小学数学高阶思维发展的一致性教学

王鑫 （贵州省毕节市纳雍县厍东关彝族白族苗族乡梅花小学）

高阶思维是现阶段数学教学改革普遍关注的问题。数学是思维的科学，学生要具备数学核心素养，就离不开发展学生的数学思维。教师带领学生开展教学工作时，要能够在核心概念的基础上将关注点放到培养学生高阶思维方面。

一、统领核心概念，感受内容一致性

（一）在概念的透彻理解中明晰核心概念

开展概念学习是学好数学这门学科的基础。数的概念种类繁多，就算某些学生在平时的生活里面已经对此有一定认识和接触，然而其本身对数的概念的认识也只是停留在表面，远没有达到透彻与精准的程度。教学整数知识时，教师可以引导学生对身边具体物件数量进行联想，加深对整数的理解，例如教师可以选择十进制方式以及计数单位完成计数工作，能够将“无限”用“有限”来表示；教学分数知识时，教师可以引导学生清楚地知道分数是在度量物体或者等分物体的过程中形成的，要对计数单位“细分”才可以将数的大小精准的表示出来；教学小数等相关知识时，教师可以利用长度单位度量或者人民币计数等具体问题，带领学生将数的大小精确表示出来。这种在概念上的精准定位，会使学生对“数”形成一致性认识，即其均源自于抽象的数量关系，对于计数或者是度量单位来说，可通过计数单位直接完成。整数本质上是计数单位持续增加，小数以及分数则是计数单位的持续细化。

在形成这种认知的基础上，教师继续利用数的形成背景协助学生对数系扩展网络进行梳理，也就是整数本身是加1 的运算，是以1 为起点的持续累加，逢十进一，继而总结成加法运算；分数的获取一般是“等分除”，也可以是“包含除”，属于“新”数，继而将其归属于除法运算；小数是以1 为起点展开细化的，在分数中属于较为特殊的一类，继而得到小数在运算方面具有较高便捷性的结论。如此一来，学生在学习过程中能够总体展开理解：“不论是小数、整数抑或是分数，这三者具有一致性的逻辑关系。”

在此前提下，教师可以再借助计数单位的概念就能够站在总体方面来针对形形色色的数的计数方式展开解释，从而引导学生加深对数的认识。然而因为“计数单位”这个概念本身具有较高的抽象性，在这种情况下教师需要在充分了解学生认知规律以及年龄特点的前提下引导学生分步骤完成知识的提炼工作，同时要在学习数的意义时对数的读写有更加深入的认识，并且从中掌握数的深入应用。例如，在认知整数方面，学生在教师的带领下，可以对20 以内的整数进行学习，教师可以合理利用实物来为学生展示何为满十进一，从而加深学生对数的意义的理解，随后教师也可以借助数的大小比较和读写，从而引导学生更深入地来认识单位。如果学生是对万以内的整数进行学习，可通过对计算器进行使用，这样教师可更好地帮助学生对“十进制”计数方式、计数单位以及数的意义有所理解，同时在数的大小比较和读写过程中将计数单位的价值还有应用体现出来。在中年级数学教学中，教师在传授给学生较大整数的相关知识时，其能够合理利用数位顺序表来协助学生对数的分级、意义、读写等内容展开深入认识。在认识小数以及分数方面，教师在教学过程中依旧可以利用类比整数的方式，学生在学习过程中也可以明确该计数方式的本质。学生在复习时，可对“计数单位”重复利用，进而总结出小数和分数以及整数的计数方式：705456=7×100000+0×10000+5×1000+4×100+5×10+6×1，7/9=7×1/9，0.55=5×0.1+5×0.01……通过不断地对比和学习，学生便能够对其计数方式有一定的认识与了解，也就是借助“计数单位”来对数的大小进行表示。

（二）在算理的多元表征中概括出核心概念

学生通过教师的引导，对数学运算不断地学习。教师务必要让学生掌握算法技巧，同时还需要帮助学生加深对算理的理解。如果学生只了解算法但不清楚算理，那么计算便仿佛是海市蜃楼，在这种情况下学生就无法扎实地掌握数学知识；如果只是了解算理但不清楚提炼算法，那么就会导致计算完全脱离技能，学生在学习数学知识的过程中就无法对知识本质有所了解。基于此能够发现，教师需要帮助学生多方面理解算理，同时还需要以形和数为切入点帮助学生掌握运算技巧，唯有如此才可以将学生对运算概念的认识程度加深。数的运算方面有相对烦琐的形式，而且还会对不少内容都会涉及，如数学运算中的加减乘除，不但有分数，还会有小数以及整数等，同时还有不同的运算性质，然而以上内容均能够借助“计数单位”实现算法理解与算法提炼。

教师在讲授小数、整数以及分数加减法的过程中，能够借助算式以及竖式的方式将合理的情境创设出来，同时在横式内完成算法提炼与算理步骤，也就是它们均是分母相同或者相同数位对齐才能够完成加减。从本质上来看，所谓的一致性是在计数单位相同的基础上才可以完成加减。比如，教师在教授学生小数、整数以及分数乘法的过程中，其也能够采取合理方式将具体情境创设出来，并且利用言语符号表征以及实物图形表征，使得学生可以在与数的计数方式相结合的情况下借助观察和对比来对算理加以理解。无论是运算结果，还是具体的过程，都是按照如下方式来进行的：“（计数单位×计数单位）×（计数单位总数×计数单位总数）”，比如说100×6；0.2×0.3=（0.1×0.1）×（2×3）=0.01×6；2/3×4/5=（1/3×1/5）×（2×4）=1/15×8。将关注点放到除法知识上，教师在教学工作中能够结合等分除和包含除，学生可联合多元表征，基于此方可充分地认识数理，进而可直接概括出算法：“新的计数单位×新的计数单位个数”。比如说，80÷4=（10÷1）×（8÷4），2/5÷3/7=（1/5÷1/7）×（2÷3）=2/5×7/3。即便数的形态千变万化，然而站在运算层面而言，运算形式具有相同性时其本质也同样具有一致性。

二、建构内在联系，感受结构一致性

（一）运用联系的观点增强结构化的意识

数学学科，其中存在的一个关键特征便是普遍联系。知名学者郑毓信曾经表示：“教师在开展数学基础知识教学工作时，切忌将教学重点放到知识的传授广度上，其需要关注的知识的关联性。”学生在数学学习时，要想对数学本质精准掌握需要采用联系观点，方可保证数学结构的一致性。基于此，教师在传授学生知识时需要站在“联系的观点”上带领学生对问题展开全方位分析，从而将所有知识的关联性揭露出来。除此之外，教师也可以带领学生借助数学原理来对新的结论与规律展开推导。

学生学习数学时，务必要将两个问题进行解决：“同时增值某一真分数的分子及分母，那么这一分数会出现怎样的变化？”“两车在运动过程中相遇，倘若甲车提速，而乙车始终保持原有速度，那么两车相遇过程中甲车相比以往而言其所行路程的变化趋势如何？”在分析这两个问题的过程中，部分学生会借助设具体数的方式对以上问题展开求解，由此来获得最后的结论。然而，教师可以进一步加深学生学习程度，教师可以将本次教学内容与“糖水内糖分提升，糖水变甜就代表含糖率提升”的道理联系在一起，从而为学生答疑解惑。不仅如此，教师也可以借助关联分数的方式来对问题展开解释，这样一来就可以帮助学生全面提升自身的高阶思维能力，也就是说在分子分母扩大倍数相同时其分数值保持固定，可是如果分子相比分母而言其扩大倍数较多时，那么分数值便会增加。与此同时，也可以引导学生思考：“生活里面是否还存在一些数学问题能够解释该道理？采取这种关联式的方式可以将学生的发散性思维提升，同时帮助学生加深理解。借助“联系的观点”的方式对数学知识展开处理，如此可以帮助学生搭建起完整的数学学习体系。

（二）抓住内在的逻辑形成结构化的体系

布鲁纳表示：“一个人具备较强的学科结构化观念，则越能完成时间较长学习情节以及充实的内容。”喻平教授也表示：“在理解数学概念及命题时，对其内涵进行理解的同时，对其外延也要明确，进而将概念或命题体系所形成。”所以，学生要在教学中学习整体架构，对知识联系进行探寻，进而找到知识背后的逻辑意义。

体积单位是在六年级进行的学习，会有1 立方厘米的正方体与1 平方厘米的正方形以及1 厘米线段出现在教材上，让学生对其比较，讲出其具体区别。假如学生的理解仅仅停留在单位层面，那么可知学生在这个方面的认知水平还需提高。如果学生的认知是在单位的基础上，指出进率、维数、运动这三个板块，并能将三者联系起来并对比，就可较大程度地提高认知，而且在数学结构上，可统一度量单位。教师为了对学生进行引导和提示，可采取动画演示的方式：点动成线，而线动则成面，面动则成体，长度和面积以及体积分别与一维，和二维以及三维相对应。为了让学生更好地理解，可对方块或图形进行借助：长度是由一个左右方向的量来决定的；面积是由两个方向的量所决定的，需要左右乘以前后；左右和前后以及上下相乘，这三个方向的量决定了体积，因此在长度和面积以及体积的相邻单位之间，进率表现分别是101和102 以及103。经由深层比较以及发散思维，让学生对体积单位的本质有一个更深层次的理解。

三、凝练数学思想，感受本质一致性

（一）在性质探究中感悟数学思想

学生数学学科素养的形成，离不开对数学性质的掌握与运用。在小学有不少知识都需要对数学性质进行运用与掌握，然而其相对抽象化，只有了解其本质的基础上，才能对其真正地理解并完全掌握，对其更深层次地数学思想揭示出来，方可进一步提高学生的思维能力与认知水平，还有解决问题的本领。

在学习“能被2、3、5 整除的数的特征”时，教师一般关注的是学生对性质的探索、发现及运用，而对性质验证进行了忽略，这样会导致学生缺乏严密的思维，学生也只是对性质有一个浅层的理解与认识，很难对本质有所理解。基于此，教师带领学生开展探究性活动时需要充分发挥学生主动性，引导学生探究性质背后的道理。所以，在教学表征演示时，教师可对方格图和小正方体模型以及计数器等学具进行借助，进而对整数进行拆分，如此学生便可以在数的“分”“合”之中获得宝贵经验。接着，经由整理后让学生在整体层面上理解它们都是对“数形结合”的数学思想进行的运用，进而对整除性质进行探寻来理解和感悟，其本质属于整数的“分”与“合”，是具体应用的“同余数理论思想”，进而将数学学习的简化和优化以及化归与转换进行了实现。

（二）在运算律理解中启发数学思想

运算律在数学学习中属于必不可少的内容，其主要是对部分等式展开观察与分析后，针对运算规律展开抽象概括。学生对算法的探索以及对算理的理解上，其推理依据与基础就是运算律，运算律在数与运算中所处的地位不言而喻。放眼于小学阶段，其具体涉及的运算律包含众多，主要有乘法的交换律、加法结合律等。先前教师带领学生开展运算律教学工作时，其通常会带领学生在解决问题的过程中得到部分等式，然后再安排学生对这部分等式展开观察与对比，进而将运算律概括出来，然后对其运用，对具体问题进行解决。

学生在运算律方面要深入强化，需要从两个方面进行，即“数”与“形”。刚学习运算律时学生应该在教师的引导下，对具体问题解决时采用多元方法，接着从“数”的方面去理解：虽然有不一样的计算顺序，然而却有着相等的结果，其是对相同问题展开处理，基于此即便不做任何计算，依旧可以获得相同的结果。比如，教师带领学生学习加法结合律的过程中，教师可以根据现有工具将合适的问题情景设置出来：“课间操场上，跳绳的男生和女生分别有21 名和35 名，还有15 名女生选择踢毽子。那么在操场中跳绳还有踢毽子的学生总人数是多少呢？”学生根据问题列出的算式可能是15+（21+35）”也就是踢毽子与跳绳人数的总和。然而教师也可以列出下列算式：“21+（35+15）”，该算式是指男生与女生人数的总和便是操场的总人数。基于此，可将更多类似算是罗列出来，接着在说理及验证上可从两个方面来进行，即解决问题与计算结果，进而将结合律进行明确。与此同时，教师仍需对几何图形进行借助，对结合律成立原因可从“形”的方面来解释。就像三角形的周长，可进行三个列式，分别是（a+b）+c，或者是a+（b+c），也可以是（a+c）+b，以上均是三角形周长，因此最终的计算结果肯定是一样的。那么学生对规律的认识和验证以及解释方面，能够由“形”和“数”两方面为着眼点展开，从而帮助学生深刻地理解到运算规律的本质，通过数学思想的启发，也让学生具备了更为缜密和逻辑的思维。

学生在理解运算律方面，需要在两个方面进行深化，即“变”与“不变”。对验证及推导五个运算律的前提下，学生通过对图形的借助，可将运算律中涵盖的“变”与“不变”感悟的会更直观：方法及顺序是变得，也就是可将方向进行变换，进而将多种算式列出，进而解决相关问题；思想和结果是不变的，也就是通过对几何的借助，对确定及唯一的线段总长和体积大小以及综合面积等解释得更为直观。基于该教学安排下，对运算律的本质及关联可让学生理解的更深入，从而搭建起系统且完善的结构化认知体系，并且学生也会对数学思想的真谛有所领悟，这对学生接下来认识运算规律本质一致性具有积极意义。

现阶段的小学数学教学工作中，不少教师也开始选择一致性教学的方式，而选择该教学方式可以帮助学生将更加完整的知识体系搭建起来，同时也可以帮助学生深入理解知识本质。不仅如此，学生在参与教学任务时可以对其中所涉及的数学思想有深刻感悟。可以说一致性教学是提升学生高阶思维能力以及培养学生核心素养的科学方式，教师在开展教学改革工作时应该以一致性教学工作为主要发展方向。