与“兔”有关的数学问题

苏青

“兔”伴有善美、祥和之意，常出现在民间传说、文学作品和造型艺术中，代表着人们对美好生活的向往。兔年说兔，我们来说点不一样的，谈谈与兔子相关的三个数学问题吧。

“鸡兔同笼”

这是中国古代著名的数学趣题之一，载于公元四五世纪成书的《孙子算经》。书中写道：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”作者给出了“上置”“下置”两种解法，后人则找到了更多的有趣解法，如“假设法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩阵法”“鸡翅法”等。如果运用代数方程式来求解，就更简单了。

“鸡兔同笼”还可演进为变量不是整数或变量不止2个的几十种同类问题，解题虽复杂一些，但思路大致相同。通过运用不同的方法解答不同的“鸡兔同笼”问题，无疑可提高青少年的逻辑推理、数理演算等方面的能力。

“龟兔赛跑”

最早出自《伊索寓言》中的“乌龟与野兔”故事可谓家喻户晓、中外皆知，这个故事告诫人们谦虚勤勉将获成功，骄傲自大必定失败。

后人将这个故事演绎成了一个逻辑悖论：如果乌龟先爬出一段距离，再让兔子去追，那么，不管兔子跑得多快，它永远也追不上乌龟。古希腊哲学家提出过一个著名的悖论——芝诺的乌龟，也被称为“芝诺悖论”，“龟兔赛跑”里的兔子被替换成了古希腊神话中善于跑步的神明阿基里斯。

在芝诺的问题中，阿基里斯永远追不上一只正常爬行的乌龟。逻辑推理证明步骤如下：假设阿基里斯跑步的速度是每秒10米，乌龟爬行的速度是每秒1米，阿基里斯让乌龟先爬100米再出发追赶；当他跑完100米后，乌龟已往前爬了10米；阿基里斯再往前追赶10米后，乌龟又向前爬行了1米……如此循环，因为乌龟总会制造出在阿基里斯前面的无数个新起点，阿基里斯始终无法追上乌龟。然而，实际情况并非如此，我们因此可以发现这个形式逻辑存在的缺陷。

实际上，根据高等数学理论，在“龟兔赛跑”问题中，兔子与乌龟之间的起始间距是有限的，它们之间的距离无限缩小时，按照极限的定义，这个距离最终将等于零，因而兔、龟就会在某一时刻处于同一起跑点上，兔子很快就能追上乌龟。

“兔子数列”

斐波那契数列是由13世纪意大利数学家斐波那契提出，这个数列因以兔子繁殖为例而引入，故又被称为“兔子数列”。

斐波那契的问题是：通常，兔子出生两个月后就具备繁殖能力，之后，一对雌雄兔子每个月能生出一对小兔子（假设为一雌一雄）；若所有的兔子都活着，一年可繁殖出多少对兔子？按照上述假设，一年即12个月里，兔子每个月的繁殖数量（单位：对）分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。

据此，斐波那契数列的通项公式可以如下定义：F（1）=1；F（2）=1；F（3）=2；F（4）=3；……F（n）=F（n-1）+F（n-2），（n≥3）。该数列有两个明显特点：一是从第三项开始，每一项的数字都等于前两项的数字之和；二是当数列的个数趋向于无穷大时，后一项与前一项数字比值的小数部分就越来越逼近黄金分割比0.618。因此，斐波那契数列又被称作黄金分割数列。

该数列在自然界多有体现，比如，树木新生的枝条往往需要“休息”一段時间才能萌发新枝，一棵树各个年份生长出来的枝丫数构成了斐波那契数列。在现代物理、结构化学等领域，斐波那契数列也有直接的应用。1963年，美国数学会创办了《斐波那契数列季刊》数学杂志，专门用于刊载这方面的研究成果。

浪淘沙令

辞旧握新年，思绪翩跹。

舞文玉兔竞佳篇。

锦上添花吸眼阅，选料当鲜。

算术悉心研，典故重编。

逻辑数列理推连。

极限方程欣解惑，学海无边。

古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过“万物皆数”，中国古代周公曾赞叹曰“大哉言数”，没想到小小的兔子竟和数学有着如此深厚的“渊源”，我们可要好好学习数学哟！（本文刊载于2023年1月20日《科普时报》《青诗白话》栏目，略有删减）