基于有限元的摆杆-摆锤系统模态分析

吴燕瑞，刘 婷，程国飞，魏文强，苏开华

（中山火炬职业技术学院，广东 中山 528437）

目前在评价金属材料冲击韧性的方法中，仪器化冲击试验作为一种新方法，得到了广泛的认可。该方法通过测出冲击过程中的力-位移曲线来计算冲击功，并使用曲线上的特征值-最大力Fm将冲击功分成了2 部分：裂纹形成功及裂纹扩展功；另外，还使用曲线上的特征值来计算冲击试样断口的韧性断面率[1]。相对于传统的冲击试验方法，仪器化冲击试验的冲击功具有更加明确的物理意义，能更准确评价材料的刃脆性。

仪器化冲击试验方法用于评价材料冲击韧性的可靠性，关键在于能准确地获得冲击过程的力-位移曲线。目前的仪器化冲击试验方法主要采用应变式力传感器测出冲击过程中摆锤所受到的力-时间曲线，而位移一般通过用力-时间曲线计算得到，或者通过传感器直接测出[2]。但是该方法对应变式力传感器的标定是在静加载的情况下进行的，而测定冲击载荷属于动态测量，导致测量误差大、线性度差和漂移严重等问题[3]。于是，学者Anton 等[4]提出用加速度传感器测出冲击过程的载荷历程、位移传感器测出位移历程，再将2 路数据相结合从而获得力-位移曲线，但是发现由于摆杆-摆锤系统在冲击载荷的作用下产生振动响应，导致采集到的加速度信号存在高频振荡信号，最终导致用力-位移曲线计算出的冲击功与冲击试验机表盘上的读数相差非常大。据此，苏文桂等[3]通过分析加速度信号中振荡信号的来源，提出的加速度信号中的振荡信号主要来自摆杆受到试样的反作用力后的振动响应。因此仅需要采用低通滤波和平滑技术对采集到的加速度信号进行处理，就可以去除加速度信号中的振荡对计算结果的影响[3]。

实际上，上述分析方法中所测得的加速度信号是摆锤-摆杆系统在冲击激励下的响应，并不是输入的冲击激励本身。如果将摆锤-摆杆系统看做线性时不变系统，其在瞬时冲击激励下的响应，可以看做是系统在激励下引起的各阶固有模态振型振动的叠加。因此，如果先通过模态试验求出摆杆-摆锤系统的模态振型，再测得其在冲击激励下的响应，就可以根据激励、系统和响应这三者的关系，求出系统受到的冲击激励。另外，在仪器化冲击试验方面，主要从时域角度对力-时间曲线的特征值进行分析，很少从系统冲击频谱响应角度对输入的激励特征值进行分析。本文拟对夏比冲击试验机的摆杆-摆锤系统建立模型，采用有限元对系统进行模态分析，得到系统的前15 阶模态的振型及固有频率，为下一步的模态实验提供理论支撑，并为预测摆锤-摆杆系统在冲击激励下的频谱响应特性提供参考。

1 模态分析基本理论

模态是作为弹性体的结构固有的振动形式，结构的每一个自振频率都会对应1 个振型，任何1 个振型又都有特定的模态参数，即质量、刚度、固有频率及阻尼比与之对应。识别出结构的这些模态参数的过程就称为模态分析。模态分析的经典理论基础是假设系统的复杂振动是由无数独立的单自由度振动线性叠加的结果。模态分析就是将系统的复杂振动分解为许多简单而独立的单自由度振动，并用一系列的模态参数来表征振动的过程[5]。通过模态分析，获得系统的模态振型，就可以预测系统在某一已知激励作用下，系统的各阶模态的振动响应特性；或者在不方便测得输入的激励时，通过测得系统输出的振动响应，计算输入的激励。

目前模态的分析方法按照计算方法可分为：理论模态分析和实验模态分析。

理论模态分析是将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[6]。目前，理论模态分析的主要方法是基于计算机仿真技术的有限元计算分析法（FEM）。有限元法利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟，其核心思想是先用简单而又相互作用的元素（即单元）去简化实际结构，然后就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统[7]。有限元法的具体实施步骤：首先将结构离散化，建立1 个数学模型（该模型的特征向量包含了振动系统的固有频率矢量及固有振型矢量）；然后，通过求解该数学模型，从而得出系统的各阶模态所对应的固有振型及固有频率。随着近代计算机技术的不断发展，有限元分析软件也得到不断完善，各种操作简单的有限元软件使得有限元模态分析法得到了广泛的应用。

实验模态分析（EMA）就是通过实验建立1 个激励-系统-响应的模型，目的是研究激励、系统和响应这3 个模态参数之间的关系。实验模态分析的步骤：首先利用实验测得系统受到的激励时间历程和响应时间历程，然后运用数字处理技术求出频响函数和脉冲响应函数，再运用参数识别方法，求得系统的模态参数，这些模态参数包括固有频率、固有振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等[6]。系统受到的外部激励通常使用力锤或激振器施加，再使用传感器来采集激励及响应。在实际应用中，实验模特分析具有很大的局限性：需要结构的激励信号。但是，鉴于结构的特点与工作环境，一些结构很难人为地输加激励或激励信号无法测试[8]。

针对摆杆-摆锤系统的特点，本文采用有限元法对系统进行模态分析，并求解出其前15 阶模态的振型及频率。

2 摆杆-摆锤系统有限元模型及其模态分析

2.1 摆杆-摆锤系统的数学模型

将摆杆-摆锤系统看做是1 个n 阶自由度的线性时不变系统，其运动微分方程为[9]

式中：M 为系统质量矩阵；C 为系统阻尼矩阵；K 为系统刚度矩阵。

对于线性时不变系统，其上任一点的响应值可用其各阶模态响应的叠加来表示。令

式中：qr为第r 阶模态坐标；φr为第r 阶振型系数。

设振动系统受到简谐激励的作用，即f（t）=Fejωt，则qs=Qsejωt，F 为激励幅值，ω 为稳态响应频率。

可得到当激励作用于j 点时，i 点的响应为[5]

式中：Hij为i、j 两点的传递函数。

2.2 几何模型的建立

冲击试验机型号为JXB-300。摆杆-摆锤系统可以看作用铰链约束于机架的刚体，因此只建立摆锤-摆杆系统的三维几何模型。经过简化之后，模型主要包括摆杆、摆锤。用UG NX 软件建立的摆锤-摆杆系统几何三维模型，如图1 所示。

图1 摆杆-摆锤系统的几何模型

2.3 有限元模型的建立

2.3.1 材料添加

将几何模型导入SOLIDWORKS 软件，建立有限元模型。模型所采用的材料属性见表1。

表1 材料属性表

2.3.2 网格划分

选定Solid 187 四面体单元对模型进行网格划分，单元总数为3 978 个，节点总数为11 911 个，具体划分情况如图2 所示。

图2 摆杆-摆锤系统的有限元模型

2.3.3 添加约束

根据实际情况，在摆杆顶部添加铰链约束、沿销轴径向及轴向添加固定约束，保留系统绕销轴旋转的自由度。

2.4 模态分析结果

对摆杆-摆锤系统进行有限元模态计算分析，其前15 阶模态振动频率和振型如图3 所示。

图3 摆杆-摆锤系统的前15 阶模态振型

根据共振理论，当系统受到的外部激励与其固有频率相等时，将引起结构的共振。那么，可以预测在模态实验中，当输入的外部激励与系统的某一阶固有频率相近或相等时，将激起系统以对应固有频率振动为主的振动响应，其响应的频谱能量只要集中在对应的固有频率处，即该固有频率处的功率谱密度的幅值最大。故可在进行模态实验时，将激振器的激振频率值设置为上述有限元分析得出的系统的固有频率值，并采集系统的响应。可以预测系统的响应在对应频谱处的功率谱密度幅值将是最大的。摆杆-摆锤前15 阶固有频率的计算值见表2。

表2 摆杆-摆锤前15 阶固有频率

从表2 的分析结果中可以看出，摆杆-摆锤的15阶固有振动频率均低于3 000 Hz。冲击激励的脉冲持续时间越长，其能量就越集中在低频处，越能激起系统低阶固有频率的振动，反之冲击脉冲持续时间越短，越能激起系统高阶固有频率的振动。据此在进行摆杆-摆锤系统的模态实验时，可根据输入的冲击激励的频谱特性预测摆锤-摆杆的振动响应的频谱特性。

在实际的冲击试验中，试样受到的摆杆-摆锤的冲击载荷的作用，如果该冲击载荷的能量主要集中在试样的一阶固有频率处，试样将因为共振而发生断裂。根据文献[10]试样的一阶固有频率约为10 000 Hz，即冲击试验中试样受到的摆杆-摆锤系统的冲击激励的频谱能量主要集中在约10 000 Hz 处。反过来试样对摆杆-摆锤系统的反作用力的主要能量也是集中在10 000 Hz 左右，一方面可以预测摆杆-摆锤系统在越接近10 000 Hz 的固有频率处的振动响应将越强烈。其表现为响应信号中的高频振荡现象，但是由于系统阻尼的存在，该响应很快就衰减掉；另一方面系统低阶固有频率处的被激起的振动响应很小，可以忽略不计。这些结论与文献[10]在冲击试验中所测得的结论均一致，表明该有限元分析结果是可靠的。

3 结论

本文基于有限元法对摆杆-摆锤系统的模态进行分析，分析结果获得了比较好的预期目标，可以为下一步模态实验提供有效的理论支撑；另外，也可以预测系统在冲击激励下的频谱响应，为后续从频域角度分析冲击试验的冲击激励频谱特征值提供数字化模型。