等效库仑荷分布计算方法及其应用

杨文娜 熊兆华

摘 要 满足平方反比率的库仑相互作用在场论中具有独特的意义，高斯定理描述了三维空间矢量场源的属性。本文把其他类型势函数，如汤川势、谐振子势等转换为等效库仑荷分布，由此利用三维有源场满足的高斯定理来计算空间中的场强以及其他相关物理量。本文也专门设计了一个均匀分布汤川荷的硬球散射例题来展示这种方法的优越性。虽然这种方法在具体计算工作量上没有显著改进，但是得到的等效库仑荷分布在处理有体积粒子的时候会有更加清晰的物理图像。转换方法以及具体例题对拓展场论等相关课程教学有一定借鉴意义。

关键词 库仑势;汤川势;高斯定理

场论是物理学中表述物理现象和规律的重要理论。对于三维空间矢量场来说，场论主要研究其有源无源，有旋无旋的性质，即场的散度和旋度。描述电磁场理论的麦克斯韦方程组即可看作是关于电磁场的散度，旋度组成的方程组。相比于力学的瞬时性与超距作用，场论则体现了物理过程的局域性。除了物理概念上的革新外，相比于力学，场论方法在研究某些过程时有明显的优越性。在电磁学的教学中，利用描述场散度的高斯定理，以及描述場旋度的斯托克斯定理，然后依据系统的对称性可以求解场的强度、势等重要物理量。这是一种非常重要的物理方法，因为实际物理场景的很多情况都可以看作是高度对称性系统，如球对称，柱对称，平面对称系统等。比如一个不规则形状的带电导体，如果距离这个导体足够远，就可以近似将其产生的电场看做是均匀带电球产生的电场：而靠近导体表面的电场，又可以近似看做是无限大均匀带电平面附近的电场。如果类似于力学的方法，采用库仑定律处理静电场会显得很麻烦。在物理学史中，一个著名的例子就是在《自然哲学之数学原理》[1]一书中，牛顿花费了很大的力气才证明均匀球壳对球壳内质点的引力为零，对壳外质点的引力可以看作是把球壳的质量都集中在球心位置处所产生的引力。如果采用场论的方法。依据球对称性和高斯定理，可以非常快捷地得到相同结论。

作为描述有源场的高斯定理对我们理解场论有着重要的意义。场的有源或者无源性质实际上是利用满足真空平方反比率的库仑电荷来讨论的。静电平衡的导体电学特征就是建立在有源场高斯定理的基础之上，点源的球对称性加上高斯定理就可以得到库仑平方反比率。通过测量静电平衡导体内部电荷是否为零就可以检验平方反比率，进而检验高斯定理。这样的检验远远比最初的库仑扭秤实验要精确。历史上，卡文迪许在库仑之前就利用测量静电平衡导体内部电荷是否为零确定静电力偏离平方反比率的指数偏差δ 的上限在2×10-2 左右[2]。后来麦克斯韦重新做了卡文迪许的实验，进一步提高了精度，把偏差δ 上限降低到5×10-5 的数量级。后面不断有物理学家重复测量静电平衡导体内部电荷来探究静电场的平方反比率的适用性。1971 年威廉姆斯（Williams）将偏差δ 上限缩小到（2.7±3.1）×10-16的数量级。可以说静电场的平方反比率得到了严苛的检验。相应的库仑势，也就是与半径成反比的势函数，是描述静电场的准确函数。从理论的角度看，高斯定理、场强的平方反比率以及库仑势是三维空间有源场的基本性质，如果空间是两维或者四维的，则点源的平方反比率以及库仑势都将发生改变。因此高斯定理以及库仑势在三维空间场论中有其独特意义。

抛开电磁理论，实际物理研究中，特别是在量子物理研究中，除库仑势之外还存在汤川势，谐振子势等其他类型势函数。研究这些非库仑势的性质时，如果直接利用势函数求解相关问题，某些情况会特别麻烦。这是因为非库仑势相关的场论不再满足高斯定理，点源与空间的场之间的关系就复杂很多。为了解决这个问题，本文讨论一种把其他类型荷分布及势函数转换为库仑荷分布及库仑势的方法：即依据场论知识，我们可以对非库仑势求梯度得到场分布。再对场求散度得到荷分布。用这种方法求得的荷分布是一种等效的库仑荷分布，利用等效库仑荷分布以及高斯定理求解问题会使相关问题得到意想不到的化简。我们将在论文第二部分以汤川势为例来说明如何使用该方法，在第三部分给出使用该方法解决问题的一个具体例子均匀带汤川荷球的散射问题，最后给出本文的结论。