《复数的乘、除运算》教学设计

俞红玉 黑龙江省哈尔滨市方正县第一中学校

●创新整合点

①利用PowerPoint制作多媒体课件，使课堂生动灵活，结尾简介“复数”这个神奇而又充满魅力的“诡辩量”—i，激发学生的学习兴趣，对学生进行德育渗透，从而让学生对科学未知充满好奇，让学生有勇气去质疑去挑战并积极地去探索宇宙的奥秘。

②利用电子白板制作游戏环节，使课堂氛围活跃，提高学生的课堂参与度，直观呈现学生学习效果，提高课堂效率。

③设计“我是小老师”环节，突破学生的固定思维模式，从“我是出题人”的角度出发，先是怎样把复数这部分知识学得更扎实、牢固，然后再能力提升，充分体现了学以致用。

●教材分析

本节课选自人民教育出版社出版的《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第二节第二课时《复数的乘、除运算》，依据新课改新大纲要求，复数四则运算是本章知识的重点。主要内容是复数的乘、除运算。学生的知识基础是已经学习了复数的概念和坐标表示，在第二节第一课时，介绍了复数代数形式的加、减的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具。

在这节内容中，类比多项式的乘法法则，可把复数代数形式a+bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样，多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题。新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念、复数的代数形式及几何意义、加减乘除运算及加减的几何意义。

通过本节课对学生渗透数形结合的数学思想，渗透化归的思想，将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神。所以，《复数的乘、除运算》一课的编排有着重要的意义。

●学情分析

高一学生知识经验与学习经验较为丰富，已具有类比知识点的学习方法。

●教学重难点

重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。

难点：复数除法的运算法则。

●教学目标

知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。

过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。

情感态度与价值观目标：培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。

数学核心素养：①数学抽象：复数乘法、除法运算法则；②逻辑推理：复数乘法运算律的推导；③数学运算：复数四则运算；④数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题。

●教学环境与准备

教学环境：多媒体教室、宽带网络、seewo触控一体机。

课堂准备：教材、练习本、笔等课堂用品。

●教学过程

1.复习回顾，引入新课

师：各位同学，大家好。今天这节课我们将探讨复数的乘法、除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。通过上节课的探究我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。

设计意图：复习复数的加减法运算及其几何意义相关知识，通过复数加减法运算与实数运算的对比，引出复数乘除法的运算法则。

2.新课探究

（1）复数的乘法法则

师：我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，那么它们的积z1z2=(a+b i)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i。

根据复数的乘法法则，请思考并探讨以下问题：

问题①—两个复数的积是什么数？它的值唯一确定吗？

生：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。

师：问题②—当z1，z2都是实数时，与实数乘法法则一致吗？

生：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1，z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。

师：问题③—复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？

生：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并把实部与虚部分别合并即可。

师：通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。

设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则，同时培养学生类比的核心素养。

（2）复数乘法的运算律

师：复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？

教师和学生一起来验证乘法交换律，余下的以作业形式让学生自己来验证。

设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

（3）复数的除法法则

师：与复数减法法则的推导方法类似，我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在，我们依据复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi，(a，b，c，d∈R)的复数x+y i，叫做复数a+b i除以c+di的商。

教师说明：在进行复数的除法运算时，通常先把相除的形式改写成分数的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。

设计意图：通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则。渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系。

（4）例题讲解

①复数的乘法对应例题。

例：计算（1-2i）(3+4i)(-2+i)。

教师分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从左到右进行计算。注意，在结果中如果遇到i2换成-1完成计算。

例：计算（1）（2+3i）(2-3i)；（2）（1+i）2。

教师分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算。

设计意图：及时运用新的理论知识，进行应用和巩固练习，让学生体验成功。使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。在计算的过程中，锻炼学生的计算能力，培养学生数学运算的核心能力。

②复数的除法对应例题。

例：计算（1+2i）÷（3-4i）。

教师分析：先将除法化成分式的形式，再进行分母实数化运算。

③提升练习。

在复数范围内解方程x2+2=0。

设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题、探究问题的能力。分层教学，让不同能力水平的学生学有所得。

在复数范围内解方程ax2+bx+c=0。

通过计算观察发现两个根互为共轭复数。

设计意图：让学生探究讨论在复数范围内如何求解方程，同时也让学生学会举一反三。

④开展“我是小老师”活动。

以小组为单位组内出题，做出准确答案，然后做其他小组出的题。

设计意图：突破学生的固定思维模式，从“我是出题人”的角度出发，思考怎样把复数这部分知识学得更扎实、牢固，然后再能力提升，学以致用。

3.课堂总结

①复数代数形式的乘法法则：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。

②复数代数形式的除法法则。

③在进行复数的除法运算时，通常先把相除的形式改写成分式的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，将分母“实数化”。

设计意图：通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解，引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。

●教学反思

在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，尽可能地提高学生的学习兴趣是一个重要的课题。教师首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架、知识网络。笔者首先了解了学生现阶段的认知水平和年龄特点，因材施教，并围绕复数的乘除运算逐步展开。课上，笔者选择的题目呈阶梯式展现，且紧密联系新课改新高考，与时俱进。同时，“我是小老师”这一环节培养了学生的创造性，提高了学生学习的主动性。

本课虽然完成了教学设计中的各个环节，学生的能力也得到了相应的提高，但仍有不足，如：教学设计中的例题比较多，课堂上的时间比较紧张；课后没有做很好的小结。如果在教学设计和课堂中处理好这些问题，这节课也许会更好。

因此，在以后的教学中笔者还要经常反思，不断提高自己的教学水平。