数学现实：课堂活动设计的理性视角

赵红婷

数学现实是指学生已有的认知经验、思维方式、解题策略以及相关的数学知识结构。数学现实是学生的学习准备和坚实基础，将直接影响学生的数学学习效果。教师关注并利用学生已有的数学现实，有助于学生从整体上理解数学概念，拓展并完善数学知识结构。从某种意义上说，教学某个数学知识所采用的方法，不是由教学法和心理学原理决定的，而是由学生的数学现实和学科本质决定的。因此，学生的数学现实应成为教师设计课堂活动的理性视角。

一、提前介入：审视学生的认知准备

著名心理学家皮亚杰的实验表明，儿童学习数学必须有必要的准备，向一定年龄儿童教授的材料存在着固有的限制，只有具备了这样的准备性，儿童才能进行有效的学习。学生原有的知识储备、现实活动中的经验积淀乃至他们在社会中所形成的许多关于数学的朴素认识，都有助于开阔学生数学学习的特定视野，这些数学现实影响并制约着他们的后续学习。因此，教师要提前介入，对学生的认知准备有一定的预见性。

（一）关注心理准备

儿童学习的心理准备涉及学习顺序的问题。由于儿童学习有一定的顺序性，教师要尽可能按照儿童认知发生的顺序进行教学，不能人为地加速儿童的认知过程。譬如，根据皮亚杰的观点，儿童要到十一至十二岁才能掌握无限的概念。因为儿童必须到形式运算阶段才能进行思维的抽象运算，才能把线段看作无限个点的集合。

皮亚杰还认为：“教师将会认识到，他们自认为正在教儿童的东西，但实际上并未在教，原因在于：儿童并未达到必要的发展阶段。”显然，教师要清晰地认识到，当学生还没有达到某个认知阶段，还没有做好充分的心理准备时，教师的教其实是一种隐形的灌输。

（二）分析知识储备

著名认知心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学生学习新知的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道些什么。要探明这一点，并据此进行教学。”的确，教师在教学前一定要弄明白：学生的认知起点在哪里？他们对所学内容到底具有怎样的知识准备？适时剖析学生的知識储备，有助于教学的准确定位。

例如，教学苏教版教材小学数学五年级下册的“用数对确定位置”时，教师应当清楚地认识到：学生在一年级上学期已学过用一个“第几”描述物体在直线上的位置，这属于一维空间的范畴。在二年级上学期，学生已掌握了用两个“第几”表示物体在平面上的位置。显然，用两个“第几”表示物体在平面中的位置，已属于二维空间的范畴。确认了这样的认知起点后，教师就将教学定位为：用“数对”确定位置，重点是将原来凭生活经验描述位置上升到用数学方法确定位置。教师据此设计了循序渐进的课堂活动，有效激发了学生的数学思考，也培养了其空间观念。

（三）了解经验积淀

每个学生都是鲜活的生命个体，他们并非一张白纸，生活环境在他们身上留下清晰的烙印，独特的生活经验对学生的数学学习会产生极大的影响。

与数学相关的生活经验大致可分为两类：其一，促进“正迁移”的生活经验。例如，在学习苏教版教材小学数学六年级上册“长方体和正方体”和一年级上册“认识人民币”等知识时，学生的相关生活经历，都可直接促进其数学学习。还有些生活经验，表面看，似乎不能与数学学习构成直接联系，但却可以通过类比来促进学习。例如，在教学苏教版教材小学数学五年级上册“循环小数”时，教师可激活学生积累的日升日落、白天黑夜周而复始的经验，帮助他们理解“循环”的含义。其二，产生“负迁移”的生活经验。有些生活经验会对学生的数学学习产生负面影响，一些经验本身就是错误的。例如，在教学苏教版教材小学数学六年级上册“倒数的认识”一课时，学生根据经验，会形成 “倒数就是倒过来的数” 这样的错误印象。但有位教师却能正视这类数学现实，巧妙利用这一负面因素，他先故意肯定了学生的想法，在举了几个分数例子后，又让学生说小数和整数的倒数，在思维冲突中，学生对倒数这一概念进行了有效重建。

学生的认知准备不仅是其新知学习的基础，更是教学中可利用的资源。如果教师的教学设计扎根于这些草根化的素材，并引导学生巧妙地加以提炼、分析、比较、抽象、概括，这样的教学便能始终站在适合学生的立场。

二、适时逼近：透视学生的学习规律

学生的数学学习规律是其数学现实的一个重要表现。学生主要处于具体运算阶段，在小学阶段后期，有些学生的思维也会逐渐向形式运算阶段过渡。小学生的形象思维活跃，逻辑思维能力较弱。因此，教师要适时逼近，透视学生的认知规律，尽可能采用具体而形象的方式呈现数学事实或现象，这样才能使数学活动更适合学生。

（一）创设情境，提供丰富的感性活动

感性活动远比感知经验具有更为丰富的内涵。因为感知活动所获得的仅是静止的心理表象，而感性活动获得的是动作经验，学生能借此认识事物或现象之间的各类关系，这有助于学生思维的积极运转，并使其思维逐步达到逻辑水平。课堂上，教师要不断丰富学生感性经验，要经常鼓励学生进行实践探索。

例如，教学苏教版教材小学数学二年级上册的“认识方向”时，在认识了教室里的东南西北四个方向后，教材安排了根据前面是某一方向，说一说后面、左面、右面的活动。A教师只是出示了填空题，让学生思考并口答出另外三个方向。结果，学生的汇报错误频出。而B教师说到面向某个方向时，就让学生去亲自体验。比如，让学生面对南面，用手指着后面、左面、右面，并说出方向。接着，用同样的方法，让学生面对西面、北面，边指边说出后面、左面、右面的方向。在这样的实践活动中，学生对辨认方向会有更多体验，他们获得了丰富的感性经验。当然，实践活动不能仅停留于直观操作，还必须对动作进行内化和概括。在上述教学环节中，教师让学生面对南面或西面，并说出了另外三个方向后，就可让学生想象自己面对北面的情形，并说出另外的三个方向，这样做，学生的操作活动便得到了必要内化，这对培养其空间观念无疑是极为有益的。

皮亚杰用多年实验证明，好的教学能为学生提供一个环境，学生在其中能自己尝试某些事，并最终找到答案。因此，学生必须亲身经历一些事情，他们经过探索而获得的知识和经验，在记忆里能保存得更为久远。同时，在探索过程中，学生的创造性思维能力也能得到一定提升。

（二）制造冲突，推动认知结构的动态平衡

每一阶段儿童都具有一定水平的认知结构，他们运用这些结构去同化传入的信息，有些能同化，有些则不能，这便导致了认知结构内部的不平衡。这种内部的不平衡将直接引起认知结构的变化（即顺化作用），在这个过程中，认知结构就得到了发展。在教学中，教师可依据学生学习规律，精心设计一些矛盾冲突，使学生的认知水平处于一个动态发展过程。

例如，在教学苏教版教材小学数学三年级上册“三、四位数除以一位数的笔算”时，在完成铺垫练习367÷3和592÷4后，教师创设了这样一个情境：“有个小朋友叫小明，在学习了昨天的内容后，他发现了一个重大信息：三位数除以一位数，商都是三位数，他的这种说法对吗？”面对这个问题，学生立刻自发展开讨论，不一会儿，大家都一致认为这种说法是错的。教师追问：“你准备怎样反驳小明的看法？”一个学生说：“592÷6所得的商可能不是三位数。”于是，教师就让学生试着计算592÷6。学生完成后，教师进行了讲评。教师继续问道：“小明的说法对吗？”教师引导学生继续验证，计算267÷3，在反馈时，教师又问道：“这道题的商为什么变成了两位数？”一个学生说：“百位上2比3小，不够除，就要用前两位去除。”于是，教师再次强调：笔算三位数除以一位数，只要被除数的前一位比除数小，商就是两位数。这时，一个学生突然问道：“如果四位数除以一位数，商会是三位数吗？”教师顺势进入下一个环节的教学，让学生尝试计算4375÷5。

在以上教学片段中，课始教师就创设了认知冲突，激发学生的学习欲望。在辩论、验证等活动中，学生的认知结构得以重建和完善。整个教学能尊重学生的认知现实，在打破平衡、寻求平衡过程中，顺势而教，收到了预期效果。

三、持续跟进：检视学生的思维现状

就数学学习而言，读懂学生并非泛化意义上追求的理解，而应突出表现为细腻地、科学地对学生的思维状态做深入研读。思维现状是学生数学现实的一个主要表现，教师要时常检视学生的思维现状，这样才能设计有序而高效的数学学习活动。

（一）暴露真实想法

皮亚杰曾说过这样一句撼动人心的话：“你教什么并不重要，学生想什么比这重要一千倍。”教学时，教师尽最大可能让学生袒露真实想法。只有对学生的思维过程有了具体了解，才能更大程度地帮助学生。

例如，教学苏教版教材小学数学五年级下册“找规律”时，教师设计了这样一道练习题：小丽一家想去影城看电影，如果选择第12排中间订票，小丽一家三口想坐在一起，一共有多少种不同的选择方法？出示影城图片后，教师引导学生先理解图意，再抽象出直观图式，具体如图1。

教师鼓励学生先独立解答，很多学生都得出了正确答案“15种”。但有一个女孩怯怯地说：“17种。”她的话音刚落，马上就传来其他同学的反对声。教师并没有直接否定她，而是问了一句：“你是怎么想的？”显然，这个女生也有点意外，她轻声说：“因为共有19个数，减去两个不能打头的数，就是17种！”原来，她把这一题看成没有间断的情况，并应用了之前探究的规律。教师灵机一动，说：“她的想法很有价值！我觉得她的答案挺对的啊！一共有19个数，不能打头的数有两个，19减2等于17！这明明是对的啊！”教师话音刚落，就有学生站起来反驳：“不对！不对！要把左右两部分分开看！”教师追问：“为什么不能用19减2呢？”一个学生说：“因为9和后面的8、10不能连起来看！”这时，教师再转向刚才那个女生，对她说：“你的答案虽然是错的，但你还是应用了规律！这一点就很不错！现在，你知道自己错在哪里了吧？”女生点点头，笑得很灿烂。

在以上教学中，正是因为多追问了一句“你是怎样想的”，教师领略到了学生更多的想法。仔细想来，这个学生的解法虽出乎意料，但却有其存在的价值。教师故意肯定了这个学生的想法，引起其他学生的反驳，这样既调动了学生学习的积极性，又加深了学生对规律本质的理解。课堂上，教师要经常琢磨：学生究竟在想什么？他们为什么会这么想？只有掌握了学生的真实想法，教师才能灵活调整教学的节奏及进程。

（二）聚焦学习困境

数学家波利亚曾说过：“要读懂你的学生脸上的表情，弄清楚他们的期望和困难，把自己放在他们的位置上。”教学时，教师要深入解读学生的真实想法，尤其要关注学生的学习困难。对于某个知识点，学生会存在怎样的困难？怎样去帮助他们？这些都应是教师要始终权衡的问题。

例如，在教学苏教版教材小学数学三年级下册“用连除解决实际问题”时，有这样一道练习题：一瓶药共150片，每日3次，每次2片，这瓶药可以吃多少天？一般而言，我们提倡学生用这样的常规算法：150÷2=75（次），75÷3=25（天）；3×2=6（片），150÷6=25（天）。有时，学生还会列出如下算式：150÷3=50（片），50÷2=25（天）。但他们无法表述其含义，甚至对其还存在着误解。其实，要把150÷3=50（片）算式含义说清楚，不妨这样假设：把一天分为早上、中午、晚上三个时段，除以3，就求出所有早上共吃了50片，当然，所有中午和所有晚上也分别吃了50片。因为所有早上共吃50片，每次吃2片，于是50÷2=25（天）。当学生无法表达正确含义时，教师可通过直观演示等方式，引导学生正确理解含义。

对于学生的学习困难，教师应未雨绸缪，并做出相应预设。但更多时候，学生的学习困難只在课堂上才得以显现，这对教师的教学机智显然是一种挑战。但不管怎样，如果教师对学生的认知盲区是一种关注的姿态，教学就会减少一些盲目性，教学效率也将因此提高。

（三）排除思维干扰

在学习过程中，儿童的思维有时会受一些无关因素的干扰，这给他们的学习带来了一定困扰。对此，教师如能有一个清晰的认识，并及早做出相应的预防，就能减少时间和精力的浪费。

例如，在分数的教学中，在三年级上学期，学生已初步接触了分数的含义，并认识到：把一个物体或图形平均分成几份，每份就是它的几分之一，几份就是它的几分之几。苏教版教材小学数学三年级下册将单位“1”的范围从一个物体拓展到了一些物体，这在认识上无疑是一个质的飞跃。教材例题如下：将6个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之一？由于受具体数据的影响，学生极易得到六分之二这样的答案（正确答案应是二分之一）。为了避免这样的思维误区，有的教师将例题进行了改编，他先出示两盒桃，第一盒是1个桃，把1个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的二分之一，这是对以前知识经验的唤醒。对于第二盒桃，教师没有直接出示桃，而是问学生：“盒中可能有几个桃？怎样分桃才公平？”在教师引导下，学生意识到：不管是几个桃，只要将这些桃平均分成2份，每份就是它们的二分之一。在此基础上，教师才出示盒中的6个桃，让学生去平均分给2只小猴，这时学生自然就能得出：每只小猴分得这盘桃的二分之一。对三年级学生而言，分数概念非常抽象，理解时会有一定难度。平均分一些物体时，学生还没建立一个整体的观念，很容易受到具体个数的干扰。以上教师创新教材的做法，减少了干扰，可谓独具匠心。

总而言之，学生学习数学的过程，就是把新旧知识进行同化、顺应、调整、扩充，最终建构新认知结构的过程。在这期间，学生的数学现实对其新知学习起着极为重要的影响。关注学生的数学现实，应成为教师的一种自觉行动。教师要重回教学原点，真正站到儿童立场上，用理性目光审视学生的数学现实，并为学生创造恰当的探索时空。长此以往，便能促使学生的数学素养得到深度滋养，他们的创造能力也能得到长足发展。

（作者单位：江苏省张家港市暨阳实验小学南校区）

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