立足基础·注重探究·彰显文化——2022年中考“图形的性质”专题命题分析

姜鸿雁，徐德同

（江苏省无锡市蠡园中学；江苏省中小学教学研究室）

2022年中考是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）正式颁布后的第一次中考.《标准（2022年版）》在学业质量和考试命题方面有诸多新理念、新思考、新导向.为了分析《标准（2022年版）》的导向引领作用，我们选取了49份2022年中考数学试卷，针对其中涉及“图形的性质”内容的试题，比对《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）与《标准（2022年版）》的异同，对考查内容和命题特点进行分析，并对中考复习教学提出建议，以期对一线教学有所帮助.

一、考查内容分析

《标准（2022年版）》将义务教育阶段的数学课程内容划分成数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域.其中，“图形与几何”领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.下面结合2022年中考相关试题，将《标准（2022年版）》对“图形的性质”的学业要求、内容要求，以及两个版本课程标准的对比分析进行简要阐述.

1.学业要求及分析

（1）“图形的性质”学业要求.

《标准（2022年版）》对第四学段（7～9年级）“图形的性质”的学业要求如下：了解点、线、面、角的概念，掌握三角形、平行四边形、多边形、圆的概念.知道图形的特征、共性与区别，理解线段长短的度量，探究并理解角度大小的度量，理解两条直线平行或垂直的关系，形成和发展抽象能力；在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力；经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力.

在第四学段，“图形与几何”领域主要以点、线、面、角、三角形、四边形和圆为主要研究对象.从微观角度，通过研究图形的性质形成推理能力，在直观理解和从基本事实出发推理的过程中，感悟有因果性的数学逻辑，发展有条理地表达的能力.从中观角度，图形的性质可以从图形变化和量化分析的角度加以应用，进一步发展空间想象能力和创新意识，所以研究“图形的性质”离不开“图形的变化”和“图形与坐标”，三个主题有机构成“图形与几何”领域.进一步地，“图形的变化”内容也少不了对图形的定性分析和定量刻画.代数式、方程、函数等是刻画数量关系的有效手段，因此，“图形与几何”与“数与代数”有着千丝万缕的联系.从宏观角度，我们生活在丰富的图形世界里，成长在源远流长的历史长河中，所以在数学以外的其他方面也离不开图形的性质，所有这些“特质”注定“图形的性质”内容在中考命题中举足轻重.

（2）分值占比、题型和难易程度.

从分值的占比看，49份样本试卷中，“图形与几何”领域的分值一般占卷面总分值的42%左右.其中，“图形的性质”内容的分值占“图形与几何”领域的65%左右，有的甚至达75%，最低达到了50%.倘若考虑以“数与代数”为主的试题涉及“图形的性质”这个因素，则“图形的性质”分值占比会更高.

从考查的题型来看，选择题、填空题、解答题（包括运算、作图、操作探究、综合与实践等）各类题型中都有“图形的性质”的“踪迹”（台湾卷解答题中没有出现“图形的性质”）.从试题的难易程度来看，“图形的性质”相关试题在基础题、中档题、较难题中均有涉及，还有一些压轴题以“图形的性质”为主，结合其他知识，综合考查学生解决问题的能力.

2.内容要求及分析

点、线、面、角是构成几何图形的基本要素.“图形的性质”是以相交线与平行线、三角形、四边形、圆为主体图形的纵向知识结构，同时，是在研究这些图形的性质及图形与图形关系的基础上，以定义、命题、定理为主的横向推理系统.学生以学习具体图形为抓手形成几何直观和空间想象能力，发展逻辑推理素养.

“两点之间线段最短”及“角的大小是指两条边张开的程度”分别揭示了线段和角的基本属性，能对线段和角度比较大小、计算和差是对学生的基本要求，但直接考查这部分内容的试题并不多.2022年全国各地区中考试卷中，涉及该部分内容的亮点试题有：台湾卷第16题（详见例2）；河北卷第13题以五边形的不稳定性为外在表现形式进行命制，主要考查两点之间线段最短；吉林长春卷第23题第（4）小题是以“两点确定一条直线”为问题解决打开思路（详见例8）.这说明这部分内容虽然难度不大，但内涵丰富.

相交线与平行线是通过角与角之间的数量关系和位置关系进行刻画的；垂线段的长度是指点到直线的距离；平行线基本事实Ⅱ是推导平行线的性质定理和判定定理的基础.多地试卷中以选择题和填空题的形式考查这部分内容，基础题居多.其中，河北卷第11题以学生熟悉的练习本线条夹角不能直接测量为问题情境，呈现多种解决问题的方案，考查平行线的性质，体现在问题解决的过程中运用转化思想及推理的必要性.江苏常州卷第6题以行人过斑马线的实际生活情境为命题背景，考查垂线段最短，体现生活让人“知其然”，数学能让人“知其所以然”，这就是说理的意义与价值.

在“图形的性质”内容中，三角形、四边形、圆的研究历程基本一致.首先，从概念或相关概念出发，分析构成它们的基本元素及其相关元素——线段（边、中线、高线、角平分线、中位线、对角线、弦等）、角（内角、外角、圆周角、圆心角等）之间的关系，在研究关系的过程中掌握图形的性质与判定，在解决问题的过程中体现性质与判定的应用价值.其次，在从一般到特殊的过程中深入认识图形.例如，从一般三角形到特殊三角形，从一般四边形到平行四边形再到特殊平行四边形，在这个过程中，感受概念的外延越来越小，内涵越来越丰富.最后，三角形是研究其他图形的基础，所以研究三角形之间的关系也是“图形的性质”不可或缺的部分，包括全等三角形及全等变换、相似三角形、三角函数（相似三角形、三角函数属于“图形的变化”主题）等.由49份样本试卷可以看出，这部分内容是“图形的性质”的内核，综合考查学生的阅读理解、迁移转化能力，以及几何直观、空间观念、推理能力、抽象能力等素养.

对于“定义、命题、定理”，要了解它们的意义，结合实例区分命题的条件和结论，能够识别互逆命题，了解反例的作用等.在49份样本试卷中，江苏无锡卷以选择和填空两种题型考查“命题”；北京卷第20题、江西卷第19题分别考查三角形内角和定理、圆周角定理的证明；宁夏卷第26题考查勾股定理的证明、应用与推广，体现中考命题回归教材.数学命题是对数学结果的描述，如浙江杭州卷第9题对命题的考查不局限于“图形的性质”，而是推广到了“数与代数”领域.

3.两个版本课程标准的对比分析

《标准（2022年版）》是《标准（2011年版）》的延续与发展，前者更加注重素养立意，对“图形的性质”中部分概念的行为动词进行调整，尺规作图相关要求变化较大，四边形部分增加了对梯形的学习要求.2022年中考试卷中有以梯形为背景命制的试题，主要与三角函数的应用相结合，本文不再叙述.

（1）对部分概念的行为动词变化的分析.

“了解”和“理解”是描述结果目标的行为动词，也是学习者对知识、概念或原理的心理意义建构的过程.“了解”是指从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或举例说明对象.“理解”是指能描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.相比之下，“理解”比“了解”深刻，对学生的学习要求更高.《标准（2022年版）》将等腰三角形的概念、直角三角形的概念、两条平行线之间的距离、点与圆的位置关系等由《标准（2011年版）》中的“了解”提升为“理解”，进一步突显了三角形、四边形和圆这部分内容在初中数学中的核心地位.

（2）尺规作图的变化分析.

尺规作图是《标准（2011年版）》“图形的性质”的第6组成部分，除5种基本作图外，还包括利用基本作图作三角形、三角形的外接圆和内切圆、圆的内接正方形和正六边形等，并要求了解作图的道理.

《标准（2022年版）》保留上述作图要求，并将其与其他内容进行整合.将“作一条线段等于已知线段”前置到第二学段（小学3～4年级）；将“作一个角等于已知角”和“作一个角的平分线”整合到点、线、面、角部分；将“作一条线段的垂直平分线”和“过一点作已知直线的垂线”整合到相交线与平行线部分；将利用基本作图作三角形融合到三角形部分；将外接圆、内切圆等作图融入到圆的部分.除此之外，增加了“过直线外一点作这条直线的平行线”和“过圆外一点作圆的切线”，后者是选学内容.

对于这些变化，我们认为，《标准（2011年版）》关注作图的基本技能，也注重作图过程中的逻辑推理，《标准（2022年版）》将基本作图整合到相关知识之中，这既是对作图技能及蕴含其中的逻辑推理要求的延续，又是对作图的结果与过程进行的综合分析与思考，加强几何直观.学生先直观感受图形的存在性，再研究所作图形的合理性，并在研究图形合理性的过程中，反思作图过程的逻辑性，使几何直观和推理能力相辅相成、螺旋上升，促使数学核心素养悄然落地.

49份样本试卷中，考查尺规作图的试卷有30份，分值从2～10分不等，涉及多种题型，试题呈现方式多样，以“适当给出作图语言和作图痕迹，继续完成作图或解决其他问题”的形式居多，如西藏卷第8题、内蒙古包头卷第18题等；也有直接要求完成指定作图任务的试题，如广东广州卷第22题、广西北部湾经济区卷第21题等；还有将数学史与尺规作图相结合的试题，如甘肃兰州卷第22题（详见例9）等.此外，湖南长沙卷第10题、湘潭卷第12题，江苏南通卷第21题、苏州卷第14题、连云港卷第16题、泰州卷第25题、扬州卷第26题、无锡卷第24题等均从不同角度考查了尺规作图.

二、命题特点分析

图形的性质强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.研究图形的性质始于实验和直观，因此生活情境和数学活动中产生的问题，以及由问题引发的思考都是研究图形的性质的出发点，基本思想方法是分析、解决问题的出路.因此，问题情境的自然、问题意识的体现、通性通法的运用，是2022年中考“图形与几何”领域命题的主旋律.下面分别从生活情境、数学活动、问题研究、问题结构、辩证思考、数学文化6个方面分析“图形的性质”命题的特点、导向与创新.

1.源于生活情境，立足考查“四基”

从49份样本试卷中我们可以看到，玩具（不倒翁、七巧板、铁环等）、学具（三角尺、量角器）、日常生活用品（衣架、时钟）、日常生活场景（广场雕塑、过马路）等，都是中考试题中常采用的问题情境.在学生熟悉的情境中，考查学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（即“四基”），公平、公正、合理.

例1（北京卷）如图1，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）.

图1

（A）30° （B）60°

（C）120° （D）150°

答案：A.

考查目标：角的度量.

命题意图：对于生活中不能直接测量的一些角（包括几何体的平面角），如何利用数学的知识和原理来解决呢？可运用“对顶角相等”这一基础知识，利用熟悉的工具——量角器，解决此类问题，体现转化思想.

命题评价：角的度量体现了角的本质，是角这一基本图形的重要考点.此题是基础题，既考查基本概念，又指向积累基本活动经验，积淀创新意识.苏科版教材、人教版教材中都有类似习题.此题引导教学回归教材、回归生活，这是今后中考命题的导向，也是评价改革的趋势.

例2（台湾卷）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，图2是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）.若某栋建筑的每个楼层高度皆为3米，则根据如图2所示的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少米？（说明：原题单位是“公尺”，此处改成“米”.）

图2

（A）21.7 （B）22.6

（C）24.7 （D）25.6

答案：A.

考查目标：线段之间的和差关系.

命题意图：此题以工程设备安装为背景命题.学生经过阅读、观察、抽象的思维过程，提炼解题实质是判断楼层高度、安全带、绳长等“线段”间的和差关系，并进行有关计算.结合生活实际，可以直观发现变化的是楼房层数与绳长，其他“线段”长度不变，由这个基本活动经验可计算得在八楼安装缓降机所需的绳长.

命题评价：线段之间的和差关系是研究图形与图形之间数量关系的起点.此题将这一知识融合在生活实际之中，体现课程目标中的应用意识.另外，若深入思考，不妨设楼层n与绳长S（米），充分运用积累的活动经验，可以得到S与n之间具有如下数量关系：S=3（n-1）+1.6-0.5-0.4，即S=3n-2.3（楼层高度在城市消防能力范围内）.在从特殊到一般的基本思想方法的引领下，可以发现新的“生长点”.由此，此题跨越“图形与几何”“数与代数”两个领域，同时可见“工程安装问题”与数学学科的跨学科融合的端倪.

在2022年全国各地区中考试卷中，从真实的生活情境中提炼数学模型，立足考查“四基”的同时，考查学生抽象能力、推理能力的试题有很多.例如，江苏连云港卷第7题以钟表为背景考查圆中阴影部分面积的计算，河南卷第22题以传统游戏“滚铁环”为背景考查切线的性质及三角形的有关计算等主干知识.通过这些源于生活情境的试题，充分体现了数学知识在生活中的广泛应用性.

2.基于数学活动，注重考查“四能”

数学活动是以“做数学”为支架，学生通过折纸、裁剪、实验等真实体验获得数学概念，发现数学规律，并应用规律解决问题的过程.通过“做数学”的活动，学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力能够得到有效提升.以数学活动为背景的试题是2022年中考试卷中一道亮丽的风景线.

例3（河北卷）如图3，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）.

图3

（A）中线 （B）中位线

（C）高线 （D）角平分线

答案：D.

考查目标：此题考查三角形中的重要线段——三角形的角平分线.

命题意图：通过折纸“做数学”，考查三角形的角平分线这一基础知识，检测学生发现问题的能力.

命题评价：此题是基础题，通过折纸活动考查基本概念，直指数学活动可以为概念教学提供直观感受，引导学生发现问题和提出问题，为概念教学设计提供了思路.

例4（河南卷）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

（1）操作判断.

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图4（a）中一个30°的角：_____.

（2）迁移探究.

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照图4（a）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图4（b），当点M在EF上时，∠MBQ的度数为______，∠CBQ的度数为______；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图4（c），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

图4

（3）拓展应用.

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长.

答案：（1）∠BME（或∠MBP或∠ABP或∠MBC）；

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略；

考查目标：此题考查矩形、正方形、直角三角形的基本性质，全等三角形的性质与判定等核心知识，以及建立方程模型解决问题的能力.

命题意图：此题重点考查学生在数学活动中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.例如，通过如图4（a）所示的操作活动，可得E是AB中点，BP是∠ABM的平分线，在Rt△BEM中，由，易得∠BME=30°.这些都是引发学生发现问题的“点”.再如，由图4（b）获得的结论在图4（c）中依然成立.对于第（2）小题第①问的结论，学生可以通过活动（如度量）或直观观察获得，而第②问则体现猜想之余证明的价值.在拓展应用环节，点Q相对于点F有两种位置，考查学生的直观想象能力和严谨的思维品质.

命题评价：此题以“做数学”为媒介，考查直角三角形全等的判定、勾股定理、三角形的边角关系等主干知识，注重综合考查学生的“四能”.第（1）小题的答案多样而具有开放性；第（2）小题中观察猜想与逻辑推理并存，体现了“让不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念；第（3）小题中，点Q的位置具有多样性，体现了思维的严谨性.而在Rt△PDQ中，结合勾股定理建立方程模型得出AP的长，则是模型观念的体现.在49份样本试卷中，通过数学活动考查学生“四能”的试题有很多，题型也多样，如山西卷第22题、吉林卷第22题等.

3.展示问题研究过程，体现学科本质

《标准（2022年版）》提出，学生通过“图形的性质”的学习，感悟几何体系的基本框架，即通过定义确定论证的对象，通过基本事实确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的结果，并运用结果解决新的问题.例如，山东青岛卷第21题展示了研究图形的性质的一般路径“图形定义—性质探究—性质应用”，通过问题研究厘清“等高三角形”的来龙去脉，体现数学学科的本质.2022年中考试卷中还有一些试题以展示问题研究过程的方式，从另一个角度体现了数学学科的本质.

例5（江苏·扬州卷）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图5（a），已知扇形OAB，试用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

【问题联想】如图5（b），已知线段MN，试用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；

【问题再解】如图5（c），已知扇形OAB，试用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹.）

图5

答案：（1）如图6（a），OP为所求；

（2）如图6（b），△MPN为所求；

（3）如图6（c），圆弧CD为所求.

图6

考查目标：此题考查作已知角的角平分线、作已知线段的垂直平分线、已知底边和底边上的高作等腰三角形的尺规作图，以及扇形面积计算、等腰直角三角形中的边角关系、相似三角形的性质.

命题意图：此题由扇形面积公式想到作角平分线完成“初步尝试”.对于“如何以扇形圆心为圆心作圆弧将扇形面积等分”这个具有挑战性的新问题，在尝试中画弧，在几何直观中联系相似三角形类比“相似扇形”，在逻辑推理、转化等数学思想方法的引领之下，推导两个扇形的半径之比为，由此联想到等腰直角三角形，最终实现问题解决.

命题评价：准确理解数学思想是把握数学学科本质的重要内涵，科学认识数学方法可以深刻理解数学本质的学科底蕴.以问题提出为引导，在尝试、联想、转化等一系列思维活动中体现数学学科的内涵和底蕴.问题意识是学生适应未来社会发展应具备的能力，类似具有浓厚问题意识的试题在2022年中考试卷中并不少见，如陕西卷第26题等.

4.开放问题结构，着眼创新意识

创新意识是未来公民必备的素养，是学生适应未来社会发展的需要.勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题或数学问题，有利于学生创新意识的培养.

例6（辽宁·大连卷）综合与实践.

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图7（a），在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB.求证：∠ACD=∠ABC.

独立思考：（1）试解答王老师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.

“如图7（b），延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF，BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF.在图中找出与BH相等的线段，并证明.”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图7（b）中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，试解答.

“如图 7（c），在（2）的条件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的长.”

图7

答案：（1）略；

（2）EF=BH，证明略；

考查目标：三角形内角和定理、外角性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质.

命题意图：面对第（2）小题开放式的结论，如何凭借直观猜想的结论“EF=BH”构造全等三角形进行说理是解题的关键，善于发现、运用已有的条件是“从无到有”构造的前提.对于第（3）小题，要在确定性思想引导下，运用勾股定理、相似三角形的相关知识解决问题.

命题评价：此题考查学生的几何直观、推理能力，以及在充分分析问题基础上的创新能力.创新是从无到有的智慧，善于运用归纳类比，发现研究对象之间的关系，大胆猜想、小心论证的思维品质都是培养创新意识的前提，设计开放的问题结构是培养创新意识的重要途径.此题中涉及的知识综合性较强，对学生直观想象、逻辑推理、构造创新的能力要求较高，具有较强的选拔功能.2022年中考数学试题涉及条件开放和结论开放两种形式.结论开放的试题有北京卷第27题、新疆卷第23题等，条件开放的试题有云南卷第11题、江苏南通卷第14题等.另外，例6以“确定”的方式刻画全等三角形的本质，类似的试题还有河北卷第16题，这有利于发展学生深度思考的能力.

5.动静辩证思考，彰显思维品质

“图形与几何”领域的三个主题是一个有机的整体.“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”分别从演绎证明、运动变化、量化分析的角度研究图形的基本性质与相互关系：对于看似静态的图形的性质，从变化的角度思考；面对图形的变化，从中发现不变的（静态）规律，并从量化角度对其进行刻画.“静”时“动”看，“动”中见“静”（变中不变）的辩证思想让思维的灵活性、深刻性跃然纸上.

例7（江苏·泰州卷）如图8，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O为内心，过点O的直线分别与边AC，AB相交于点D，E.若DE=CD+BE，则线段CD的长为_________.

图8

考查目标：三角形的内心、角平分线性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质.

命题意图：此题从三角形内心的性质出发，由角平分线与平行线组合得到的等腰三角形这一基本图形，可以发现当DE∥BC时符合题意.直线DE可以看作绕点O旋转，当DE⊥AB时也符合题意，运用角平分线的性质定理和相似三角形的性质等可求得CD的长.

命题评价：此题重在考查基础知识、基本技能与基本活动经验.将直线DE看作绕点O旋转，直观想象存在另一种情况，是此题不漏解的保障，也是思维灵活性的体现，考查学生的直观想象能力.上海卷第17题、贵州贵阳卷第25题等与此题有异曲同工之处.

例8（吉林·长春卷）如图9，在▱ABCD中，AB=4，，点M为边AB的中点.动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连接PM.作点A关于直线PM的对称点A′，连接A′P，A′M.设点P的运动时间为t秒.

图9

（1）点D到边AB的距离为_______；

（2）用含t的代数式表示线段DP的长；

（3）连接A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；

（4）当M，A′，C三点共线时，直接写出t的值.

答案：（1）3；

考查目标：此题考查等腰三角形的“三线合一”、平行四边形的性质、轴对称的性质、圆的定义、勾股定理等基础知识，以及分类讨论等基本思想方法.

命题意图：在点P运动的过程中，DP的长随点P在折线AD-DB上位置的变化而变化，故解此题需要分类讨论.在轴对称变换中，始终存在的数量关系是MA′=MA=2，由圆的定义，可得点A′始终在以点M为圆心、2为半径的圆上运动，这是变化中不变的规律，是顺利解决问题的基本保障.

命题评价：对静态的描述从动态的角度思考，从动态的表象下发现不变（静态）的位置关系或数量关系，都是思维深刻性的体现.类似试题有安徽卷第10题、天津卷第24题、四川成都卷第26题等.另外，变化中不变的数量关系常用函数来刻画，2022年中考中将图形的性质与函数相结合的试题有很多，不再赘述.

6.融入数学文化，凸显育人导向

数学的思想方法、理性精神、发展历史及数学中蕴含的美等都是数学文化的重要组成部分，也是人类文明的重要组成部分，这些都是宝贵的育人资源.

例9（甘肃·兰州卷）综合与实践.

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图10），它的端面是圆形.图11是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：如图11（a），将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC，在圆上标记A，B，C三点；如图11（b），将“矩”向右旋转，使它左侧边落在点A，B上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点D，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心.

图10

图11

问题解决：（1）试根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图12（a），点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，试作出圆心O.（保留作图痕迹，不写作法.）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图12（b），点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，试作出圆心O.（保留作图痕迹，不写作法.）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图12（c），点A，B，C是⊙O上任意三点，试用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.（保留作图痕迹，不写作法.）试写出你确定圆心的理由：_______.

图12

答案：第（1）小题所作图形如图13（a）所示；

第（2）小题所作图形如图13（b）所示；

第（3）小题所作图形如图13（c）所示.理由：三角形任意两条边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心.

图13

考查目标：此题考查90°的圆周角所对的弦是直径、直径是过圆心的弦、不共线的三个点确定一个圆、三角形外心的性质，以及作已知线段的垂直平分线.

命题意图：通过情境中的“矩”激活基础知识点——90°的圆周角所对的弦是直径.在活动中，一步步将问题一般化、结果精确化.同时，作图过程也从只用直尺画图过渡到尺规作图，实现对不共线的三个点确定一个圆的基础知识及相关尺规作图技能的考查.

命题评价：学生在阅读中了解历史，与古人智慧碰撞，在活动中从模仿到质疑再到创新，在作图中思考数学原理.完成这项“综合与实践”的过程也是理性精神培育、爱国主义熏陶的过程.

将数学史、数学美、地方文化融入2022年中考命题的试题有甘肃武威卷第21题、贵州贵阳卷第8题等.山东青岛卷第12题融入艺术家埃舍尔的作品，显现跨学科学习的趋势.例9是对苏科版教材九年级上册“5.4圆周角”第58页课后练习题的改编，这再次表明教材是中考命题的重要资源.回归教材、研究教材、挖掘教材资源是广大一线教师的“必修课”.

三、复习教学建议

通过对2022年中考“图形的性质”部分试题特点的分析，可以看到中考命题具有关注“四基”“四能”、注重通性通法、凸显育人导向等特点，这为提高中考复习的效能提供了指导作用.笔者结合实践对中考复习教学提出以下几点建议.

1.丰富的教学资源是提高中考复习效果的源泉

提起中考复习的教学资源，一线教师容易联想到各类教辅资料、各地中考模拟试卷、中考试题和信息技术资源辅助解题等.其实，除了这些，还有很多的资源值得开发与运用.

教学活动是师生之间在一定的教学场景（教室、数学活动场所）中进行的双边活动，包括师生、生生之间的语言、肢体、眼神、思维的交会与碰撞.教学的场景、教师的肢体语言等都可以成为课堂教学的资源，中考复习课也不例外.例如，青海卷第6题通过双手摆出的手势（如图14）直观、形象地表达了基本图形“三线八角”，不仅能够让学生温习基础知识，增强课堂教学的趣味性，而且能培养学生的直观想象力，彰显教师的教学智慧.再如，复习勾股定理时，笔者从前臂与上臂垂直的状态开始（如图15），在前臂绕肘关节旋转到与上臂分别构成锐角、钝角，将直角三角形的三边关系推广到锐角三角形、钝角三角形的三边关系，通过形象、生动的肢体语言带领学生复习了基础知识，拓宽了知识的外延，为学生高中阶段余弦定理的学习打好基础，学生对知识的理解因课堂的生动形象而深刻.

图14

图15

纠正学生的错误是中考复习的重要环节.帮学生查漏补缺、助学生提升能力、教学生规范答题的过程，也应该是教师自我反思的良机.因此，学生的错误是中考复习的重要资源.例如，笔者在带领学生复习“定义、命题、定理”时，有很多学生认为“同位角相等是真命题”，导致这个结果的原因值得深思.从学生的角度来看，是学生的基础知识存在漏洞，错误地认为同位角是两个角之间的数量关系；从教师的角度来看，可能与教师平时不规范的教学语言有关系.教师常以节约时间为由，在复习“图形的性质”时，描述定理不够规范，这在无形之中带给学生的负面影响不容小觑.实际上，这与数学学科严谨、理性的特征格格不入，所以纠正学生的错误，对学生是巩固基础知识、基本技能，对教师是反思教学行为.教师规范的教学语言和行为是课堂教学的基本要求，精湛的教学技艺是课堂教学不懈的追求.

教材是专家团队集体智慧的结晶，其中的情境、例题和习题等都是教材编写专家经过千锤百炼思考的结果，是课堂教学也是中考复习过程中的好帮手，理应成为中考复习的宝贵资源.前述例1、例3、例4、例9等中考试题中都有各版本教材例、习题的“影子”，它们为广大一线教师的中考复习教学指明了方向.

2.知识的整体化、结构化设计是提高中考复习效率的保障

《标准（2022年版）》在教学建议中提出要整体把握教学内容，注重教学内容的结构化，注重教学内容与核心素养的关联.这无论在新授课还是复习课中都应该践行，中考复习中便应如此.中考第一轮复习是对基础知识点进行“拉网式”的温习，也是进一步建立知识点之间联系的后建构过程，这需要教师对全学段知识进行通盘考虑，在整体化、结构化的教学中引领学生形成知识链、编织知识网.“图形的性质”内容的复习也不例外.

笔者以线段的复习为例说明知识的结构化设计.首先，从研究“图形的性质”的基本路径开始设计问题串：线段的表示方法有哪些？比较线段大小的方法有哪些？关于线段的性质有哪些？其次，延续线段的性质——轴对称性和中心对称性，复习线段垂直平分线的性质定理和判定定理，以及尺规作图；再次，顺延线段的中点，引领学生联想与线段的中点有关的图形，自我建构以“线段”为中心的知识网络；最后，以经典例题体现相关知识的应用.图16是学生以线段为中心绘制的知识结构图.

图16 以线段为中心的知识结构图

图形的性质是复习的第一节课，对接下来的复习方式具有引领作用.学生要以此为“模板”，类比复习角、三角形、四边形和圆的相关知识.经历这个过程后，学生不会觉得温习这些知识是简单的重复，而是感叹数学知识紧密相关.重要的是，学生的结构化思维方式在中考复习的过程中进一步得到培养，复习的效益在无形之中得到提升.综观一些综合性较强的中考压轴题，无一不是多种图形的性质、多个领域知识之间的相互融合.因此，结构化思维方式是学生适应未来发展需要具备的关键能力之一.

3.设计有效的数学活动是提升中考复习效能的重要途径

《标准（2022年版）》在“课程实施”的评价建议中提出“适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例”的要求.对照2022年中考试题，可以发现以操作实践为背景、问题意识为导向的数学活动试题有很多.数学学习的过程是感悟抽象、推理、模型等数学思想的过程，以问题解决为目标指向的数学活动有利于数学思想方法的形成.因此，在中考复习中，以数学活动为媒介，将基础知识、基本原理融入问题解决，有利于学生数学核心素养的发展.那么，对于“图形的性质”这一主题如何组织学生活动呢？

笔者认为，要聚焦知识、方法、目标，精心组织活动过程，关注学生活动动态，活动形式可大可小，微小时可以将活动嵌入解决一个综合题的过程中.例如，笔者曾在引领学生解决一道中考综合题时，设计微活动：“尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.要求：方法尽可能多，并说明作图道理”.在追问与学生之间的相互影响下，学生在15分钟内给出了6种作图方法（详见参考文献［5］）.活动中，复习线段垂直平分线定理、等腰三角形三线合一、直径所对的圆周角是直角等具体知识点，学生感悟到了直观想象、转化、推理等基本思想的力量.重要的是，学生惊叹看似熟悉的作图活动却也如此精彩纷呈，被自己的创新所感动.这种积极的学习情感有助于中考复习效能的提升.

数学活动常常是开放的问题结构，或条件开放，或结果开放，这有利于学生的思维向纵深发展，有利于学生创新意识的培养.中考复习阶段，笔者曾设计测量、折纸等数学活动.例如，在“测量学校操场旗杆的高度”这一数学活动中，学生在测量环境不断改变的过程中不断挑战、不断创新.在设计测量方案的过程中温习了全等三角形、相似三角形、三角函数等知识.活动中，通过向学生讲述关于测量的历史故事，拓宽了学生的视野，增强了学生的学习兴趣.在这个过程中，学生发挥着主体作用，抽象能力、模型观念、推理能力等素养得到发展.

4.注重数学文化的渗透是中考复习增效的催化剂

中考复习的过程是整合知识的过程，是提炼数学思想方法的过程，也是考验学生意志品质的过程.教师不仅要帮学生夯实基础知识，培育学生的思维品质，还要播种数学文化，滋养学生心灵，让学生感受到数学的魅力.

面对高强度的中考复习节奏，学生难免会感到有压力、情绪低落.对此，教师可以适时地向学生讲述数学家的故事，滋润学生的心灵，给予学生战胜困难的勇气.例如，当学生遇到困难时，教师可以为学生讲述徐光启和利玛窦合译《几何原本》的故事，徐光启以“吾迎难，难自消微，必成之”的精神翻译了《几何原本》的前6卷，给后人留下了丰厚的文化遗产.再如，在复习勾股定理时，教师可以向学生介绍清代数学家华蘅芳在十几岁时便用二十几种方法证明了勾股定理，通过实例让学生感受数学家刻苦钻研的精神.事实表明，学生喜欢听故事，这些数学家的励志故事可以提升学生学习的兴趣，传递积极向上的精神力量，培育良好的品格，有利于中考复习的有效开展.

数学文化内涵丰富，对于数学的历史、数学家的故事、数学的文本阅读等，教师可以适时融入中考复习教学中，这不仅是迎接中考检测的必要准备，也是培育学生优秀品格的重要过程.

四、典型模拟题

1.下列选项中的四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）.

答案：C.

2.如图17，正方形ABCD中.

（1）在图17中用无刻度的直尺和圆规作图：作等边三角形DHG，使点G，H都在正方形的边上.（不写作法，保留作图痕迹.）

图17

（2）在（1）的条件下，若AB=4，则DH的长为_____.

答案：（1）所作图形如图18所示；

图18

3.在数学活动课上，小明用一张长方形纸片，通过剪、折等活动，发现了一系列有趣的结论.活动准备：将一张长方形纸片裁剪成一张最大的正方形纸片和一张矩形纸片，再将裁剪成的正方形纸片和矩形纸片分别裁剪成4张一样大小的正方形纸片和2张等宽的矩形纸片（按如图19所示的虚线裁剪）备用.

图19

活动1：取其中一张矩形纸片，将它折成如图20所示的V形图案，则重叠部分的三角形形状是______；

图20

活动2：如图21，将两张等宽矩形纸片交叉重叠，重叠部分的四边形形状是_______；

图21

活动3：如图22，取一张正方形纸片（正方形ABCD）沿虚线对折，再过点D将顶点A折到折痕上的点A′，则∠A′DC的度数为_______，若再沿A′C折叠纸片得折痕A′C，则△A′DC的形状是_______；

图22

活动4：在活动3的启发之下，另取一张正方形纸片，按如下步骤折纸：

如图23，①对折正方形纸片，得折痕GH，并展开；

图23

②过点D将点A折叠到折痕GH上的点A′；

③过点D将边CD折叠至与DA′重合，折痕为DE；

④过点E将EC折叠至与DE重合，折痕为ME，写出DM与CM的数量关系，并说明理由.

活动5：如图24，等边三角形DPQ的三个顶点都在正方形的边上，我们把这样的等边三角形叫做正方形的内接等边三角形，也是一张正方形纸片能折出的最大等边三角形.再取一张正方形纸片折一折，并画出示意图.

图24

答案：活动1：等腰三角形；

活动2：菱形；

活动3：60°，等边三角形；

活动4：DM=2CM，理由略；

活动5：折纸步骤如图25所示.

图25

4.阅读：我国古代几何学历史悠久.田亩丈量、天文观测、测高望远都是我国几何学的主要起源.古代数学家依据面积测量、勾股运算等，总结经验成果，形成了“出入相补”的一般原理，即把图形分割成若干块，则各部分面积的和等于原来图形面积.魏晋时期伟大数学家刘徽所著的《海岛算经》是一部测高望远的专著，他依据出入相补原理，运用“矩立表”（古代测量仪）达到望高、知远、测深的目的.

（1）走近古代数学家.

如图26，在矩形ABCD中，点O为对角线AC上任意一点，过点O分别作AB，BC的平行线PQ，SR，试找到图中面积相等的矩形，并证明.

图26

（2）与古代数学家思维碰撞.

《海岛算经》首题“望海岛”：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何.”其大致含义是：如图27，现观测海岛，两个测量仪（DE，FG）的高都为3丈，之间的距离（EG）为1000步，且在同一条直线上.从第一个测量仪（DE）处后退123步（EH），岛峰、测量仪末端、人目在同一直线上（A，D，H共线）；从第二个测量仪（GF）处后退127步（GI），岛峰、测量仪末端、人目在同一直线上（A，F，I共线），求岛高（AB）及前测量仪（DE）与海岛之间的距离（BE）.（注：1丈约为2步.）

图27

①刘徽在专著中给出海岛高（AB）的计算公式：，（前表去岛）公式：，试运用（1）的结论证明这两个公式；

②解决《海岛算经》首题.

答案：（1）SDO=SOB（“SDO”表示矩形DPOS的面积，下同），证明略.

（2）①如图28，补全矩形.

图28

公式1：由（1）得，SCE=SMK，SCG=SJP.

所以SDG=SJP-SMK.

所以DE·EG=MD·（GI-EH）.

公式2：因为SCE=SMK，

所以BE·DE=MD·EH.

②岛高（AB）为1506步，前测量仪（DE）与海岛之间的距离（BE）30750步.