椭圆曲线y2=7nx（x2+32）的正整数点

余慧敏，张玲丽，过 静

（江西科技师范大学大数据科学学院，江西 南昌 330038）

1 前言

椭圆曲线的整数点是数论中很重要的问题。关于椭圆曲线

的整数点问题，目前主要结论集中在m=1，2，3，4上。当m=1 时，椭圆曲线（1.1）变为：

当n 为奇素数时，廖思泉,乐茂华等[1-5]对椭圆曲线（1.2）的整数点进行了研究；当n 只含奇素因子时，李玲、张绪绪[6]对椭圆曲线（1.2）的整数点进行了研究；当n 含2 及1 个奇素数时，杜晓英[7]对椭圆曲线（1.2）的整数点进行了研究；当n 含3 及1 个奇素数时，万飞、邓娅容等[8]对椭圆曲线（1.2）的整数点进行了研究。

当m=2 时，椭圆曲线（1.1）变为：

当n 为奇素数时，万飞、杜先存[9]对椭圆曲线（1.3）的整数点进行了研究；当n 含29 及1 个奇素数时，杜先存等[10]对椭圆曲线（1.3）的整数点进行了研究。

当m=3 时，椭圆曲线（1.1）变为：

当n 为奇素数时，杜先存、林杏等[11]对椭圆曲线（1.4）的整数点进行了研究；当n 只含奇素因子时，赵健红[12]对椭圆曲线（1.4）的整数点进行了研究。

当m=4 时，椭圆曲线（1.1）变为：

当n 为奇素数时，赵健红[13]对椭圆曲线（1.5）的整数点进行了研究，当n 只含奇素因子时，赵健红[14]对椭圆曲线（1.5）的整数点进行了研究。

而对于n 为奇素数时，椭圆曲线

的整数点问题，目前还没有相关结论。因此，本文主要讨论椭圆曲线（1.6）的正整数点情况。

2 重要引理

引理1[15]若D 是一个非平方的正整数，2|D，则丢番图方程x2-Dy4=1 至多有一组正整数解。

3 定理证明

定理如果n≡5（mod 8）为奇素数，则椭圆曲线

至多有一个正整数点。

证明：令（x，y），x，y∈Z+是椭圆曲线（3.1）的正整数点。因为n 为奇素数，所以由（3.1）式得7n|y，令y＝7nz，z∈Z+。把y=7nz 代入（3.1）式得

由于gcd（x，x2＋32）＝gcd（x，32）＝1 或2 或4 或8或16 或32，因此（3.2）式可以分解成下面4 种情形：

情形Ⅰ x=ka2，x2+32=7nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅱ x=kna2，x2+32=7kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅲ x=7ka2，x2+32=nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅳ x=7kna2，x2+32=kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

其中k=1，2，4，8，16，32。

下面分别讨论四种情形下（3.2）式的正整数点的情况。

情形Ⅰ 对x2+32=7nkb2两边同时取模7，得

情形Ⅱ x2+32=7kb2两边同时取模7，得

由情形Ⅰ的证明知情形Ⅱ不成立，即椭圆曲线（3.1）无正整数点。

情形Ⅲ x2+32=nkb2两边同时取模n，得

情形Ⅳ

（i）当k=1 时，x=7nka2，x2+32=kb2为x=7na2，x2+32=b2。解x2+32=b2得，（9，7），（6，2）。又x∈Z+，故x＝2 或x＝7。由x＝7na2，得x＝2不成立，故7na2＝7，则有na2＝1，得n＝a＝1，这与“n≡5（mod 8）为奇素数”矛盾，故x=7 不成立，因此k=1时情形Ⅳ不成立，即椭圆曲线（3.1）无正整数点。

（ii）当k=2 时，x=7kna2，x2+32=kb2为x=14na2，x2+32=2b2。将x=14na2代入x2+32=2b2，整理得

由（3.6）式知，2|b，则令b=2c，c∈Z+，代入（3.6）式，化简得

由（3.7）式知2|a，则2|gcd（a，b），这与“gcd（a，b）=1”矛盾，所以（3.7）式不成立，则k=2 时情形Ⅳ不成立，即椭圆曲线（3.1）无正整数点。

（iii）当k=4 时，x=7kna2，x2+32=kb2为x=28na2，x2+32=4b2。将x=28na2代入x2+32=4b2，整理得156n2a4+8=b2，两边同时取模n，得

（iv）当k=8 时，x=7kna2，x2+32=kb2为x=56na2，x2+32=8b2。将x=56na2代入x2+32=8b2，整理得392n2a4+4=b2。由此可知2|b，则令b=2c，c∈Z+，代入得392n2a4+4=b2

（v）当k=16 时，x=7kna2，x2+32=kb2为x=112na2，x2+32=16b2。将x=112na2代入x2+32=16b2，整理得784n2a4+2=b2。两边同时取模n，得

（vi）当k=32 时，x=7kna2，x2+32=kb2为x=224na2，x2+32=32b2。将x=224na2代入x2+32=32b2，整理得1568n2a4+1=b2，即

由引理1 知，（3.11）式至多有一个正整数点，故椭圆曲线（3.1）至多有一个正整数点。

综上在情形Ⅳ下椭圆曲线（3.1）至多有一个正整数点。

综上所述定理得证。

4 结论

椭圆曲线是一根“神线”，它在众多的数学、计算机科学和密码学等领域中有着广泛而深入的应用。椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题，目前还有很多椭圆曲线的整数点问题没有解决。椭圆曲线y2=ax（x2±b），a，b∈Z+的整数点问题是椭圆曲线的一个重要问题，此类问题仅有部分得到解决，关于n为素数时椭圆曲线y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的整数点问题至今未相关结论。本文主要利用四次Diophantine方程的已知结果，运用唯一分解定理、奇偶数的性质、同余的性质、Legendre 符号的性质等初等方法，证明了n≡5（mod 8）为奇素数时椭圆曲线y2=7nx（x2+32），至多有1 个正整数点。此结果对于n 是素数时椭圆曲线y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的求解有一定的借鉴作用，同时推进了该类椭圆曲线的研究。