抓住本质连续追问,引领学生深度思考——以一堂高三试卷评讲课为例

毛 闰 谢 强

(重庆市第八中学校)

学会深度思考不仅是学生自身需要具备的素质,同时也是教师在数学教学过程中的重要一环.笔者基于一堂高三试卷评讲课,通过设置问题串,逐步引导学生学会思考,最终寻求路径帮助学生学会运用数学思维实现对数学问题的深度思考.

1.问题引出

无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关,数学学习的终极培养目标都可以描述为,会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言来表达世界.在本质上,这“三会”就是高中阶段的数学学科核心素养,是超越具体数学内容的教学目标,所以如何引领学生深度思考,具有持续的数学思考力,将数学思考与数学知识有机融合起来,是数学教育者所面临的重要问题.

教师是教的主体,教师应该引导学生自主探究发现知识,成为学生学习的组织者、合作者与帮助者;学生是学的主体,学生应该在教师的引领下,积极地探究、发现、掌握知识,构建新的认知结构.教学是教师和学生双向互动的过程,在课堂中只有教师与学生共同探究学习,才能实现高效课堂.作为一名教师,笔者从学生实际和个性化差异出发,分别对高三年级部分学生问卷调查、访谈了解,最后通过分析,认为高三学生在学习上现存的一些困惑和困难.主要包括以下情况:对于基础比较薄弱的同学,可能会出现上课想听但听不懂,课后想巩固却不知所措;对于基础一般的同学,上课听得懂但自己做题不知从何处下手,遇到难点却不知所措,或者艰难理解参考答案直至放弃;对于基础较好的同学,上课听得懂,自己做题感觉也良好但仍会出错,遇到难点知道如何思考却浮于表面.

故笔者基于一堂高三试卷评讲课,通过设置问题串,层层递进,启发学生如何思考并解决数学问题,逐步让学生拨云见日,实现深度思考.

2.案例分析

笔者所在学校的某次周末检测选用了2022年武汉市二调的12题,该题有一定难度,笔者所教授的班级虽然基础较好但本题均分仅有1.58分,而且只有1人完整选出答案,有14位同学得0分.虽然本题难度较大,但是该题是一个非常经典的立体几何综合题目,加之本题对学生的直观想象、数学抽象等核心素养有很强的渗透作用,所以笔者花了一节课的时间来评讲此题.试题如下:三棱锥A-BCD各顶点均在表面积为20π的球体表面上,AB=CB=2,∠ABC=120°,∠BCD=90°,则

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A.若CD⊥AB,则CD=2

B.若CD=2,则CD⊥AB

通过与学生的交流,发现本题对于学生存在以下几个难点:其一,不会画图;其二,图画出来后不知道D点的轨迹,即使有的同学知道D点的轨迹是一个圆,也仍然不知如何分析.基于以上两点,笔者设计了以下问题串,连续追问,一步步引领学生抓住本质,实现深度思考,最终解决问题.

2.1审题——作图识图

问题1:结合题目信息,请问如何画图呢?

分析1:可以结合题目条件,先画出草图,同时结合条件修正图形.

问题2:通过条件,结合草图分析,哪些点或者量是确定的,哪些是动态的?

分析2:结合草图发现,三角形ABC是确定的,三棱锥A-BCD的外接球O的半径是确定的.因此,可以把球O看成一个定球,三角形ABC在球O中所处的位置也是相对固定的,故唯一的动点是D点.

问题3:思考哪个条件决定D点的位置?D点的位置如何确定?

分析3:考虑到∠BCD=90°这个条件没有用上,再加上这是涉及到D点的“明示”的条件,故D点的位置由此条件确定,所以D点在过C点且垂直于BC的平面α上运动.另外一个涉及到D点的明示条件是“三棱锥A-BCD各顶点均在表面积为20π的球体表面上”,结合平面α截球得到的图形为一个圆,所以可知D点的轨迹为一个圆(除去C点),记为圆M.

设计意图:立体几何的难点之一就是学生不会作图和识图,通过这三个问题层层递进,引导学生从不知所措到渐明真相,从畏缩不前到敢于尝试.对处理动态问题依托动静结合,明确哪些量是变化的,哪些量是不变的,然后引导学生明白D点的轨迹,做到心中有图,同时在这个过程中浸润直观想象、数学抽象等数学核心素养.

2.2破题——联想整合

问题4:球心O到平面ABC与平面α的距离如何确定呢?

问题5:平面α与平面ABC有何关系?

分析5:如图1,由于BC⊥平面α,BC⊂平面ABC,故平面α⊥平面ABC.

图1

问题6:已知两个平面垂直,最为重要的是去寻求什么呢?

分析6:两个平面垂直,重要的是寻求其交线,然后利用面面垂直的性质定理解决问题.因为平面α⊥平面ABC,故两个平面的交线CF是解决问题的关键.

问题7:当空间中不好研究D点的轨迹的变化规律时,如何更清晰地认知呢?

分析7:如图2,抽象出D点的轨迹,将空间立体几何问题转化为平面几何问题,同理也可以用类似的方法认知圆E所在平面的线与交线CF的关系,如图3,抽象出圆E.

图2

图3

问题8:球心O到M的距离是多少?圆M的半径为多少?

设计意图:学生虽然知道了D点的轨迹,但是仍然不知如何分析,主要原因在于对空间图形认知还不够清晰,所以需要学生将需要研究的空间立体几何对象抽象为平面几何,把立体几何与平面几何结合起来,学生就能够非常清晰地认知到D点的变化对整个问题的影响,从而破解此题.

2.3解题——细致严谨

问题9:CD的长度如何变化?CD=2有几种情况?

问题10:如何研究AD的长度?能否求其长度的取值范围呢?

问题11:三棱锥A-BCD的体积如何研究?其体积有无最小值呢?

设计意图:彻底理清D点的轨迹变化后,就需要细致严谨地解决题中的数学问题,结合题意从选项出发将本题给学生解释清楚.

2.4深思——深挖细究

问题12:除了用上述办法外,还有没有其他解法呢?

问题13:题中条件能否精简,或加强一下?这样变化后对D点的运动轨迹有何影响?你还可以提出哪些问题?如何解答?

设计意图:本题除了从几何角度认知外,不难发现还可以从代数角度来认知,所以可以建立空间直角坐标系来解决,引导学生学会思考一题是否有多解.同时提出一些更有难度的问题,也引领学生自己探索提出问题,培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,从而进一步引领学生深度思考.只不过问题13相对刁钻,需要花费时间较多,所以布置成作业让学生课后探究,然后将比较好的问题及解决方案在班级展示.

2.5迁移——变式训练

设计意图:结合试题出现的问题和思考角度,笔者选择一些经典的高考题作为课堂变式训练,方便学生举一反三,将所学进一步巩固提升.

3.反思总结

3.1联系条件,紧扣问题

结合数学家波利亚的《怎样解题》,启发笔者讲解过程中注意引导学生“四问”:问题是什么?条件是什么?怎么样把问题与条件联系起来?还有哪些条件没有用?

这个做法虽然看似简单,但是对于思考数学问题,我们不难看出一些通性通法,笔者认为学生遇到数学问题不知如何思考,或者知道一点点但途中会“卡壳”,出现这些问题最根本的原因在于学生没有掌握思考数学问题的法门,所以教师在课堂中应该关注如何引领学生学会思考数学问题.首先,要让学生时刻牢记要解决什么样的数学问题,题中告诉了哪些条件?联系问题对条件进行翻译,同时思考解决这些问题等价转化为思考什么问题?同时还要提醒学生如果“卡壳”时,要习惯性地再想想是否还有条件没有用上?如果条件都用完了,再引导学生思考是否还有条件转化得不够充分.

3.2连续追问,抓住本质

对于思考数学问题,在条件翻译清楚之后,如果不搞清楚是用什么样的理论依据来解决这个问题的,那么我们解决这个问题的思路就是模糊的.即使侥幸把问题解决对了,但对于培养自己的数学思考力的作用非常微小,所以就容易出现一种情况,学生上课感觉听懂了但是自己做题时还是要出错,考试时感觉非常好但实际成绩略显尴尬,而且学生自身没有意识到问题根源所在,将错题简单的归因于粗心.实际上错误的原因不只是粗心这么简单,而是学生在做题时根本没有考虑解决这个数学问题的理论依据或数学原理是什么.

因此,对于教师而言,如何引导学生养成深度思考的习惯,就需要要求学生“知其然,知其所以然,何以知其所以然”,故在课堂中,教师应该充分调动学生的主观能动性,激发起学生的好奇心以及学生对真理执着深入探寻的品质,这就需要教师引导学生思考数学问题时不能想当然地认为怎么处理就随意为之,而是需要思考解决这个数学问题应该立足于什么样的理论依据?这个理论依据蕴含哪些内容?用这个理论依据需要满足什么条件?根据题中这些条件用这个理论依据可不可行?

3.3破茧成蝶,深度思考

通过以上分析,我们引导学生从题目的条件和问题设置出发,步步为营,深度挖掘题目背后所蕴含的数学原理和数学思想,从而进一步对某一类型的题目进行挖掘,达到举一反三的学习效果.同时我们也要积极引导学生进行深度思考,进一步将题目吃透,将数学问题和数学原理、数学思想融会贯通,进行知识迁移,获得具有普遍意义上的一类数学问题的解答路径.

总体来说,引领学生进行深度思考,需要教师引领学生面临数学问题时有这样的思维:

一是敢于思考和发问,题为什么要这样设问,能不能问其他问题;为什么要这样解答,还有没有其他解法;

二是进一步发散思维,进行知识与方法的迁移,这种解法能不能解决多种问题,或者对于这一类问题是不是均有效;

三是进一步深度思考,并学会逆向思考,为什么要告诉这些条件,条件能否加强或者进一步精简.能否将问题或者条件放开,将问题或结论做一般化推广?思考其逆命题——问题和条件互换是否依然成立?