统计与概率的易错分析——一道北京高考题带给我们的启示

王建民

(北京市延庆区教育科学研究中心)

统计与概率题是高中数学的核心模块,也是北京高考的重点,这一部分的知识内容看似简单,但在实际的解题过程中却有学生频频出错,究其原因主要就是对统计与概率的概念理解不深,甚至都不知道统计与概率的定义,根本没有研究概率的基本思维习惯;另外的一个问题就是阅读理解能力太差,根本看不懂题.本文以2018年北京高考数学第17题为例,希望对教师的教学有一定的启发,更好的提升课堂教学的有效性.

1.试题呈现

【例1】(2018·北京卷·17改编)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.

(Ⅲ)问考查考生对方差概念的理解,好评率越接近50%,差距就越大,如第一类电影有40%的好评率,说明有40%的人认为好,60%的人认为不好,差距比较大,自然方差就大,而第六类电影只有10%的人认为好,90%的人认为不好,意见相对就一致,方差就小,Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6,当然此题也可通过两点分布的方差公式来计算.

本题加强了对概念本质的考查,注重了对考生阅读理解能力的考查,对中学数学的教学与提升学生的数学素养起到了促进作用.

2.试题的易错点分析

此题通过对生活中的一个有关电影好评率收集的数据分析,此题立意新,关注实际生活,考查考生对统计与概率本质的理解,解答此题要求考生对概率与统计的定义、本质要有清楚的认识,要有较强的阅读理解能力,如果仅通过“刷题” “模式化”教学就很难理解此题.

2.1第一问易错点分析

第(Ⅰ)问,由于考生对概率统计本质理解不到位,在试卷中发现很多问题,主要有以下类型错误:(P(A)表示从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率)

一些考生计算错、看错(第四类看成第五类外)就不一一列举了.

2.2第二问易错点分析

考生主要有以下几十种错误:

9.学生答案P(B)=(0.25×0.8)×(0.75×0.2).错因:把互斥事件与相互独立事件混淆;

11.学生答案P(B)=0.25+0.2-0.25×0.2=0.4.错因:理解成了求集合并集了,实质上是求恰有一个好评的概率,如果再减一个都是好评的就对了;

12.学生答案P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2+0.25×0.2=0.4.错因:误认为至少有一个好评的概率;

17.学生答案P(B)=0.25×0.8=0.2或P(B)=0.75×0.2=0.15.错因:不知道怎么算相互独立事件的概率;

2.3第三问易错点分析

学生主要有以下错误:

1.不理解方差意义,瞎写一通;

2.有些学生把它们写反了,误认为好评率越大,越集中,方差就越小,不理解好评率与方差的关系,所以把顺序写反了;

3.计算错了,记不清方差公式,只记得个大概,当然就出错了.

这些错误的原因除了个别学生可能是看错了外,恐怕主要就是对概率的概念不理解,甚至都不知道概率的定义,根本没有研究概率的基本思维习惯,不知道什么是一次试验,什么是基本事件,什么是基本事件空间.另外的一个问题就是阅读理解能力太差,根本看不懂题.不理解方差的本质,只是死记公式,只知道“刷题” “模式化”训练,特别进入高三后,师生基本都把课本扔到一边,根本不看,只是一味的做题,死记题型,模式化训练.

3.教学启示

从高考的角度来讲,该板块在高考中占有重要地位,该部分知识既出现在选择、填空题中,又出现在解答题中.从实践的角度来讲,在日常生活中学生常会遇到与概率和统计相关的问题.通过一道北京高考题学生们出现的错误,给我们教学提供了一些很好的启示.

3.1教学中要明确高考考查的方向

统计与概率一题在高考中承担着数学建模、数据汇总分析、通过分析统计图进行数学运算的任务,在统计与概率题中通常从生产和生活中的实际问题出发,以解决生活中的实际问题为目的,因此,通常将生活当中的问题抽象为数学问题来进行求解,但是万变不离其宗,主要考查知识点仍然是读懂统计数据图,学会使用相应的计算公式来解题.因此,在教学中要明确高考考查的方向,对于高频的考点进行重复性的总结与训练,以提高学生的解题熟练程度和解题速度.通过大量的做题来掌握这类题目的解题套路,从而减少解题的时间,提高做题效率.

3.2教学中要加强学生阅读能力的培养

根据对近年来的高考题目的归纳总结,不难发现这类题目在试卷中所占的篇幅有逐渐增加的趋势.有时候会占试卷的较大篇幅,学生在阅读理解方面会花费较长的时间,这也是近年来统计与概率部分考查的一个发展方向,即提高题目的阅读量,来增加考生的阅读困难.因此,在统计与概率部分进行教学的过程当中,应当有意识地对学生的阅读速度进行提升,抓住关键字词,防止出现对题目理解偏差的现象.只有在平时的教学中加强学生阅读能力的培养,多下功夫找一些题目较长的练习题来强化学生完成阅读,才能够培养他们的耐心和信心.

3.3教学中要培养学生的数学应用意识

就高中的各知识板块而言,统计与概率部分是培养学生的数学应用意识的关键章节.进入高中阶段,学生经常会感觉数学学习与实际生活的联系不密切,有些学生甚至出现了数学学习无意义论.通过统计与概率部分的学习,教师应该有效培养学生的应用意识,在实际的教学中,通过将实际生活中的例子运用于课堂教学,来启发学生将理论知识运用于实际生活的意识与能力.学生一旦形成了数学应用意识,生活中遇到的很多问题就能够迎刃而解.