撒克逊碗的下沉临界条件与沉没时间

李佳泓 林蕴芊 赵芸赫 黄敏 马宇翰

摘 要 “撒克逊碗”是一种底部有孔的计时装置。本文以圆柱形撒克逊碗为例，建立了其在水中下沉的物理模型。首先，本文确定了撒克逊碗顺利下沉的临界条件，包括水能涌入碗的条件和碗初释放时出现倒灌现象的条件。然后，本文研究了水涌入碗后系统的动力学过程，推导出碗的下沉时间与碗的几何特征间的定量关系。进一步，本文设计了实验以检验理论模型的正确性。与实验得到的碗下沉时间相比，相应的理论值普遍偏小。将碗下沉过程中受到的黏滞阻力和压差阻力、孔口处淹没射流及水头损失、碗完全浸没前受表面张力的影响考虑在内后，理论和实验的一致性明显增加。最后，本文还引入了壁面函数用于分析形状各异的撒克逊碗的下沉时间。

关键词 撒克逊碗;临界条件;孔口射流;表面张力;壁面函数

从古至今，时间的测量和记录是人类文明中的重要一环。随着对不同工具的开发使用，和对自然规律认识的加深，人们基于不同的物理原理发展了不同类型的计时器。在当今社会，计时已成为各种电子产品，智能设备的基本功能。在公元五世纪，撒克逊人、古代波斯人设计了一种计时装置，他们将一个底部有洞的碗放在水中，通过观察碗的下沉进行计时。这种被称为“撒克逊碗”的装置，其实是“水钟”（clepsydra）的一种。这是一类用水流进行时间测量的工具，是古代世界重要的实用计时设备。水流进或流出不同盛放容器时，可以根据容器内水面高度等参数的变化确定时间。在计时机制上水钟大致可分为两种：漏刻型和入刻型[1]。本文所研究的“撒克逊碗”就是一种典型的“入刻型”计时器。

此前，撒克逊碗的计时特征已吸引了相当的研究兴趣。例如，钟书河山等通过较为简单的物理模型，分析了撒克逊碗下沉时间与碗质量、缺口面积、液体密度的关系[2]。王幸等对撒克逊碗在下沉中的简谐振动进行了修正，得到了对运动过程的简单物理解释[3]。此外，也有学者基于软件仿真从数值上研究了这一问题[4]。值得一提的是，撒克逊碗要能够实现计时功能，首先需要能在水中顺利下沉。从受力平衡的角度来说，其下沉需要碗的几何特征满足特定条件。据笔者所知，这一对撒克逊碗而言重要的“临界条件”还未被系统研究过。

本文从撒克逊碗的下沉出发，建立其在水中下沉的物理模型，讨论了其顺利下沉的“临界条件”。然后，研究了水涌入碗后系统的动力学过程，推导出碗的下沉时间与碗的几何特征间的定量关系，并在实验中进行了验证。研究发现由该理论模型计算得到的下沉时间普遍小于实验值，因此进一步修正理论模型，将黏滞阻力、孔口淹没射流、水头损失、表面张力等因素考虑在内，结果表明理论和实验的一致性明显增加，从而使该模型可以更好地预测撒克逊碗的下沉时间。最后，由于撒克逊碗在实际应用中具有多种形状，所以本文引入了壁面函数，以研究形狀各异的撒克逊碗的下沉时间。