关注“构造思想”在解题中的活用

张文景

江苏省常熟市浒浦高级中学

数学中的“构造思想”，是指在观察、分析的基础上，灵活构造适当的数学模型，进而找出解决问题的方法，其具有直观性、灵活性、构造性、可行性和思维的多样性等特点.在解题教学中，有意识地加强学生对“构造思想”的理解与运用，不仅有利于提高学生的数学学习能力，而且有利于拓展学生的数学思维能力[1].

1 构造等差数列，巧解题

评注：本题求解关键在于三点.一是对数列递推式“取倒数”变形；二是根据等差数列的定义，灵活构造等差数列；三是灵活运用等差数列的通项公式，巧解题.

2 构造等比数列，巧解题

例2已知数列{an}中，a1=1,an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，求an.

于是，数列{an+3}是首项为4，且公比为2的等比数列.

所以，可得an+3=4·2n-1=2n+1.

故所求an=2n+1-3.

评注：上述求解的关键是先利用“同加”变形，构造等比数列；再灵活运用等比数列的通项公式，巧解题.

3 构造函数，巧解题

处理函数与不等式的交汇问题时，若题设中给出了与导数有关的不等式，则往往需要考虑导数的运算法则，先灵活构造新函数，再根据新函数的单调性加以巧解.

例3已知f(x)为定义在(-∞,+∞)上的可导函数，且f(x)

A.f(2)>e2f(0),f(100)

B.f(2)e100f(0)

C.f(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0)

D.f(2)

从而，可得f(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0).

故答案选C.

评注：从目标问题出发，通过观察各选项所给不等式的外在结构特点，很容易想到构造函数，进而灵活运用函数的单调性解决问题.

4 构造向量，巧解题

评注：上述解法中需关注两点：一是如何根据函数表达式，灵活构造向量；二是利用向量不等式求解最值问题时，必须具体考查不等式取等号的条件是什么.

5 构造直角三角形，巧解题

处理有关解三角形的问题时，我们往往关心的是正、余弦定理在解题中的灵活运用.实际上，有不少这样的解三角形问题，往往可通过构造直角三角形巧妙获解[2].

图1

评注：①结合AB=AC或∠ADC=45°，本题应作BC边上的高；②本题如果不作辅助线，则应综合运用正、余弦定理解题，整个过程相对较繁！

6 构造直线和圆，巧解题

一般地，设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，则直线与圆有公共点(即相切或相交)⟺d≤r.灵活运用这一结论，可顺利解决许多貌似与直线和圆无关的数学问题，往往巧妙之极，真的令人拍案叫绝！

例6(2014·浙江卷)已知实数a,b,c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是______．

评注：本题结合直线方程ax+by+c=0和圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2的外在结构特征，很容易想到利用已知方程的几何意义，去构造直线和圆，巧解题.

7 构造特殊的几何体，巧解题

由于长方体和正方体是特殊的立体图形，它们均具有许多特殊的性质，所以分析、解决有关三棱锥(即四面体)的问题时，往往可通过构造长方体或正方体加以巧妙求解.

图2

不难发现，关注“构造思想”在解题中的灵活运用，有利于等价转化目标问题，有利于变换角度看透问题的本质，有利于培养学生在数学抽象方面的核心素养[3]！