求解抛物线内三角形面积最值问题的两种思路

吕庆华

抛物线内三角形面积的最值问题较为复杂.一般地，抛物线内三角形上的顶点为动点，要求其面积的最值，往往需先根据题意确定动点的位置，或求得三角形面积的表达式.这就需要灵活运用三角形的面积公式、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、弦长公式以及抛物线的几何性质来解题.下面，介绍求解抛物线内三角形面积最值问题的两种思路，以供大家学习、参考.

一、割补图形

有时我们很难快速求出在抛物线内三角形的底与高，此时不妨采用割补法，将三角形分割或填补为易于求得出面积的几个图形，这样便可快速求出三角形面积的表达式.然后将其看作关于某个变量的函数式，利用函数的性质来求得最值.

例1.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C .

先過三角形的一个顶点作坐标轴的一条平行线，就可以把这个三角形分割成两个小三角形，再计算两个小三角形的面积，即可求出原三角形的面积，最后根据二次函数的性质进行求解即可.在割补三角形时，需根据已知条件和三角形的形状将三角形割补为规则的三角形、梯形，这样便于快速求出三角形的面积.

二、利用切线法

若抛物线内三角形底边的长度不变，就只需要求得三角形的高的最值，即可求得三角形面积的最值.若已知抛物线内三角形的底边所在直线的方程，则只需采用切线法，过三角形的顶点作出与三角形底边平行的切线，那么该切线与三角形底边之间的距离即为三角形的高的最大值，此时三角形的面积就最大.

先结合图形，根据直线和抛物线有一个交点时，三角形的高最大，来确定三角形顶点E的位置；然后作出过点E的抛物线的切线；再根据切线的特征，建立关系式△=0，从而求得直线的斜率和抛物线内面积的最值.

总之，在求解抛物线内三角形面积最值问题时，要先观察题目中给出的三角形的特点，再尝试求出其底和高，若不能，则需要通过割补或者作切线，来求三角形的面积，从而求得面积的最值.

（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）