由一道2022年高考压轴题引发的研究

摘   要：关于ex、lnx、x的组合函数问题，按常规方法解答难度较大.如果能抓住组合函数的结构特征，合理构造新函数，可以将问题转化为常见的超越函数问题.2022年高考甲卷第22题至少可以用两种不同的构造法来解答.

关键词：构造；导数；研究

中图分类号：G632         文献标识码：A         文章编号：1008-0333（2023）07-0056-03

1 题目再现

题目   （2022年全国高考甲卷第22题）已知函数fx=exx-lnx+x-a．

（1）若fx≥0，求a的取值范围；

（2）证明：若fx有两个零点x1，x2，则x1x2<1．

2 总体把握

本题题设简洁，问题常规.第一问模式近十年来经常考查，本质是求函数的最小值，进而得出参数范围.可以直接求最小值，也可以分离参数构造函数求最值，还可以指数与对数相互转化构造函数求最值.第二问属于典型的极值点偏移问题，有很多办法可以处理它，由于问题有高数背景，并不容易解答.紧紧扣住已知函数的结构，指数与对数相互转化构造函数相对容易一些.

3 解法探究

3.1 常规解法

分析1   对于（1），利用教材知识：用导数研究函数的单调性、极值、最值，按部就班可以解答，在求導过程中，注意因式分解，将超越式转换为整式或分式，基本功扎实的学生还是可以完成的.

对于（2），直接作答，思路不畅，方向不明，我们利用分析法，将问题等价转化为exx-xe1x-2lnx-12x-1x>0，这个过程还是比较漫长的，对学生的能力要求较高.最后结合导数的功能可以完成证明.

构造法解题显得很便捷，使用也非常广泛，在三角、数列、函数、导数、解析几何、立体几何、解不等式中均有应用.在平常学习中应注意积累，在结构上下功夫，提高应用意识，主动探究构造路径，一些问题构造方法较多，如本题.通过本题的对比解答，不难看出构造法的妙处，通过长期主动训练，一定能提高我们的创新水准.

参考文献：

［1］ 胡贵平.指对同构法处理导数题［J］.数理化解题研究，2021（01）：30-32.

［2］ 符强如.着眼基础 回归教材——2019年全国Ⅱ卷第22题解析与思考［J］.理科考试研究，2020，27（03）：15-17.

［责任编辑：李   璟］

收稿日期：2022-12-05

作者简介：丁成荣（1983.7-），男，江苏省盐城人，本科，中学一级教师，从事高中数学课堂教学研究.