基于对偶模型的企业最优扩张策略研究

桂有利　陈丽芳　任越

摘要：企业发展到一定阶段，需要对外扩张，但近年研究企业扩张的模型很少。文章以企业最小破产概率为目标，研究基于对偶模型下企业最优扩张策略问题。得到了最优策略的表达式及最小破产概率所满足的方程。通过数值分析，得到了符合实际的最优策略、最小破产概率和初始盈余、投入产出参数、收入次数初始强度的关系。

关键词：对偶模型；扩张策略；破产概率

随着经济的不断发展，企业为其需要进行企业扩张已然成为一种普遍现象。在经营中，若企业采取了不合理的发展速度，将影响企业的正常经营活动，降低企业的盈利能力，甚至导致企业破产，从而损害投资者甚至社会公众的利益，以破产概率最小为目标，研究企业最优扩张策略，对企业进一步发展显得尤为重要。

在过去人们为获取企业最小的破产概率进行了大量的研究，RamsdenL等研究了离散时间对偶风险模型的破产概率；Frostig等研究了具有两类收入来源的对偶风险模型的破产概率；邹娓等人研究了广义复合Poisson对偶风险模型的相关理论，华婷等人研究了最大化调节系数的最优比例再保险和破产概率，陈勋杰等人从最小破产概率视角研究企业最佳现金持有模型等，在最小破产概率方面，积累了大量的理论知识。

在企业经营方面，建立对偶模型，也有不少研究，傅立群等研究了带扰动对偶模型中Erlang（2）分红决策时间下的最优分红，杨莉等研究了阈红利策略下带干扰对偶风险模型的Gerber-Shin 罚金函数，韩咪等研究了带扩散扰动的二维对偶模型的最优分红等，对偶风险模型作为企业的经营模型，有很好的理论依据和实际含义。

众多文献中，以最小破产概率为目标，建立对偶风险模型，研究企业经营活动的文献很少，但企业风险管理极其重要，杨洁等探析了企业应收账款管理的有效途径，朱坤福等分析了企业投融资管理存在的问题，田彦等分析了企业投资风险管理的规范措施，徐智涛等分析了扩张型企业财务风险防范策略等，可见企业经营活动研究的重要性，因此，本文从企业扩张策略角度，以企业最小破产概率视角，对企业经营建立对偶模型，并进行研究。得到了最优策略的表达式及最小破产概率所满足的方程。通过数值分析，得到了符合实际的最优策略、最小破产概率和初始盈余、投入产出参数、收入次数初始强度的关系。

一、模型

将所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间（Ω，F，P）上和一个满足通常条件的域流{Ft，t≥0}，即Ft右连续且P完备。

首先，引用对偶风险模型：

其中，X0＝x为初始基本金，c>0为企业费用支出，{N（t）}是强度为λ的泊松过程，{Yi}与{N（t）}独立同分布，有共同分布F（y），将{Yi}的一阶矩记作μ，二阶矩记作σ2，∑ Yi为复合泊松过程，表示到时刻t时企业的收入总和。Xt便表示企业在t时刻的盈余过程，所以{Xt}是一个连续时间的随机过程。企业费用支出c通过期望原理计算，得到：

其中，θ表示企业的安全负载，且θ＞0。

建立微分方程：

其中X0＝x。

为简化结果，将微分方程进行扩散逼近：

其中，X0＝x，Bt为标准布朗运动。

为满足发展的需要，企业必须进行健康的扩张。当企业进行扩张时，最直接体现在管理费用的增加上，此时的管理费用设为ｃ＾（t）。当没有新产品研发时，Yi的分布不受扩张的影响。收入次数N（t）分布的强度λ＾（t）随管理费用变化而变化。得到新的微分方程：

假設企业为了扩张，将t时刻盈余Xt的比例π作为扩张时期的管理费用，此比例即扩张策略，将带来t时刻收入次数强度λ＾（t）的变动，根据实际可行性，假设强度λ＾（t）与扩张策略π满足对数关系，即

其中，λ＾（0）＝λ、πXt≥1。称β为投入产出参数。

此时盈余满足微分方程：

企业要保证在破产概率最小的情况下进行扩张，因此我们的目标是使企业破产概率最小，即：

二、Hamilton-Jacobi-Bellman方程

定理1：假设Ψ（x）在（0，+∞）上二次连续可微，则Ψ（x）满足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：

根据定理2，当给定参数λ，μ，β，g（x）＝β（1+ σ2 ）为常数，即给定各参数，根据边界条件，算出最小破产概率。根据定理2，最优扩张策略，即盈余用于管理费用的比例跟成反比。

三、数值分析

例题1：假设μ＝1，σ＝1，λ＝0.5；1.0；1.5，x=5，β∈[3，7]计算最优扩张策略π*，及最小破产概率Ψ（x），并画出相应图表，如图1及图2。

由图1可知，最优扩张策略跟π*跟强度λ＾（t）函数（1.6）里面的投入产出β及初始强度λ有关，最优扩张策略π*随投入产出参数β增大而增大，随初始强度λ的增大而增大。扩张费用增加能带来较多收入次数强度的话，这时可以适当增加用于扩张的管理费用比例，反之则要控制管理费用投入。初始强度较大时也可以适当增加扩张的管理费用比例。

由图2可知，最小破产概率随强度λ＾（t）函数（1.6）里面的投入产出参数β的增大而减少，且当有较大的初始强度λ时，也有较小的破产概率，符合实际。

例题2：假设μ＝1，σ＝1，λ＝0.5，x=5；6；7，β∈[3，7]，计算最优扩张策略π*，及最小破产概率Ψ（5），并画出相应图表，图3及图4如下。

由图3可知，最优扩张策略与初始盈余有关，随初始盈余的增大而减少，当初始盈余较大时，只能用相对小的盈余比例用于扩张的管理费用，这符合风险控制原则。由图4可知，最小破产概率随初始盈余的增大而降低，符合实际。

四、结论及对策

理论结论，本文以企业最小破产概率为目标，研究基于对偶模型下企业最优扩张策略问题。得到了最优策略的表达式及最小破产概率所满足的方程。通过数值分析，得到了符合实际的最优策略、最小破产概率和初始盈余、投入产出参数、收入次数初始强度的关系。

实践结论，企业发展到一定阶段，需要对外扩张。扩张策略需要考虑风险，为了公众利益，最常见的是考虑最小破产概率。本文的最优扩张策略正是在最小破产概率的目标下得到的。经研究发现，最优扩张策略受初始盈余、投入产出参数、初始强度等因素的影响，所以企业在实施扩张时，必须综合考虑各因素，尤其是资金盈余、产出初始强度及投入增加能带来多少产出强度的增加等因素。

基于以上结论，当企业经营到某个阶段，需要扩张时，本文提出相应对策。

（一）根据初始盈余，制定合理扩张速度

根据本文研究结论，最优扩张速度受初始盈余影响，当初始盈余较高时，抵御风险的能力也较强，这时可以制定大一点的扩张速度，如果初始盈余不高，为保险起见，以保守速度进行扩张。

（二）根据企业所处行业，制定合理扩张速度

根据本文研究结论，最优扩张速度受收入次数初始强度影响，收入次数初始强度代表行业情况，当行业景气，收入次数初始强度较高，此时适合采取高速度扩张，如果行业不景气，收入次数初始强度较低，应采取保守扩张速度。

（三）根据企业销售团队的能力制定合理扩张策略

根据本文研究结论，最优扩张速度受投入产出参数影响，投入产出参数反映企业销售团队的能力，当销售团队能力较强，投入产出参数则较大，此时应采取高速度扩张，反之，销售团队能力不强，投入产出参数较小，应采取保守扩张速度。

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＊基金项目：大学生创新训练湖南省项目（S202111528045）。

（作者单位：桂有利、陈丽芳，湖南工学院；任越，深圳房讯通信息技术有限公司）