月历表中的数学

小朋友，新的一年马上就要开始了，你家中购买新挂历了吗？挂历中有一年12个月的月历表（如图1 所示，是2024 年2 月的月历表），月历表不仅可以方便人们查询日期，其中还隐藏着许多数学学问呢，下面我们一起来看一看吧！

例题1 仔细观察图1中的月历表，回答下面的问题。

（1）月历表中横向、纵向或斜向相邻的两个数之间有什么关系？

（2）月历表中横向、纵向或斜向相邻的三个数之间有什么关系？

（1）横向相邻的两个数，后者比前者多1（如8 和9，9 比8 多1）；纵向相邻的两个数，后者比前者多7（如2 和9，9 比2 多7）；左上与右下斜向相邻的两个数，后者比前者多8（如1 和9，9 比1 多8）；右上与左下斜向相邻的两个数，后者比前者多6（如3和9，9比3多6）。

（2）横向相邻的三个数，后者比相邻的前者多1（如5、6、7，6 比5多1，7 比6 多1）；纵向相邻的三个数，后者比相邻的前者多7（如12、19、26，19 比12 多7，26 比19 多7）；左上、右下斜向相邻的三个数，右下的数比相邻的上一个左上的数多8（如13、21、29，21 比13 多8，29 比21 多8）；右上与左下斜向相邻的三个数，左下的数比相邻的上一个右上的数多6（如3、9、15，9比3 多6，15 比9多6）。

无论位置是横向、纵向，还是斜向相邻的三个数，这三个数的和都是中间那个数的3 倍（如5、6、7，5＋6＋7＝18，18 是6 的3 倍）；中间的那个数是其余两个数之和的一半（如13、21、29，13＋29＝42，21 是42 的一半）。

例题2 用一个“田”字形在图1的月历表中圈出四个数，斜向排列的两组数之间有什么关系？

假设圈出的四个数是5、6、12、13（如图2），通过计算可知，5＋13＝6＋12，即左上角与右下角的两数之和等于右上角与左下角的两数之和。是不是其他的情况也满足这个规律呢？

我们可以假设“田”字形中左上角的数是a，那么右上角的数是a＋1，左下角的数是a＋7，右下角的数是a＋8（如图3）。通过计算，你会发现左上角与右下角上两个数的和是2a＋8，右上角与左下角上两个数的和也是2a＋8，所以无论怎么圈，用“田”字形圈出的四个数，左上角与右下角的两数之和等于右上角与左下角的两数之和。

例题3 用一个“十”字形在图1的月历表中圈出五个数。

（1）这五个数的和与正中间的那个数之间有什么关系？

（2）如果圈出的五个数的和是85，你知道圈出的是哪五个数吗？

（3）如果要使圈出的五个数的和等于66，等于90，能办到吗？

（1）假设圈出的五个数是8、14、15、16、22（如图4），这五个数的和是8＋14＋15＋16＋22＝75，因为75÷15＝5，所以这五个数的和是正中间的那个数的5倍。是不是其他的情况也满足这个规律呢？

我们可以假设圈出的正中间的那个数是a，如图5 所示，填出其他位置上的数。通过计算可知，这五个数的和是5a，5a 是a 的5 倍，所以用一个“十”字形圈出的五个数的和是正中间的那个数的5倍。

（2）已知圈出的五个数的和是85，因为用“十”字形圈出的五个数的和是正中间那个数的5 倍，所以正中间的那个数是85÷5＝17。再根据月历表中相邻的两个数之间的关系，填出其他位置上的数，答案如图6所示。

（3）因为圈出的五个数的和是正中间的那个数的5倍，所以圈出的五个数的和一定是5的倍数。

因为66÷5＝13……1，66 不是5 的倍数，所以圈出的五个数的和不可能等于66。

因为90÷5＝18，所以正中间的那个数是18。观察图1 的月历表，18 这个数在最右边的一列，不能作为正中间的数，所以圈出的五个数的和不可能等于90。

例题4 用3×3的方格在图1的月历表中圈出九个数。

（1）这九个数的和与方格正中间的那个数之间有什么关系？

（2）如果圈出的九个数的和是126。求出方格里最大和最小的数。

（3）如果要使圈出的九个数的和是171，能办到吗？

（1）假设圈出的九个数是9、10、11、16、17、18、23、24、25（如图7），这九个数的和是9＋10＋11＋16＋17＋18＋23＋24＋25＝153，因为153÷17＝9，所以这九个数的和是正中间的那个数的9 倍。是不是其他的情况也满足这个规律呢？

我们可以假设圈出的正中间的那个数是a，如图8 所示，填出其他位置上的数。通过计算可知，这九个数的和是9a，9a 是a 的9 倍，所以用3×3 的方格在图1 的月历表中圈出的九个数的和是正中间的那个数的9倍。

（2）已知这九个数的和是126，因为用3×3的方格圈出的九个数的和是正中间那个数的9 倍，所以正中间的那个数是126÷9＝14。再根据月历表中斜向相邻的三个数之间的关系可知，最大的数比正中间的那个数大8，最大的数是14＋8＝22；最小的数比正中间的那个数小8，最小的数是14－8＝6。

（3）因为圈出的九个数的和是正中间的那个数的9 倍，所以圈出的九个数的和一定是9的倍数。

因为171÷9＝19，171 是9 的倍数，所以正中间的那个数是19。观察图1 中的月历表，19 在月历表中最左边的一列，不能作为正中间的数，所以圈出的九个数的和不可能等于171。

小朋友，月历表中还有其他的规律，你可以试着找一找。掌握月历表中的规律，可以轻松地解决问题。