W -（t） W +（t）+W -（t） ，  n -（t）= W +（t） W +（t）+W -（t）   （14）

假设粒子在 t 1 时刻处于 x - ，而 t 时刻跃迁到 x + ，则其发生的概率密度函数为

n（x +，t|x -，t 1）=n +（t）+

W -（t）W +（t）  ［W +（t）+W -（t）］ 2n _（t） × exp ［-（W +（t）+

W -（t））（t-t 1）］  （15）

由马尔科夫过程的一般理论  ［27］，其概率密度函数为

n 1（x +，t|x -，t 1）=n +（t）n _（t 1）+

W -（t）W +（t）  ［W +（t）+W -（t）］ 2n _（t） n _（t 1）×

exp ［-（W +（t）+W -（t））（t-t 1）］  （16）

在绝热近似的条件下，将式（16）中的指数函数变为 δ 函数可得

n 1（x +，t|x _，t 1）=n +（t）n -（t 1）+

2W -（t）W +（t）  ［W +（t）+W -（t）］ 3 ×δ（t-t 1）  （17）

设系统的输出为 h（t） ，则其自相关函数可以写成

〈h（t）h（t 1）〉= W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t）

W +（t 1）-W -（t 1） W +（t 1）+W -（t 1） + 8W +（t）W -（t）  ［W +（t）+W -（t）］ 3

δ（t-t 1）  （18）

对随机过程 z（t） 和周期力 R（t） 进行相位平均，由式（18）可得

K（t-t 1）=〈 W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t）  W +（t 1）-W -（t 1） W +（t 1）+W -（t 1） 〉  z，R-〈 W +（t）-W -（t） W +（t）+W -（t） 〉  z，R〈 W +（t 1）-W -（t 1）  W +（t 1）+W -（t 1） 〉  z，R+  〈 8W +（t）W -（t） ［ W +（t）+W -（t）］ 3 〉  z，Rδ（t-t 1）  （19）

由于双态噪声和方波的取值都只有两个值，则对任意的函数 F 有

F［f（t）］= 1+z（t） 2  1+R（t） 2 F（c+v+u）+   1-z（t） 2  1-R（t） 2 F（c-v-u）+

1+z（t） 2  1-R（t） 2 F（c-v+u）+ 1-z（t） 2

1+R（t） 2 F（c+v-u）=F 0（c，v，u）+

F 1（c，v，u）R（t）+F 2（c，v，u）z（t）+

F 3（c，v，u）z（t）R（t）  （20）

其中

F 0［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）+F（c-v-u）+

F（c-v+u）+F（c+v-u）］  （21）

F 1［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）-F（c-v-u）-

F（c-v+u）+F（c+v-u）］  （22）

F 2［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）-F（c-v-u）+

F（c-v+u）-F（c+v-u）］   （23）

F 3［c，v，u］= 1 4 ［F（c+v+u）+F（c-v-u）-

F（c-v+u）-F（c+v-u）］   （24）

这些系数具有如下的对称性：

F 1（c，v，0）=F 2（c，0，u）=F 3（c，u，0）=

F 3（c，0，v）=0  （25）

对于关于 f（t） 的任意函数 F  （1） ， F  （2） ，有

〈F  （1）［f（t）］F  （2）［f（0）］〉  z，R-

〈F  （1）［f（t）］〉  z，R〈F  （2）［f（0）］〉  z，R=

F 1  （1）（c，v，u）F 1  （2）（c，v，u） e   -d t +

F 2  （1）（c，v，u）F 2  （2）（c，v，u）φ 0（t）+

F 3  （1）（c，v，u）F 3  （2）（c，v，u） e   -d t

φ 0（t）  （26）

其中

φ 0（t）= 〈R（0）R（t〉  R= 4 π 2 ∑ ∞  k=0  （2k+1）  -2×

exp ［- j （2k+1） Ω t］， Ω = 2π T   （27）

计算可得系统输出的自相关函数为

K（t）=［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］ e   -d t +

B 3（c，v，u）φ 0（t）+C（c，v，u）δ（t）  （28）

其中

B 1（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）-y（c-v-u）+

y（c-v+u）-y（c+v-u）］ 2  （29）

B 2（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）+y（c-v-u）-

y（c-v+u）-y（c+v-u）］ 2  （30）

B 3（c，v，u）= 1 16 ［y（c+v+u）-y（c-v-u）-

y（c-v+u）+y（c+v-u）］ 2  （31）

C（c，v，u）= 1 4 ［c 1（c+v+u）+c 1（c-v-u）+

c 1（c-v+u）+c 1（c+v-u）］  （32）

y（t）=  aw 2 bm   W -（t）-W +（t） W +（t）+W -（t） ，c 1（t）=

8W +（t）W -（t）  ［W +（t）+W -（t）］ 3   （33）

对式（28）进行傅里叶变换可得

S（w）=S（0）+B 3（c，v，u）φ 0（w）  （34）

其中

S（0）= 2 d ［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］+

C（c，v，u）  （35）

φ 0（w）= 8 π ∑ ∞  k=0  （2k+1）  -2×δ［w-（2k+1） Ω ］  （36）

这里 S（0） 为噪声的功率谱， B 3（c，v，u）φ 0（w） 为输出信号的功率谱. 最终，SNR定义为信号频率处信号功率与噪声功率比值，即

SNR= 8 π  B 3（c，v，u） C（c，v，u）+2［B 1（c，v，u）+B 2（c，v，u）］/d   （37）

3 结果与分析

由式（37）可知，SNR与势参数 d 1 、 d 2 ，系统偏置 c ，方波信号振幅 v ，噪声强度 p 和 q ，噪声自相关时间 τ 1 和 τ 2 ，以及噪声相关强度 λ 都有关.本节将研究SNR对这些参数的依赖及SR是否存在.图2～图5示出了SNR对 p 和 q 的非单调依赖，表明存在广义SR.

3.1 SNR对势参数的依赖

图2a示出了不同势参数 d 1 与噪声强度 p 下SNR的变化曲线，当 d 1 不变， p 增大时，SNR的值先增大后减小，出现SR.在图2b中，SNR的峰值随 d 1 的增大而减小，位置右移.图2c示出了不同势参数 d 1 和噪声强度 q 下SNR的变化曲线， 当 q 不变， d 1 增大时，SNR的值先增大后减小，SR出现.在图2d中，SNR的峰值随 d 1 的增大而减小，位置右移.可见增大阱深会降低系统的SNR，且SR依赖于乘性和加性噪声强度.

图3a示出了SNR对势参数 d 2 与乘性噪声强度 p 的依赖，当 d 2 不变， p 增大时，SNR的值先减小后增大再减小，出现反SR和SR.在图3b中，随 d 2 的增大，SNR的峰值逐渐增大，位置几乎不变.图3c示出了SNR对势参数 d 2 和加性噪声强度 q 的依赖，当 q 不变时，SNR随 d 2 的增大先增大后减小，SR出现.在图3d中，随 d 2 增大，SNR的峰值逐渐增大，位置几乎不变.可见增大阱宽度能提高SNR.

3.2 SNR对噪声参数的依赖

图4a，4b分别示出了不同噪声自相关时间 τ 1 和 τ 2 下SNR对噪声强度 p 及加性噪声强度 q 的依赖，随 τ 1 的增大，SNR的峰值增大，位置几乎不变；随着 τ 2 的增大，SNR的峰值及其位置均未发生明显变化.图4c，4d分别示出了不同噪声关联强度 λ 下SNR对 p ， q 的依赖，随 λ 的增大，SNR的峰值先逐渐减小后趋于稳定，位置逐渐向左移动.可见 τ 1 可以提升SNR， λ 则降低SNR，而 τ 2 对SNR的影响不大.

3.3 SNR对外力参数的依赖

图5a，5b分别示出了不同力参数 c ， v 下SNR对乘性噪声强度 p 及加性噪声强度 q 的依赖，随着 c 的增大，SNR的峰值逐渐增大，位置向左移动，随着 v 的增大，SNR的峰值逐渐增大，位置几乎不变.可见增大周期外力可以提升SNR，与物理直观相符.

4 结 论

本文研究了相关色噪声和周期方波信号共同作用的双稳系统的随机共振.研究表明，信噪比会随着加性及乘性噪声的强度的增大而先增后减，随机共振出现.在一定参数条件下，我们发现：增大阱宽度、周期力的振幅和乘性噪声的自相关时间都能够提升SNR；增大阱深度、噪声关联强度则会降低SNR；而加性噪声的自相关时间对SNR的影响不大.

鉴于双稳系统、方波信号在工程等领域有广泛应用，相信本研究对非线性动力系统分析有重要参考价值.

参考文献：

［1］   Lanzara E， Mantegna R N， Spagnolo B，  et al . Experimental study of a nonlinear system in the presence of noise： the stochastic resonance ［J］. Am J Phys， 1997， 65： 341.

［2］  Wio H S， Lindenberg K. Noise induced phenomena： a sampler ［J］. Amer Inst Phys， 2003， 658： 1.

［3］  Das M， Kantz H. Stochastic resonance and hysteresis in climate with state-dependent fluctuations ［J］. Phys Rev E， 2020， 101： 62.

［4］  Ren R B， Deng K. Noise and periodic signal induced stochastic resonance in a Langevin equation with random mass and frequency ［J］. Physica A， 2019， 523： 145.

［5］  Rusconi M， Zaikin A， Marwan N，  et al . Erratum： effect of stochastic resonance on bone loss in osteopenic conditions ［J］. Phys Rev Lett， 2008， 100： 128101.

［6］  Benzi R. Stochastic resonance： from climate to biology ［J］. Nonlinear Proc Geoph， 2010， 17： 431.

［7］  Tessone C J， Mirasso C R， Toral R，  et al . Diversity-induced resonance ［J］. Phys Rev Lett， 2006， 97： 194101.

［8］  张广丽， 吕希路， 康艳梅. α-稳定噪声环境下过阻尼系统中的参数诱导随机共振现象［J］. 物理学报， 2012， 61： 8.

［9］  Gitterman M. Classical harmonic oscillator with multiplicative noise ［J］.Physica A， 2005， 352：  309.

［10］  Yu T， Zhang L， Luo M K. Stochastic resonance in the fractional Langevin equation driven by multiplicative noise and periodically modulated noise ［J］. Phys Scripta， 2013， 88： 045008.

［11］ Wang Z X， Qiao Z J， Zhou L G，  et al . Array-enhanced logical stochastic resonance subject to colored noise ［J］. Chinese J Phys， 2017， 55： 252.

［12］ Tian M Y， Wang C J， Yang K L，  et al . Estimating the nonlinear effects of an ecological system driven by Ornstein-Uhlenbeck noise ［J］. Chaos Soliton Fract， 2020， 136： 109788.

［13］ Qiao Z J， Liu J， Ma X，  et al . Double stochastic resonance induced by varying potential-well depth and width ［J］. J Franklin I， 2021， 358： 2194.

［14］ Brenig L， Banai N. Nonlinear dynamics of systems coupled with external noise： some exact results ［J］. Physica D， 1982， 5： 208.

［15］ Wang K K， Ju L， Wang Y J，  et al . Impact of colored cross-correlated non-Gaussian and Gaussian noises on stochastic resonance and stochastic stability for a metapopulation system driven by a multiplicative signal ［J］. Chaos Soliton Fract， 2018， 108： 166.

［16］ Lin L F， Yan T， Ma H. Stochastic resonance in an over-damped linear oscillator ［J］. Chinese Phys B， 2014， 23： 080503.

［17］ Yu T， Zhang L， Ji Y D，  et al . Stochastic resonance of two coupled fractional harmonic oscillators with fluctuating mass ［J］. Commun Nonlinear Sci， 2019， 72： 26.

［18］ Guo F， Wang X Y， Qin M W，  et al . Resonance phenomenon for a nonlinear system with fractional derivative subject to multiplicative and additive noise ［J］. Physica A， 2021， 562： 125243.

［19］ Jin Y F. Stochastic resonance in an under-damped bistable system driven by harmonic mixing signal ［J］. Chinese Phys B， 2018， 27： 050501.

［20］ Jung P， Hnggi P. Dynamical systems： a unified colored-noise approximation ［J］. Phys Rev A， 1987， 35： 4464.

［21］ Tian M Y， Wang C J， Yang K L，  et al . Estimating the nonlinear effects of an ecological system driven by Ornstein-Uhlenbeck noise ［J］. Chaos Soliton Fract， 2020， 136： 109788.

［22］ Wu D J， Cao L， Ke S Z. Bistable kinetic model driven by correlated noises： steady-state analysis ［J］. Phys Rev E， 1994， 50： 2496.

［23］ Cao L， Wu D J， Ke S Z. Bistable kinetic model driven by correlated noises： unified colored-noise approximation ［J］. Phys Rev E， 1995， 52： 3228.

［24］ Jia Y， Zheng X P， Hu X M，  et al . Effects of colored noise on stochastic resonance in a bistable system subject to multiplicative and additive noise ［J］. Phys Rev E， 2001， 63： 31107.

［25］ Wang J， Cao L， Wu D J. Effect on the mean first passage time in symmetrical bistable systems by cross-correlation between noises ［J］. Phys Lett A， 2003， 308： 23.

［26］ Mcnamara B， Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance ［J］. Phys Rev A， 1989， 39： 4854.

［27］ Ginzburg S L， Pustovoit M A. Stochastic resonance in two-state model of membrane channel with comparable opening and closing rates ［J］. Phys Rev E， 2002， 66： 021107.