平面几何教学应重视基本图形的“链+”

印睿妍 印冬建

摘要：平面几何教学应该重视以基本图形为中心的延伸变化，即基本图形的“链＋”。基本图形是与几何核心概念、重要结论紧密关联的，基于文字条件的，蕴含丰富数形结论的，在分析和解决复杂几何问题的过程中得到广泛应用的几何图形。其具有综合性、生长性、工具性等特征。基本图形的教学要通过不断“链＋”文符图条件、重要结论、应用体验，来丰富内涵、形成内核、促进关联，使其逐步成为稳定、好用的“简化了的数学结构”。

关键词：平面几何教学；基本图形；“链＋”

*本文系江苏省中小学教学研究第十四期立项课题“初中数学‘链＋’课堂的实践研究”（编号：2021JY1L398）的阶段性研究成果。平面几何是初中数学的重要内容。众所周知，平面几何比较难学，尤其表现为很多题目难解，因而，常常直接导致学生数学成绩的分化。张景中院士认为，平面几何难在：逻辑结构是串联式的，而不是放射型的，没有一个突出的中心，没有一个俯瞰全局的制高点，导致推理过程较长（步骤较多），方向不太明确，很容易走错路；以三角形全等和相似为主要解题工具，需要通过想象构造图形（主要表现为添加辅助线），缺少一套通用而有力的解题方法，表现为特别灵活的“一题一法”。［1］因此，平面几何教学在教材要求的基础知识之上，还要注意适当拓展推理结论，帮助学生多掌握一些推理的“中途点”，从而缩短推理过程，明晰推理方向，减少走错路的情况。同时，平面几何的研究对象是平面图形，其解题的灵活性主要体现在图形中元素关系的复杂性上，其基础知识与拓展结论则蕴含在一些基本图形及其延伸变化中。因此，笔者认为，平面几何教学应该重视以基本图形为中心的延伸变化，即基本图形的“链＋”——“链＋”是一种教学理念，其基本想法是，基于内容关联进行延伸与变化，从而构建结构化、序列性的教学资源（学习材料）链［2］。

一、 基本图形的概念与特征

（一） 何为基本图形？

一线教师在教学过程中经常提到基本图形，但对何为基本图形，目前并没有一个明确的定义。根据教学经验，并结合一线教师的普遍看法，我们把与几何核心概念、重要结论紧密关联的，基于文字条件的，蕴含丰富数形结论的，在分析和解决复杂几何问题的过程中得到广泛应用的几何图形称为基本图形。

例如图1，线段AD、BC交于点O，连接AB、CD。因为该图形与数字“8”非常相像，我们将其命名为“8字形”。

“8字形”是由有一对内角互为对顶角的两个三角形组成的，其中存在常用结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D（下称“结论1”）。推证结论1，既可以用三角形的内角和定理，也可以用三角形的外角性质。它们都是学生学习“三角形的有关角”时获得的三角形的基础知识。在很多数学问题的分析与解答过程中，学生可以从复杂图形中发现“8字形”并利用結论1获得思路和解法。

随着学生对三角形认识的不断深入，“8字形”的内涵会得到进一步丰富：“链＋”条件“CD∥AB，O为AD的中点”，形成“8字形全等三角形”（如图2）；“链＋”条件“CD∥AB”，形成“8字形相似三角形”（如图3）。这些“8字形”中，不仅存在结论1，还存在三角形全等（相似）、角相等、边相等（或成比例）等众多结论。这些结论对学生解决综合问题很有价值——事实上，图2、图3及其结论的归纳总结隐藏在不少与三角形全等（或相似）有关的数学问题中。

（二） 基本图形有什么特征？

结合上面的概念解释以及示例分析，不难看出，基本图形一般具有综合性、生长性、工具性等特征。

1 综合性

基本图形的核心是图形，但它还包含用文字、符号表述的条件和结论，所以，基本图形实际上是由图形、文字和符号组成的“综合体”。因此，基本图形在内涵上具有综合性。同时，对基本图形的认识也应是综合的。在实际教学中，学生不仅要认识图形，还要认识“链＋”的文字、符号条件以及基于文符图等条件推证出的可用文符图表述的结论。这些结论需要学生综合运用已有数学“四基”和“四能”进行探索，方可获得。在此过程中，学生不仅要结合文字、符号去理解图形，还要结合图形去剖析文字、符号，最终通过文字、符号有理有据地呈现结论及其推导过程。

2 生长性

基本图形一定是从包含了基础条件的几何图形逐步演绎而来的。在简单的几何图形中，基于给定的条件和结论已经形成包含“四基”“四能”乃至数学情感的教学资源链。通过简单图形的“链＋”，将原有资源链不断延伸和变化，逐步生长丰富形成基本图形。虽然基本图形一“成型”，我们就给出了其名称，但在后续的几何学习中，基本图形依然是不断生长完善的。在几何学习的不同时间节点上，图形可能会产生变式，条件或结论可能会增加或减少。基本图形的生长完善，可以由一般走向特殊，比如上面提到的“8字形”；也可以由特殊走向一般，比如由“母子等腰直角三角形”（如图4）得到“母子直角三角形”（如图5）。但无论是哪一种走势，学生认识基本图形都是一个渐进“链＋”的过程。不同时间节点，图形或条件的增减所带来的结论变化，充分体现了基本图形的生长性。

3 工具性

从基本图形的综合性及其在很多数学问题解答中所发挥的作用中不难发现，基本图形实际上就是一个数学工具，是学生分析问题和解决问题的工具。面对复杂图形时，如果学生能迅速从中找到基本图形，并基于文字、图形联想得到相关结论，那么很多问题的求解思路便会在瞬间闪现。这也是很多一线教师在教学中反复强调基本图形的原因所在。事实上，在很多综合问题的解答中，掌握了基本图形并能将其迁移应用，将会大大缩短探索获取解题思路的进程，快速高效地解决问题。

二、 基本图形的“链＋”教学

在基本图形的教学中，教师要通过不断“链＋”使其逐步成为稳定、好用的“简化了的数学结构”［3］，从而促进学生对几何知识的理解，提升学生应用几何知识解决问题的能力。

（一） “链＋”文符图条件，丰富图形内涵

学生认识基本图形，一定是从最简单的图形开始的。比如，在七年级上学期，学生在学习数轴时认识了点，然后在《几何图形初步》一章（人教版教材）中认识了线（直线、射线、线段）和角（两条线）；到了八年级，学生开始认识三角形（三条线）。随着年级的升高，学生认识的图形会越来越复杂，附加到图形上的条件会越来越多，基本图形就逐步成型了。显然，与其他数学知识一样，基本图形的教学也应遵循“由简单到复杂，由低级到高级”的原则：从简单的图形开始，通过在原图上“链＋”图形、文字或符号，让条件和结论不断丰富，最终形成较为稳定的数学结构。

例如，上面提到的“8字形”及其关联的条件和结论，贯穿初中几何教学的始终。不管是八年级会遇到的“8字形全等三角形”，还是九年级会遇到的“8字形相似三角形”，穩定的图形结构一直存在。学生认识“8字形”可从图1开始，通过“链＋”条件“CD∥AB，O为AD的中点”得到“8字形全等三角形”，通过“链＋”条件“CD∥AB”得到“8字形相似三角形”。

再如，基于图6（AB是线段CD的垂直平分线，E为垂足），逐步“链＋”直角三角形、圆等图形及相关的文本条件，形成图7，即我们常说的“垂径定理”基本图形。

（二） “链＋”重要结论，形成应用内核

由于基本图形的生长是贯穿全学段的，因而，认识基本图形，应根据教学的不同时间节点，紧扣所学的基础知识，推证出基于图形及配套条件的数形结论，形成应用内核。对此，不仅要重视结论本身的呈现，更应重视结论推证过程的呈现，使学生“知其然且知其所以然”。或者说，应在巩固和应用已学知识的同时，彻底明晰与基本图形相关的重要结论的“来龙”和“去脉”。如果说推证过程的呈现厘清了结论的“来龙”，那么，推理范式的呈现则给出了探寻基本图形“去脉”的抓手。有了推理范式，基本图形就有了内核，学生的探索应用就有了显性工具，他们便会在反复应用中发现基本图形的发展与应用方向。

例如上面提到的“母子等腰直角三角形”（图4），基于已知条件AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中存在着CD＝AD＝BD，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°等结论。这些结论及其推导过程就应成为“母子等腰直角三角形”教学的重点。那么，如何推证CD＝AD＝BD？八年级上学期学习等腰三角形的性质后，可以这样推证：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝BC，所以∠A＝∠B＝12（180°－∠ACB）＝45°，∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝45°，所以CD＝AD＝BD。八年级下学期学习矩形的性质后，则可以利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”再次推证：因为AC＝BC，CD⊥AB于D，所以AD＝BD；又因为∠ACB＝90°，所以AD＝BD＝CD。

可见，面对同样的基本图形，在教学的不同时间节点，数形结论的多少与推证的过程是存在着差异的。在教学中，教师应充分尊重学生的认知现状和发展规律，准确把握教学契机，合理设计与实施基本图形的教学，让与图形相关的重要结论在最好的时机以最佳的姿态出现。

（三） “链＋”应用体验，促进图形关联

基本图形的一个重要特征是工具性，这一特征的显性表征是缩短学生分析和解决问题的思维过程，让解题思路迅速贯通，提高解题的速度和成效。所以，基本图形的教学应在其应用上多花工夫。要努力引导学生发现数学问题中的基本图形，通过图中蕴藏的重要结论的提取与应用，高效解决问题。对图形应用过程的体验，一方面可以巩固基本图形及其相关的数学“四基”“四能”，另一方面还能有效推动数学建模素养的发展。在教学基本图形的应用时，教师不仅要关注基本图形本身，还要重视基本图形的关联，通过基本图形的“链＋”，形成“图串”，发挥基本图形的集聚效应。通过明确多个基本图形应用的“衔接点”，让基本图形之间、基本图形与其他模型之间形成关联，并应用到数学问题或现实问题的解答中。

例如下面这道矩形综合题：

如图8，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是线段BC的中点。点E是线段AD上的动点（点E不与点A、D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG、GM。当AG＋GM取最小值时，求线段DE的长。

教学中，教师投影出示题目后，让学生先读题思考，约5分钟后全班交流，分享思路的探索过程——

师图中有哪些基本图形？

生（展示下页图9）“一线三等角”，（展示下页图10）“母子相似直角三角形”，（展示下页图11）“两定夹一动”最短路径。

师找到解题思路了吗？

生找到了。

师你是怎样找到的呢？

生根据“一线三等角”，可得关于未知的线段DE、AF的比例式AFDE＝AEDC。设DE＝x，则AE＝6－x，如果能求出AF的长，便可得到关于x的方程了。

师怎么求AF呢？

生线段AF的长关联着题中的条件“BG⊥CF于G”和“AG＋GM取最小值”，所以，我们先要确定点G的位置。

师如何确定点G的位置呢？

生因为∠BGC＝90°，所以GM＝12BC＝3。

生（展示图12）根据“两定夹一动”最短路径，可得点G在AM上。

师由此，还能得到哪些有关线段的长？

生AM＝5，AG＝2。

师接下来怎么办？

生（同步作图，得到图13）由“点M是线段BC的中点”联想到构造三角形的中位线，于是，过点M作MN∥AB，交CF于点N。

师很棒！你又有什么发现？

生新增了“8字形相似三角形”（△GMN和△GAF）、“A字形相似三角形”（△CMN和△CBF）等基本图形。

师在这些基本图形中，有哪些有用的结论？

生MN＝12BF，AFMN＝AGGM。

师能求出AF吗？

生能。因为BF＝4－AF，所以MN＝12BF＝12（4－AF），所以AF12（4－AF）＝23，解得AF＝1。

从上述教学过程不难看出，基本图形是学生贯通解题思路的重要工具。学生通过基于条件的图形剖析，发现题目中存在的“一线三等角”、“两定夹一动”最短路径、“8字形相似三角形”、“A字形相似三角形”等基本图形，并通过对这些图形所含结论的彼此关联、递进探求，不断续接问题解决的思维断点，逐步贯通解题思路。需要注意的是，并非题目中隐藏的所有基本图形都能在思路分析中发挥作用。比如，本题中抽象出的“母子相似直角三角形”，虽然在条件“∠CBF＝90°，BG⊥CF于G”上存在很多结论，学生在交流中也有所提及，但是由于与另外几个基本图形关联不大，因而在思路贯通过程中并没有能发挥出作用。因此，在解题时应用基本图形是需要进行取舍的。

参考文献：

［1］ 张景中，曹培生.从数学教育到教育数学（典藏版）［M］.北京：中国少年儿童出版社，2011：1112.

［2］ 印冬建．“链＋”：资源渐进生长，学生不断发展——以人教版“1.2.1有理数”的设计与教学为例［J］．中学数学杂志，2022（4）：4245．

［3］ 印冬建．认识基本图形：为数学建模素养发展奠基［J］．中国数学教育，2021（19）：2731．