基于范希尔理论的直线和圆的位置关系教学设计

扬州大学数学科学学院(225000) 彭烁姿 王张毅

1 引言

几何是中学数学的重要组成部分,是提升学生几何思维的载体,学好几何知识有利于学生理解和把握数学的本质.“直线和圆的位置关系”是人教版教材九年级上册的知识内容,这节内容不仅包括探究直线和圆的位置关系,而且有助于学生对勾股定理、全等三角形、点和圆的位置关系等多个知识综合认知.针对这部分的教学内容,许多教师在教学时存在这些问题:①忽视学生的主动探究,在设置探究活动时会指出解决问题的方向.例如在学习相交、相切、相离的定义时,有的教师提出让学生从公共点个数来区别图形,直接给出解决问题的角度反而会限制学生思维; ②不注重知识间的联系,直线和圆位置关系的判别方法与点和圆位置关系的十分相似,两部分内容本质上也密切相关,但是在教学中,一些教学设计不强调两者间的深层联系,不利于学生知识网络的建构.

所以,教师应该改变教学方式,设置有效探究活动,引导学生主动探究,在活动中发展学生的数学思维,提升学生的核心素养,促进学生分类、类比、转化等数学思想的发展.在教学时,教师还要帮助学生对知识进行归纳、整合,让学生形成良好的几何认知结构.良好的几何认知结构能更好促进学生对几何信息的有效组织[1].在有关学生的几何概念发展与学习的研究中,范希尔的几何思维水平体系是最有影响的理论之一[2],该理论提出的五个教学阶段有助于教师解决现存的这些问题.本文将范希尔理论融入直线和圆位置关系的教学设计,期望在提高学生的数学素养、几何思维水平等方面达到更好的效果.

2 范希尔理论简介

为了解决教师、教材和学生理解的几何知识不同步的问题,范希尔夫妇结合教学实践提出了范希尔理论.这个理论的核心有两个:一是几何思维的五个水平(视觉—分析—非形式化演绎—形式化演绎—严密性);二是与之对应的五个教学阶段[2,3].

这五个教学阶段分别是:(1)学前咨询,教师和学生就学习对象进行双向交谈,教师衡量学生的思维水平,学生理解要学习的课题;(2)引导定向,教师根据学生对一些简单问题的回答为学生安排活动,使学生明确学习的方向,找到正确的学习方法;(3)阐明,教师使用正确的语言符号向学生讲解,学生依据自身的经验理解和掌握教师所讲知识,学生开始形成学习的关系系统;(4)自由定向,学生使用不同的方法解决问题,在此过程中获得经验; (5)整合,学生回顾和总结所学知识,将对象与关系内化为一个新的思维领域.

3 范希尔理论与直线和圆的位置关系教学设计融合框架

本文将范希尔理论的五个教学阶段与直线和圆的位置关系教学设计相结合,课堂活动与五阶段的对应关系如下.

表1 范希尔理论的五个教学阶段

4 直线与圆的位置关系(第1 课时)教学设计

阶段1 学前咨询

活动1之前已经学习过点和圆的位置关系,点和圆的位置关系有哪些? 怎样判断点和圆的位置关系?

设计意图学生补充表2,复习与新知有关的旧知,教师了解学生对已有的相关知识的掌握情况.回忆探究位置关系的过程和方法,促进知识的正向迁移,定位新知的“生长点”,为学习新知做准备.

表2 点和圆的位置关系

活动2过一个点可以画出无数条直线,请同学们在点和圆位置关系的基础上过这三个特殊的点画直线,观察所画直线与圆的位置关系.

设计意图通过数学情境引出课题,学生在三个点和圆位置关系的图形上动手操作,尝试画出直线和圆的各种位置关系,通过展示不同学生的图形,得到直线和圆所有位置关系的图形表示(图1).

图1

阶段2 引导定向

活动3通过刚刚的画直线活动得到了以上直线和圆的六个位置图形,同学们能将以上六个图形按照某些相同点进行分类吗?

设计意图通过观察几何图形,培养观察、归纳能力,引导学生依据公共点个数对六个图形进行分类,渗透分类思想.学生经历直线和圆三种位置关系定义的生成过程,水到渠成地获得这三个定义.

活动4借助几何画板从公共点个数探究直线和圆的位置关系.

设计意图通过活动3,学生已从公共点个数将直线和圆的位置关系进行分类.在几何画板动态演示时,学生观察直线和圆公共点个数变化时直线和圆位置关系的变化,引导学生整理出直线和圆相交、相切、相离的定义,并介绍圆的割线、圆的切线、切点的定义.

活动5联系生活情境.生活中处处有数学,请同学们回忆日出的过程,观察日出的这几幅图片,可以和学过的哪些位置关系相联系?

图2

设计意图学生对日出图片进行数学抽象,将地平线抽象成直线,太阳抽象成圆,对应圆和直线的三种位置关系.感受数学与生活的联系,在日常生活中用数学模式对事物进行思考和判断.

阶段3 阐明

活动6请同学们观察(图3),判断直线和圆的位置关系.当仅凭观察公共点个数无法精确地刻画直线和圆的位置关系时,需要用更为精确的特征来刻画[4].想一想,还有其他方法可以判断吗?

图3

设计意图学生发现仅通过观察无法精确判断位置关系.回忆点和圆位置关系的判断方法,复习点和圆的位置关系中点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系,进行方法的正向迁移,感受方法的通用性,渗透类比思想.学生动手操作,小组合作探究.结合几何画板直观感受直线到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系与直线和圆的位置关系的变化.在图形的变化过程中了解用距离d和半径r的大小关系判断位置关系方法的可行性.

活动7整理直线和圆的位置关系相关知识.

表3 直线和圆的位置关系

设计意图知识总结.对直线和圆的位置关系有关知识形成一个清晰且完整的认识.

阶段4 自由定向

例题1在∆ABC中,∠A=45◦,AC=4,以点C为圆心,r为半径的圆与AB所在直线有怎样的位置关系?

(1)r=2; (2)r=(3)r=3.

图4

设计意图习题是教学中重要的反馈资源,学生在思考的过程中不断巩固知识,实现知识结构的内化[5].该题检验学生能否灵活运用直线到圆心的距离与圆的半径的大小判断直线和圆的位置关系,通过画图解决问题,渗透数形结合思想.这个活动对应的是范希尔理论的自由定向阶段,学生运用所学知识去探究圆和直线的位置关系,在解决问题的过程中获取经验.

阶段5 整合

活动8将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系相联系.这两种位置关系之间有什么联系?

图5

设计意图在活动5 学生所画直线到圆心距离的基础上,引导学生发现直线到圆心的距离其实是过圆心作垂直于直线的垂线,该垂足到圆心的距离,垂足到圆心的距离即点到圆心的距离.当直线和圆相交时,垂足在圆内;当直线和圆相切时,垂足在圆上;当直线和圆相离时,垂足在圆外.将直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系建立内在联系,通过图形观察,引导学生发现:直线l与⊙O的三种位置关系,实质上就是垂足与⊙O的三种位置关系.渗透转化思想,将直线和圆的位置关系的本质转化为点和圆的位置关系,实现对知识的深度学习.在直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系之间强化关联,对这两种图形的位置关系进行本质探究,将本节课的知识纳入图形的位置关系知识框架中,建立系统的几何知识网络图.

活动9总结归纳.通过本节课的学习,你获得了哪些知识和方法?

设计意图学生总结本节课所学到的知识与方法,感悟分类、类比、转化数学思想的渗透过程,给教师提供反馈资源.

5 小结

本文教学设计案例中的一系列探究活动具有进阶性的特征,对于帮助学生几何思维向更高水平过渡有着重要意义.在引导定向和阐明阶段始终以学生为探究活动的主体,在后续探究活动中教师仅在学生思维受阻时适当提示、引导,不直接给学生问题答案.在阐明和整合阶段强调直线和圆的位置关系上与点和圆的位置关系间建立实质性联系,有助于学生发现知识间的深层关系、感受数学知识间的整体性与系统性.这为教师解决在几何教学设计中存在的问题提供了一条有效路径.

范希尔理论作为几何教学的重要理论框架,提出学生几何思维水平发展的次序性与进阶性,强调教学活动对学生几何思维水平发展的重要作用,并形成了以发展学生几何思维水平为目标的教学设计模式,具有很强的应用性、实践性与可操作性.上述教学设计结合范希尔理论的五教学阶段展开,充分考虑学生在不同阶段的知识基础与能力水平,针对学生几何思维设计相应的教学活动,以帮助学生掌握几何知识、改进几何理解,从而提升几何思维水平.