基于扰动法的抗退化数字混沌系统研究

赵 耿，张森民，马英杰

(北京电子科技学院，北京 100071)

1 引言

混沌具有十分丰富的动力学特性，近年来受到了国内外学者的广泛研究，也在多个领域得到了应用。因为混沌的特性和密码学的安全要求有许多相似点，如混沌具备初值条件敏感性、不可预测性、遍历性等特点，与密码学所要求的混乱性、扩散性和密钥不可预测性相似，所以将混沌运用于密码学具有十分广阔的前景[1-2]。然而混沌系统一旦运用在计算机等有限精度的设备上时，会发生动力学性能的退化现象。原来具有的遍历性、不可预测性均不复存在，取而代之的是系统的数据值只能取在有限范围内，数据会进入周期循环轨道或不动点。这种退化行为导致基于混沌系统构建的密码体制存在安全风险。所以数字混沌系统的退化行为是混沌密码走向实际使用的一大障碍，也是亟需解决的问题之一[3-6]。

近些年针对数字混沌系统的退化问题，国内外主要有以下五种抗退化的方法[7-9]：①提高精度法，依靠提高计算机的精度会加大计算成本，并且退化现象依然存在；②级联法：将两个或两个以上的混沌系统先后级联在一起，上一系统的输出作下一个系统的输入；③切换法：切换使用多个混沌系统，也可切换单一混沌系统的不同初始状态；④扰动法：构造扰动函数，对混沌系统迭代过程进行一定的干预控制；⑤误差补偿法：在数字混沌系统的每一次迭代中都引入一个误差补偿值，该值来自于系统本身。扰动法能有效地改善混沌系统在有限精度条件下动力学性能的退化问题，该方法的基本思想是，使用某些系统作扰动源，利用其生成的序列，来对数字混沌系统的迭代过程进行扰动。Liu等人[10]使用可变函数来替代状态变量；Chen等人[11]提出了一种基于伪随机序列的动态摄动-反馈混合控制方法；Lahcene Merah等人[12]提出了一种不需要外部发生器对混沌轨道进行扰动的的新扰动方法，具有自摄动机制；Jun等人[13]提出了一种在有限计算精度范围内构造高维数字混沌系统的新方法；Cao等人[14]提出了一种基于帐篷映射Lyapunov指数的扰动方案；Liu等人[15]提出了一种同时扰动输入和控制参数的方法。上述方法均使得混沌周期得以延长，取得了较好的抗退化效果。

扰动法的扰动源一般包含伪随机序列、数字混沌系统和模拟混沌系统，利用伪随机序列或数字混沌系统做扰动源，会导致扰动信号不均匀分布，从而使系统容易受到非线性预测技术攻击。模拟混沌系统具有更复杂的相空间分布，许多学者将模拟-数字混合的方法用于解决数字混沌系统的动态退化问题[9，15]。扰动法的扰动对象一般有系统的参数、输入和输出，对数字系统的控制参数进行扰动能使轨道周期变长，但是不能使数据的非均匀分布得到有效改善，扰动其输入或输出可以使数据分布得更加均匀。因此，本文结合单独扰动某一对象的优势，首次提出对一维Chebyshev混沌系统的全部扰动对象进行扰动的方法，使Chebyshev映射表达式的每一个部分都被扰动源所影响。同时，利用模拟的三维Lorenz混沌系统生成三个扰动函数，用单一扰动源完成对三个对象的扰动。一定意义上，该方法通过扰动法构建了一个融合的混沌系统，不仅有效地延长了数字混沌系统的周期，使数据分布情况比模拟状态更好；还大大提升了密钥空间，具备运用到其它系统的通用性，可以说具有广阔的研究前景。

2 退化问题及混沌映射分析

2.1 数字混沌系统的退化原因

模拟混沌系统具备良好的动力学特性，如初值敏感性、不可预测性和遍历性等特点。在计算机等数字器件上实现混沌系统时，由于计算精度总是有限的，混沌系统的迭代值只能取到有限精度范围，关于数字混沌系统的退化原因的数学描述如下

给定一个离散时间混沌系统的迭代方程

X(i+1)=F(X(i))

(1)

式中X(i)∈Ω⊂Rm是状态向量。F：Ω→Rm是混沌系统的迭代函数。理论上，混沌系统的迭代值具有不可遍历性，但是在P比特的有限精度设备上实现时，其所有的值都会被离散化，系统的数值轨道也会被限制在有限状态集ΩL中

(2)

所以式(1)也将退化成如下数字混沌系统

X*(i+1)=F(X*(i))=BL∘F(X*(i))

(3)

或

(4)

式中，BL：Ω→ΩL是量化函数，可看作每一次迭代前都对输入值做了一次量化处理，并且在所有计算算法中有三种最常用的量化形式[15]：

1)floorL(x)=⎣x·2L」/2L，⎣x」表示不超过x的最大整数；

2)roundL(x)=round(x·2L)/2L，round(x)表示对x进行四舍五入取整；

3)ceilL(x)=「x·2L⎤/2L，「x⎤表示不小于x的最小整数，x是一个实数或向量。

2.2 混沌映射分析

本文所提方法是利用模拟Lorenz混沌映射来扰动一维数字Chebyshev映射，下面分别对两个混沌映射进行分析。

2.1.2 Chebyshev混沌映射

Chebyshev混沌映射是目前较常用的混沌映射之一，输出混沌序列状态值的分布特性良好，而且状态值之间的自相关性很低[14]，可选取作为受扰混沌系统。Chebyshev映射公式如下

X(i+1)=cos(β·cos-1X(i))

(5)

其中β为系统参数，X(i)和X(i+1)为第i次迭代的输入和输出值。β>2时系统呈现出混沌特性，图1是系统参数为8，初值为0.25，迭代10000次的模拟Chebyshev混沌吸引子图，模拟状态下吸引子图像类似于三角函数的波形，数值的取值范围为[-1，1]。

图1 Chebyshev混沌映射吸引子

Chebyshev映射的概率密度为

(6)

(7)

当Chebyshev映射产生无穷多状态值时，其数学期望为0，表明在相空间分布上是稳定的平衡状态，具有良好的性能[15]。

2.1.2 Lorenz混沌映射

Lorenz混沌系统的状态方程为

(8)

在参数选取满足条件σ=16，b=4，r=45.92时系统处于混沌状态。

Lorenz系统原本是模拟的，但计算机无法处理模拟系统，所以需要将其进行离散化处理，如下采用Euler算法，取采样时间T=0.002，得到方程如下

(9)

Lorenz系统的吸引子如图2所示，x(i)的取值范围为(-30，30)、y(i)的取值范围为(-40，40.75)，z(i)的取值范围为(0，72.14)，三个分量的取值范围都很广，因此可以用来用作扰动序列。

图2 Lorenz混沌映射的吸引子

3 扰动策略

结合Chebyshev函数的特性和Lorenz函数的特性，提出扰动全部扰动对象的方法，扰动方案如图3所示。

图3 扰动方案流程图

该方案的具体步骤为：

步骤1：先迭代Lorenz混沌映射，即对式(8)设置初值x(0)=1，y(0)=1，z(0)=1，系统参数设为σ=16，b=4，r=45.92，迭代1000次生成的三个混沌序列采样，得到三个离散的混沌序列{x}，{y}，{z}。再对Chebyshev混沌映射，即式(5)也赋初值X(0)=0.25，系统参数β=8。

步骤2：构建扰动控制参数和输入的表达式，具体方法为，将{x}序列用于构建扰动参数表达式，将{z}序列用于构建扰动输入的表达式，扰动表达式如下所示

(10)

其中，Q(i)为扰动参数的变量，W(i)为扰动输入的变量，mod(*，1)表示对括号内数值取模1运算。其中，扰动参数的变量Q(i)由改进前系统的输入值X(i)与扰动序列{x}的值相加后模1处理，再加上常数值8得到；扰动输入的变量W(i)只需要将输入值X(i)与扰动序列{z}的值相加后模1处理。

接下来，再将准备好的扰动变量分别代入式(5)，用Q(i)替换参数β，W(i)替换输入值X(i)。得到新的Chebyshev映射表达式

X(i+1)=cos[Q(i)arccos(W(i))]

(11)

步骤3：用{y}序列扰动Chebyshev函数的输出，改进后系统完整的输出表达式为

X′(i+1)=mod[X(i+1)+y(i)，-1]+

mod[X(i+1)+y(i)，1]

=mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，-1]+

mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，1]

(12)

利用上一步中的输出值X(i+1)与扰动序列{y}的值相加，然后再分别对该值进行模1和-1的操作，最后将这两个值相加得到扰动输出的表达式。

步骤4：分析系统运用在计算机等有限精度设备上的情况，因为存在有限精度效应，所以每一步迭代都要考虑数据值的范围。扰动表达式如式(13)，改进的Chebyshev映射表达式如式(14)，扰动输出后系统表达式如式(15)

(13)

X(i+1)=BP{cos[W(i)arccos(Q(i))]}

(14)

X′(i+1)

=Bp[mod(X(i+1)+y(i)，-1)]

+BP[mod(X(i+1)+y(i)，1)]

=Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，-1]}

+Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，1]}

(15)

其中BP：Ω→ΩP是一个量化函数，如第2.1节所述，混沌系统的表达式可看作每一次迭代都对输入值做了一次量化处理。因此，假设是P比特精度情况下，要在每一个混沌方程中引入量化函数。

此处三个分量{x}，{y}，{z}与扰动对象还可以任意进行组合，一共有6种排列组合方式，均能得到与本文类似的性能。因此，若系统应用在密码学中，在不改变系统结构的情况下，还可以使系统的密钥量得到扩展。

该方法融合了对系统参数的扰动、对系统输入值的扰动和对系统输出值的扰动，结合了以往单独扰动某一对象所具备的优点。Chebyshev混沌映射的表达式的每一个部分都被Lorenz映射所影响，扰动源Lorenz映射无论初值还是分量的改变，都将使系统最终的输出结果产生巨大改变。

4 性能对比与分析

4.1 抗退化效果

本节将分析改进系统在低有限精度情况下的抗退化效果，首先，设置系统的计算精度为8位，使表达式(5)和表达式(15)的初值和系统参数保持一致。然后，再对两个系统迭代500次，分别记录混沌轨迹图。数字Chebyshev混沌系统的轨迹在迭代几次后便退化为周期轨迹，如图4；但使用本文改进的系统之后，短周期现象就消失了，轨迹图在迭代500次以上仍然表现出杂乱无序的特征，如图5。因此，本文改进的系统极大地延长了原系统的周期，抗退化效果十分明显。

图4 数字Chebyshev映射轨迹图

图5 本文改进系统的轨迹图

4.2 初值敏感性

混沌系统具有的显著特征之一便是初值敏感性，即对同一个混沌系统而言，两个初始输入值即使差别特别微小，在若干次迭代后，二者的轨迹也会变得完全不一样。在这里，保持Lorenz映射的初值和系统参数不变，仅对Chebyshev映射的初值进行微小的改变，分别赋初值0.25和0.25000003。记录下运动轨迹如图6，大约在第10次迭代后，二者的轨迹变得完全不一样，说明该混沌系统具备初值敏感性。

图6 初值敏感性分析图

4.3 近似熵

近似熵是用来衡量时间序列复杂度和稳定性的指标，近似熵的值越大，说明该序列越复杂，复杂程度也越稳定。图7是对不同系统近似熵值进行的对比图，横轴表示计算精度，纵轴表示近似熵值。与改进前的系统对比，可以发现改进后的系统不仅大幅提高了数字Chebyshev系统的近似熵值，而且在低于24bit精度情况下也能维持在一个较高水平，因此，系统在精度较低的情况下依然具备实用性能。与近年来的扰动方法对比，本文改进系统的近似熵值几乎都大于2，比文献[10.14.15]中的近似熵值更高，说明本文改进方案生成的序列复杂程度更高。

图7 近似熵对比分析图

4.4 混沌吸引子

混沌吸引子是衡量混沌系统复杂度的指标之一，模拟混沌系统的吸引子呈连续性，数字混沌系统的吸引子呈点状分布。数字混沌系统的吸引子分布得越随机、越均匀，说明混杂效果越好。下面对不同系统迭代5000次的吸引子图进行了对比，图8(a)是模拟Chebyshev映射的吸引子图；图8(b)是在8bit精度情况下，数字Chebyshev映射的吸引子图；图8(c)是文献[15]的吸引子图；图8(d)是本文提出的方法的吸引子图。通过对比可以很明显地看出，在低有限精度情况下，数字Chebyshev映射的吸引子仅分布在几个固定的点上，文献[15]的改进结果也有向四周聚集的情况，并不十分均匀，而本文的方案不仅大大改善了原始系统的吸引子的分布情况，还使其随机地分布在数值空间内。随着迭代次数的增加，吸引子依然具备均匀分布的特点，而且几乎能分布所有数值点。

图8 吸引子对比图

4.5 频率分布直方图

图9 频率分布统计对比图

频率分布直方图反映的是数值出现的频率，统计结果越平均，则统计特性越好。下面在相同条件下对不同系统的频率分布做了比较。图9(a)是模拟Chebyshev映射输出序列的频率分布图；图9(b)是在8bit精度情况下数字Chebyshev映射的频率分布图；图9(c)是文献[15]方法改善后的频率分布图；图9(d)是本文改进系统的频率分布图。通过对比，可以明显看出低有限精度情况下的Chebyshev映射序列值只分布在个别数值上，其余值的频率均为0；文献[15]方法改善序列值的频率分布在-1和1两端出现的频率值还比较大，而本文改进方案使所有值的出现频率几乎一致，比模拟状态更加均匀。

4.6 自相关函数

自相关函数体现的是针对同一个序列，在一个时刻的值与另一时刻的值的相互关联程度。图10(a)是原始模拟系统的自相关图；图10(b)是8bit精度情况下数字Chebyshev映射的自相关图；图10(c)和(d)分别是文献[15]的方法和本文方法的结果。可以发现低有限精度情况下的Chebyshev映射自相关性很强，输出序列安全程度不高，而本文改进方案可以使数字Chebyshev混沌映射自相关性大幅降低，恢复其在模拟情况下的自相关特性。

图10 自相关函数对比图

5 总结

本文首次提出对数字Chebyshev混沌系统的全部扰动对象进行扰动的方法，使映射表达式的每一部分，包括控制参数、输入和输出，均与各自的扰动序列相关。同时，对改进系统的近似熵、吸引子和数据频率分布等特性进行了对比分析，实验结果表明，该方案能有效延缓数字Chebyshev混沌系统的退化，在低有限精度情况下不仅大大延长了周期，还使系统的动力学性能得到提高，在数值分布方面比模拟状态下的性能更好。如果应用于密码学中，该系统的三个扰动序列与扰动对象可以任意组合，能够增大密钥空间。此外，本文所提的扰动方案还具备三维混沌系统扰动一维数字混沌系统的通用性，使改进后的一维混沌系统具有较好的动力学特性，在低有限精度情况下依然适用，因此在混沌保密通信等领域具有潜在的应用价值。