量子电子的经典轨道和黑洞熵的微观起源

孙宇轩 曾定方

关键词 平方反比力场;奇异振荡;量子现象的经典对应;广义相对论的牛顿对应

1 物理源起

量子电子的经典轨道和黑洞熵微观起源的半经典解读是两个典型的教科书水平物理问题，流行的观点普遍认为它们不可能有说得通的答案，持这种观点的教科书和参考文献非常多。为避免打击同行，我们在本文中不对这些文献给出明显的引用，而是将核心引文局限于作者本人的研究[1-6]，跟这些研究在特定问题上持类似看法的另外三篇论文[7-9]以及关于Einstein-Ritz争论的一篇历史文献和现代综述[10，11]，当然还有作为本文前传的另一篇教学研究[12]。

对前者，人们认为量子粒子根本就没有轨道概念或者不允许轨道解读，类似氢原子核外电子这样的对象必须而且只能使用波函数和电子云图像进行描述。这种描述的必要性源于氢原子作为一个中性对象是稳定的这一客观事实，如果核外电子看作一个拥有轨道的经典对象，其向心加速度必然导致持续的电磁辐射和能量损耗而坠入原子核中。因此，核外电子的经典轨道图像跟電动力学的基本原理之间存在矛盾，避免矛盾的唯一出路是放弃轨道图像，代之以波函数概念和电子云图像。然而本文希望阐明的是，核外电子的量子波函数不仅允许轨道解读，而且这些轨道还都是一些平方反比力驱动的一维直线，是它们角度指向的不确定性导致了一个有效的三维图像。

对后者，人们认为将黑洞熵理解为其内容物运动模式的多样性明显属于在牛顿引力禁区内开展的以牛顿引力为基础的研究。譬如视界面内部时空观念的变化和牛顿引力定律的失效将使得，对黑洞内容物在其中运动模式的探讨完全就是一个毫无意义的无知行为。然而本文将指出的是，对黑洞内容物的视界内运动，广义相对论和牛顿引力理论的运动方程数学形式完全相同，动力学本质都是平方反比力驱动下的一维振荡，二者唯一的差别在于物理解释。

事实上，平方反比力驱动的一维振荡运动不仅是一个定义良好的数学问题，而且有普遍的物理适用场景。对理解类氢原子电子波函数的经典轨道图像和黑洞熵的微观起源和其内容物的经典/半经典运动有非常重要的价值。因此在本文中，我们将抛弃将这个问题认定为理论禁区的做法，从纯经典和非相对论角度细致地讨论平方反比力驱动下的一维振荡运动及其量子力学和相对论解读。论文的核心思想在研究论文[1-6]中已正式发表过，在此以中文形式二次发表的动机主要是希望激发普通物理水平的教学研究讨论以及面向物理学大同行的普及推广。

2 数学内核

在牛顿力学框架内，当考虑氢原子核外电子直线轨道运动或者自引力塌缩球体内部跟球体同步的任意代表性球层的运动时，我们面对的本质上是同一个问题，即平方反比力驱动的检验粒子一维运动学问题。这个问题在数学上是良好定义的，即下述常微分方程求解问题

3 氢原子电子波函数的经典轨道解读

认为原子核外电子的轨道模型不正确几乎是量子力学中一个已成共识的结论，原因是绕核旋转的电子会因为加速度不为零而辐射电磁波，从而导致轨道衰变及电子坠入原子核的灾难性后果，换句话说，这种理论模型描述的原子无法维持稳定。本文目的并非要推翻量子力学发展过程中人们已形成的共识，但并不回避对量子波函数允许经典轨道描述这一观点的批评，前提当然是给出正确的轨道描述。

首先，我们指出，传统上人们大力批评或认为不可接受的那种轨道图像包含一个重要错误，即认为那些轨道是以原子核为中心或焦点的一些圆或椭圆，这是一个极大错误。量子波函数所描述核外电子的经典轨道是一些通过核正电中心的直线而非圆或椭圆轨道，由于我们无法确定电子到底在哪条直线上振荡，所以只能接受通过正电荷中心的每一条直线都可能。这意味着我们拥有一个由大量径向轨道形成的轨道系统，这个系统的不同成员在角度方向被实现的概率差异对应各种不同角动量量子数的球谐函数Y_lmθ，? ，参考图3。

对一个球状正电荷原子核，控制Y_lmθ，? 函数形式的不是特定动力学机制，而是一定程度上完全由测量者偏好设定或选择的正交函数族。与此形成鲜明对比的是，核外电子的经典轨道运动为平方反比力驱动奇异振荡的事实决定了波函数径向因子的函数形式。由于在经典直线轨道的两端，电子的速度为零，因此它们在那里停留的时间相对在轨道中间的其他位置更长。图3中那些椭圆是我们在无法确定这些电子到底沿哪条直径运动情况下使用其速度为零因而出现概率最大的端点集合叠加角度方向不确定性之后形成的一个有效图像。在量子描述中，这对应波函数模方的极大值点。通过经典轨道描述对量子波函数各种特征的复现，我们可以清楚地看到这一事实。

再次特别强调，这里的轨道是通过原子核中心的直线而非以原子核为焦点的椭圆，因此它们的轨道半径实际上是直线两端到中心的距离。

支持核外电子量子波函数所描述的经典轨道应该是一些通过原子核中心的直线而非以其正电荷中心为焦点的椭圆的最后一个简单到匪夷所思但几乎从未被关注过的证据是，s-波电子的轨道角动量等于零。如果跟这种波函数对应的经典轨道是以原子核的正电荷中心为圆心的一些圆，则电子的轨道角动量不可能为零。有些读者可能会说，正像我们在这里所说的那样，由波函数角动量量子数s，p，d，f，…所量化的角动量跟电子的经典轨道运动没有关系，而是量子电子在不同方向上被测量到的概率的差异。我们的回应是，既然如此，为什么还要认为量子波函数所描述电子的经典运动轨道是一些以原子核正电荷中心为焦点的椭圆而不是通过原子核正电荷中心的直线呢？

4 跟经典电动力学的矛盾

接受氢原子核外电子的经典轨道是一些通过原子核中心的直线而非以原子核为焦点的椭圆，我们就能避免电磁辐射导致的经典轨道衰减和中性原子无法长寿命存在疑难吗？ 答案是，这个问题跟氢原子核外电子轨道的形状没有直接关系，而是跟另一件事情即经典辐射的时间反演对称性相关。这件事情最早以Ritz和Einstein辩论的形式出现[10，11]。Ritz认为，加速粒子行为由辐射而非吸收主导不仅是一个客观事实而且是一个基本物理学规律。Einstein最开始的观点与此相反，认为这种辐射压倒吸收只是一种衍生/统计效果而非基本规律。但他后来改变了观点，认为也许存在某种基本的物理原因导致了辐射跟吸收的地位不对等。可直到今天，人们也并未在这个问题上达成共识并完全理解其中的物理原因。

我们的观点是，做加速運动的电子，确实会辐射电磁波，可是它绕着转的原子核完全可能把那些电磁波吸收掉并产生适当反冲从而保持二者之间的平均相对距离不变，反过去也一样。反映在经典电动力学的基本定律中，这仅仅是D＇Alermbert方程同时允许推迟解和超前解的基本事实

第一项是推迟项，描述电磁波的辐射;第二项是超前项，描述电磁波的吸收。那种认为核外电子会因为加速度不为零而辐射电磁波从而导致轨道不稳定的论证忽略了附近原子核的吸收效应。对一个中性原子，如果核外电子辐射的电磁波总是被中心的原子核吸收，则不管核外电子的轨道形状是否直线，整个系统就可能总是稳定的，衰变不是必然结论，参考图4。

显然，在一个加速运动的电子周围，如果不存在探测器，则其辐射和吸收效应完全可能互相抵消并呈现一种动态平衡。这里的探测器泛指任何可能跟来自或奔向加速电子的电磁波相互作用的物理对象，譬如原子核。如果电子附近存在探测器，则仅当探测器抓住了相对电子外行的电磁波或者探测到了附近真空中消失的奔向电子的电磁波时，我们才能说电子发生了辐射或吸收。只有当我们可以持续地探测到净辐射或净吸收时，才能说原子是不稳定的。

对一个中性原子，如果核外电子因为加速度非零而辐射的电磁波在很短时间内就被原子核吸收了，那么因为吸收导致的原子核反冲将使得核-电子间的平均距离保持为常数即整个系统保持稳定。相反如果我们有一个微观探测器，总是能够在电磁波被原子核回收之前将电子发射的电磁波截胡，那么整个系统确实会因为持续的电磁辐射而失稳。

关于Einstein-Ritz争论，一种广泛流传的看法认为延迟解符合因果律而超前解则相反。我们不同意这种看法，理由非常简单，即QED 的作用量中不存在破坏时间反演对称性的项，延迟解和超前解的物理地位是对等的。选择延迟解描述辐射同时选择超前解描述吸收是一种人为做法，我们完全也可以反过来做。这种选择类似于对称性自发破缺，基本理论的作用量拥有一种对称性譬如U（1）旋转不变性，但自然界选择的真空是破坏旋转不变性的。只不过在对辐射/吸收现象的描述中，描述者替代了选择真空的上帝——自然界——的角色。但描述者毕竟只是描述者，不是被描述者。选用延迟解描述辐射并不是物理现实强制的唯一选择，物理现实允许相反的描述方案。在QED中，导致紫外发散的电子自能修正图就是一种典型的电子先发射再吸收光子过程，和紫外发散同样重要的还有韧致辐射导致的红外发散。红外修正截面中的发散跟紫外修正振幅虚部中的发散在由光学定理决定的抵消效应下保证了理论预言的有限性。在氢原子的情形，我们只是需要把氢核+电子作为一个束缚态整体，电子发射的电磁波可以被自己回收，也可以被氢核回收，总效果只是对氢原子自能的修正。如果我们有一架探测器能够将每一个由电子发射但尚未被其自身或附近的氢核回收的光子抓住，则我们看到的不仅仅是电子轨道的不稳定性，还有氢原子整体质量或能量的尺度依赖性。

5 球对称质量壳层的自引力塌缩

但我们发现[1-4]，通过将一个球对称黑洞分解成大量由其内容物构成的同心嵌套球层，将黑洞微观态看作全部嵌套球层波函数的直积，球层分解方案的多样性和给定分解方案下不同球层波函数激发方式组合的多样性会导致整个系统波函数的高度简并。当将所有球层满足的爱因斯坦场方程量子化之后，这两个因素导致的多样性将是离散而且可数的，计数结果恰好能够给出跟贝肯斯坦-霍金熵相融的面积律公式。

我们的工作为黑洞熵的微观起源提供了一种半经典甚至基本的解释。其唯一要求是，在视界内部，黑洞内容物并不是静态地堆积在奇点上啥也不干或呈现为一个永恒奇点，而是在其中以“奇点”为中心做对穿振荡或者以分层化视界面为边界做无视每层视界面内部空间存在性的对穿振荡，参考图5。这一要求跟奇点定理并不矛盾，因为缩进视界面的内容物确实会在有限固有时间内落到中心点上，只不过落到那里之后会继续向对顶方向发散开去，从而令奇点变成了一个被黑洞内容物周期性对穿的等时超曲面而不是背景空间中的一个点，这完全符合奇点定理中“奇点”概念的几何本质，参考图6下部的彭罗斯-卡特图表示[5，6]。

在本文中，我们并不准备对上述波函数简并度的计数过程进行完整介绍，而只选择从表示黑洞内容M_tot 的大量同心球层中抽出一个质量为mi的代表作为研究对象，展示其一维经典振荡的本质和量子化波函数描述方案。参考图5，按基尔霍夫定律，我们所关注球层m_i的经典运动只受其本身及内侧其他球层质量之和M_i的影响。如果我们考虑的是一个空心球壳，即m_i =Mi 的情形，则球壳内部时空是平坦的而外部由一个内边界半径时间依赖的史瓦西度规描述。该球层上任意体元的测地线方程都可以用来表征整个球层半径的演化

在球层被从视界面外部释放的情况下，我们不需要将式（14）～式（16）中的积分参数γi 选为虚数，参考图5右边的部分，但球层在外部观察者有限远的未来落不到视界上，即塌缩会一直进行，永远也完不成。但在将视界面上的点做了对径点认同之后，我们在下面马上将讨论的对穿振荡会跨越视界面内部的空间区域直接发生在视界面的东西两半球之间。

6 从塌缩到振荡只差一念

流行观点虽然从未明确表示过，但实际上普遍认为因式（14）～式（17）中r 的物理含义是径向坐标，其取值范围只能是 0，∞ 。因此一个球层不管在塌缩到半径为零时收缩速度多么大，它都必须立即停下来形成一个静态、永恒的奇点或者给先前存在的奇点贡献额外的质量。这是一个错误的认知，这一认知会导致对奇点定理的过度解读，即把引力塌缩现象中内容物会在缩进视界面之后的有限固有时间内落到中心点的结论过度外推到落到中心点就会停下来形成永恒奇点的说法。实际上，虽然这些方程中r 的物理含义是径向坐标，但它的取值范围是可以被设定为 -∞，∞ 的，唯一条件是同时让负r 值所表示的那些空间点构成对正r 值所表示空间点的二次覆盖，严格对应可写作

一旦跨过了径向坐标负值扩展和API解读这一念之差，我们就可以把方程（17）跟方程（1）完全等同起来，从而发现球层上任意点的径向坐标演化都是一个由周期性函数（5）所描述的奇异振荡的事实。这显然意味引力塌缩导致奇点形成并不是一桩一朝发生就万事皆休的一锤子买卖，而是一个反复地形成又瓦解的周期性现象。我们把这种现象称作对穿振荡，即当球层在塌缩到半径为零的时刻之后，球层上东半球的点会跑到西半球，西半球的点会跑到东半球。当考虑一个实心球体的自引力塌缩时，只需将整个球体看作大量同心嵌套的球层，我们就会得到完全相似的结论。因此在经典广义相对论水平上，对穿振荡实现了对黑洞中心奇点的消解，参考图6下半部灰色粗多边形区域内的彭卡图子图。

在纯经典广义相对论水平上，一个自引力球体确实是无法在外部观察者的时间定义域内缩进由自己的质量所定义的视界面内部的。因此发生在视界面内部的对穿振荡实际发生在外部观察者无穷远未来的未来[5，6]。不确定原理本质是将这种无穷远未来的未来才可能发生的视界内振荡事件通过系统的思想放到了外部观察者看得见的未来，即在这些观察者面前设置一个由大量球壳构成的系统，这些系统中不同的成员当前时刻演化到什么阶段未准确限定，但其中有一些确实已经落进视界面内并在那里振荡，有一些还在处视界外并努力往里缩，当然也有一些不仅尚在视界外，而且还在往外扩张。在量子化之后，我们可以证明，那些已经缩进视界面的成员的数量恰好跟其视界面面积的指数化成正比。我们在研究中首次引入了扩展的彭卡图将这些成员的集合表示在类似图6下部那样的图片中。

7 对穿振荡模糊球

上述基于经典广义相对论和不确定原理给出的自引力球层对穿振荡图像几乎已经是其量子力学描述所能给出的全部，现在我们唯一需要补充的是写出这种量子化描述的数学形式。为此我们在方程（17）的两侧同时乘以球壳质量并将之改写成哈密顿约束的形式

因此按照一个球层即一个集体运动模式提供一个比特熵的估算，全部球层完全可以提供Bekenstein-Hawking熵面积律公式所要求的那么多数量。在本系列中文物理教学/普及推广论文的第一篇[12]中，我们已强调过这种集体运动模式质量不等于黑洞内容物原子/分子质量这一事实對理解面积上律熵为何不特殊的重要价值。

由直积波函数式（27）所描述的对象虽然在经典水平拥有视界，但是每个球层在视界外被测量到的概率都不为零，因此从测量的角度来看，将其称作对穿振荡模糊球更为恰当。就我们所知，这是到目前为止，唯一既可写出经典度规又可以写出量子波函数的模糊球黑洞。天文学上的黑洞是否由这种模型刻画有可能通过对其阴影照片的高精度观测和分析比对证实或证否，也有可能通过其双体合并的引力波信号特征进行识别。

8 结语

通过上面的介绍，我们希望读者获得的认知如下：氢原子核外电子的量子波函数允许经典轨道解读，那些轨道是一些通过原子核正电荷中心的直线，其运动本质是一些平方反比力驱动的一维奇异振荡，奇异并不是运动函数本身在特定点上的突变或者发散，而是其驱动力场在中心点含有发散特征。由于角度方向的不确定性，我们无法确定电子到底在这些一维直线轨道的哪一条上运动，因此即便对一个电子，我们也需要引入一个由大量一维直线轨道组成的系统。系综中每个成员即每条直线轨道的两端都是电子被测到概率最大的位置，原因是电子在那里的速度为零因此停留的时间相对于轨道中间的其他位置更长。系统中不同成员被实现概率的差异导致核外电子的波函数拥有不同的角向依赖性并表现为不同角动量模式。

一个自引力塌缩球体，在纯经典广义相对论水平上，视界和奇点的形成都只会发生在外部观察者无穷远未来的未来，即他们的时间定义域之外。在这种意义上外部观察者能够观察到的只是一个半径无限接近于由星体质量所定义视界半径的冻星而无法观察到带有严格意义上视界和奇点的黑洞。

当考虑不确定原理导致的量子涨落时，一个自引力塌缩球体可以在外部观察者的有限时间未来形成视界从而呈现为一个黑洞。从经典广义相对论角度，这种黑洞只能看作一个由大量其内容物塌缩到什么阶段未被准确限定的星体组成的系综，系综中每个成员的内容物都在视界面内做对穿振荡，依赖于量子化波函数的边界条件选择，这种对穿可以系统中心为对穿点，也可以分层化视界面为边界无视内部体积直接进行。所有成员的内容物均可分解为大量同心球层，每个球层的运动都是一些平方反比力驱动的对穿振荡。量子化的结果表明，球层分解方案和给定分解方案下不同球层对穿振荡模式两个要素多样性的计数可以给出面积律特征的熵公式。量子化同时意味着通过引力塌缩形成的黑洞的视界面是模糊的，其内容物在视界面外被测量到的几率不为零会令其表现为一种模糊球类型的天文学对象，这种图景是否符合事实有可能通过天文观测证实或证否。

天文学上的黑洞都拥有非平庸的内容物运动模式，但这些模式都发生在外部观察者无穷远未来的未来，它们需要在统计系综的水平上被理解和描述，史瓦西/克尔度规只描述它们被理想化的视界面外部的时空几何。

开放评审意见

高思杰：作者对量子力学中电子轨道的传统解释及广义相对论中自引力塌缩球体的描述提出挑战，给出了新的解释。论文视角新颖，想法大胆，但存在诸多值得商榷的问题。

关于氢原子波函数的经典解释，我认为一个运动的波包在一定条件下是可以对应经典运动轨道的，而通常的电子能级和波函数是薛定谔方程的定态解，当然不对应一个运动的经典电子。作者认为核外电子的波函数对应经典力学中通过核中心的直线轨道，我认为该结论缺乏依据。作者并没有从满足薛定谔方程的解出发，通过分析波函数的经典极限得到该结论，而是从不确定关系出发进行不严格的论证。不确定关系在量子力学体系建立前是独立存在的，但后来已成为量子力学的推论，因此完全可以由薛定谔方程进行严格论证。作者认为能级公式（11）中的普朗克常数趋于零就是经典极限，从而得到能级可以趋于负无穷大。该结论显然不成立，因为方程（11）中的每个量都是确定的，因此能级是固定的，不存在普朗克常数取极限后发散的问题。通常的经典极限，是普朗克常数与公式中出现的同量纲物理量相比很小时所做的近似，方程（11）不存在这种近似。

关于相对论中的自引力塌缩，作者的分析基于薛定谔方程（22）。但这只是定态薛定谔方程，如果想描述一个塌缩的动态球壳，应该由定态解的叠加构成波包，分析其运动。而作者得出的对穿振荡图像显然没有计算波包的运动。另外文中对奇点概念的理解也与广义相对论不同。作者认为物质可以穿过奇点做对穿振荡，且这一图像与奇点的概念不矛盾。事实上，经典广义相对论的奇点并不是时空中的点，它不属于时空，或者说是时空的终结。如果物质可以穿过奇点，那么这个奇点就已经不是传统广义相对论中的奇点了。

吴洁强：作者在氢原子和引力塌缩球体两个系统中，基于平方反比力所驱动的一维振荡模型，讨论了一系列有趣的问题。文章整体具有一定程度的启发性和建设意义。

在氢原子中，作者试图从半经典角度对能谱、氢原子稳定性等问题进行阐释。这种基于更朴素的观点所进行的讨论当然是非常有价值的。除去一维空间的点粒子，在任何其他稍微复杂一点的模型中，我都不知道一个系统地做半经典近似的处理方法。因此，我认为任何关于半经典近似的任何讨论都是有一定价值的。

具体到作者的讨论，作者构造了一个角动量为零的经典轨道，并进一步论证出氢原子的能谱和半径。我认为，如果允许调整物理常数的取值，在合适的情况下，这个经典轨道是可以有物理意义并理解为一个半经典的波包的。而对于现实中的物理常数，我并不确定这种近似是否合理，作者也许需要更仔细地考察并解释这种近似处理的合理性。作者对比了这个角动量为零的经典轨道与传统所讨论的椭圆轨道。我认为两者并没有孰优孰劣之分，也许应该理解为两个不同的半经典波函数。此外的另一个值得考虑的问题是有关能级的简并度。作者的分析的确得到了氢原子的能級（12）。但是，在完整的量子力学中，我们还可以得到每一个能级的简并度。如果作者的半经典处理方法也能对简并度给出一定的讨论将会是非常有趣的。

作者还试图从半经典的角度论证氢原子基态的稳定性，其观点是被发射出去的电磁波又重新被电子或原子核吸收了回来。这种想法是比较直观和有趣的。但是，我的建议是，这里的所谓对电磁波的吸收是来自于量子力学波函数的叠加，而不是作者（13）式所写的经典电磁场格林函数的叠加。在传统的观点中，氢原子基态的稳定性来自于量子化条件。如果以半经典的图像做类比，量子化条件指出，不是所有的经典轨道都是被允许的，因此基态波函数没办法进一步跃迁到能量更低的态。即使作者从新的角度进行阐述，也应该与传统的观点有一定的关系。我的建议是也许可以首先从叠加原理的角度理解量子化条件，再进一步解释为什么没有电磁波辐射。关于利用叠加原理解释量子化条件，我期待的图像是，只有满足量子化条件的经典轨道才可以通过叠加原理的方式构造波函数;而不满足量子化条件的轨道，经过叠加后所构造的波函数为零。而关于解释没有电磁波辐射，其论证也许也是类似的。作者也许可以对自己的观点给出更具体的论证，或沿着这一方向进行探索。

关于引力塌缩球体的讨论，作者提出了奇点附近对径点认同的观点，以及所谓对穿振荡机制。这种观点与传统的黑洞物理有很大的不同，对此我没有能力去评价。

而关于黑洞熵的讨论，作者将黑洞理解成多层球壳，并尝试利用球壳的微观自由度解释黑洞熵的起源。这种观点是具有一定的启发性的，作者也许可以做更多地深入探索。以我的理解，其中的核心也许是从微观的角度的解释黑洞热力学第一定律dS =dE/T 。具体来说，我们需要计算对于一个给定的黑洞，当微观自由度增加1比特时，能量的增量是多少。如果计算得到的能量增量恰好正比于黑洞温度，那么得到的黑洞熵就会是所期待的面积率。类似的观点也出现在Susskind的一些公开讲座中。

致谢：本文最初的版本曾发送给南开大学赵柳老师和济南大学张宏升阅读，他们向作者反馈了宝贵意见，在此对他们表示诚挚的感谢。

作者简介

姓名：孙宇轩，男，北京工业大学2019级硕士生，在双星动力学的现代场论方法领域技术娴熟、概念清晰，拥有深厚的能力基础和知识积累。虽未参与本文所牵涉的研究工作，但确是第二作者最优秀的学生和论文内容的倾听者之一。

姓名：曾定方，男，北京工业大学副教授，主要研究方向：String Theoy and M-theory，物理教育。

在本文中的贡献：是本文主要内容的贡献者和latex文档的撰写者。

评审人简介

高思杰，男，北京师范物理系教授，研究方向为经典广义相对论，黑洞的经典及热力学性质，主讲量子力学和引力理论专题课程多年。

吴洁强，男，中国科学院理论物理研究所副研究员，近年来研究方向为量子引力和黑洞物理。