灵活运用配方法，提升解答二次代数式问题的效率

丁仕梅

配方法是指运用完全平方公式a2 ± 2ab + b 2 =（a ± b） 2 ， 将代数式配成平方式.配方法在解答高中数学问题中 应用广泛，常用于求二次函数的解析式、求解二次函 数最值问题、求解二次三角函数最值问题、求解圆的 方程问题、证明不等式等.在配方时，往往要将代数式 进行合理的恒等变形，常见的有：

那么，如何运用配方法解题呢？下面一起来探讨.

一、求二次函数的解析式

由 f （g（x）） 求二次函数 f （x） 的解析式，可以先将 f （g（x）） 的表达式配凑成 g（x） 的倍数或平方式；然后 令 t = g（x） ，通过换元，求得函数 f （x） 的解析式.

例1

解：

解答本题的关键是运用配方法，将 x 2 + 1 x 2 配凑成 平方式 ? è ? ? x + 1 x 2 ，再将其替换成x，即可求得函数的解析式。在求函数的解析式时，需关注函数的定义域。

二、求解二次函数的最值问题

求解二次函数的最值，往往要通过配方，将函数 式 f （x） = ax 2 + bx + c 配凑成 f （x）= a（x + b） 2 + h 的形式， 这样就能快速确定函数的对称轴、顶点的坐标以及函 数的最大（小）值.

例2

解：

首先将二次函数式配方，即可快速确定函数图象 的开口方向、对称轴、最值点；然后讨论 [0，m] 与对称 轴x=1的位置关系，分 0 < m ≤ 1和 m > 1两种情况讨论 函数在 [0，m] 上的单调性，进而根据函数的单调性求 得函数的最大、最小值.

例3

解：

给二次函数式配方，就能快速确定函数的对称轴 x =a ，此时函数的对称轴随着参数的变化而变化，需讨论当 a ≤0和0

三、求解二次三角函数的最值问题

对于二次三角函数最值问题，首先需利用同角的三角函数平方关系 sin2x + cos2x =1、二倍角公式 cos 2x =1-2 sin2x =2 cos2x -1、诱导公式、两角和差公式等进行恒等变换，使函数式中的函数名称、角统一；然后将函数式配方，根据函数式中三角函数式的取值范围以及二次函数的单调性、有界性求最值.

例4

解：

运用配方法求解二次三角函數的最值，要先将函数式化为关于某个三角函数式的二次式，并根据三角函数的有界性和单调性，确定该三角函数式的取值范围，将其视为二次函数的定义域；再将函数式配方，根据二次函数的单调性和有界性求最值.

四、求解圆的方程问题

圆的方程主要有一般方程与标准方程.在求圆的标准方程时，往往需将方程进行配方，使其形如（x -a）2+（y -b）2=r2，这样就可以快速确定圆的圆心坐标和半径.

例5.已知关于 x，y 的二元二次方程 x2+y2-2（t +3）x +2（1-4t2）y +16t4+9=0，当 t 为   时，方程表示的圆的半径最大.

解：

将圆的方程配方，即可快速确定圆心的坐标以及圆的半径的平方.而本题中圆的半径的平方为二次式，将其配方，即可根据平方式恒大于或等于0的性质，求得圆的半径的最大值.

五、证明不等式

在证明不等式时，通常要将不等式两边的式子移项，并将其中的因式进行分解、配方成完全平方式，即可判断出各个因式的正负，或根据完全平方式恒大于或等于0的性质来加以证明.

例6.已知x，y，z 均为实数.求证：1+2x4≥2x3+x2.

证明：

先将不等式左右两边的式子作差；然后进行因式分解，并将因式2x2+2x +1配方，即可判断出差式的符号，这样就能利用作差法顺利证明不等式.

通过配方，可改变代数式的结构，这样便于我们快速建立“已知”与“未知”之间的联系，根据二次函数的性质、完全平方式的非负性来解题.

（作者单位：山东省胶州市第一中学）