拱桥的理论极限跨径分析

张显雄, 邓卓章, 方根深, 葛耀君

(1.保利长大工程有限公司，广州 510000；2.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；3.中铁第四勘察设计院集团有限公司，武汉 430000；4.同济大学桥梁结构抗风技术交通行业重点实验室，上海 200092)

公元605年，中国跨径37.5 m的赵州桥建成，是世界上第一座空腹式单孔圆弧弓形石拱桥[1]，同时创造了拱桥跨径世界纪录并保持了近700年之久，直到1300年意大利建成跨径38 m的Maddalena桥才被打破。中国幅员辽阔，地形地貌复杂多样，山区面积约占国土面积的70%[2]，近年来，随着中国经济的发展和山区基础设施建设的持续推进，大跨径拱桥因其良好的经济性、耐久性和受力性能，在跨越江河峡谷时具有显著的优势，并不断刷新拱桥跨径的世界纪录。中国的钢拱桥建设经历了20世纪80年代、90年代的探索和实践，进入21世纪后，多次刷新了钢拱桥跨度的世界纪录。2003年建成的上海卢浦大桥是一座大跨度钢箱拱肋中承式拱桥，主跨跨度550 m，将沉寂了26年的拱桥跨度纪录从518 m提升到550 m。2009年建成的重庆朝天门大桥是一座大跨度钢桁拱肋中承式拱桥，主跨跨度552 m，再次刷新拱桥跨度世界纪录。中国大跨度混凝土拱桥建设起步虽然较晚，但是发展迅速。1997年，中国建成了主跨420 m的钢筋混凝土拱桥——重庆万州长江大桥，创造了混凝土拱桥跨度新的世界纪录。2016年，中国又建成了主跨445 m的沪昆高铁北盘江特大桥，再次刷新了混凝土拱桥跨度的世界纪录。目前在建的南丹—天峨下老高速公路主跨600 m的天峨龙滩特大桥将再次刷新拱桥的跨径纪录，进一步推动了拱桥极限跨径问题的研究。

中外学者对拱桥极限跨径的研究由来已久[3]。戴竞[4]从工程应用角度出发，假定活载为恒载的0.75倍，钢材容许应力取158 MPa，得到钢拱桥的极限跨径为1 307 m。夏旻[5-6]以拱肋材料强度为限定条件，研究了恒载下分别以抛物线、悬链线作为合理拱轴线时拱桥的极限跨径，并对极限跨径下拱桥最佳矢跨比范围进行讨论。李晓辉等[7]提出了理论极限跨径与理论可行跨径的概念，基于理论假定、经验和已有研究成果，给出了混凝土拱桥和钢拱桥的理论可行跨径。王剑[8]利用ANSYS APDL语言参数化建模循环计算，逐步推断出不同截面在满足材料强度、结构稳定性情况下钢拱桥的极限跨径。赵会东[9]以混凝土拱桥在轴力作用下的压应力达到混凝土容许应力为控制条件，分析得出了主拱自重状态下的极限跨径。王湘川[10]提出了基于响应面法的极限跨径求解优化方法，通过建立极限跨径优化数学模型，采用多元非线性优化函数进行优化求解，得到满足各项限制条件的钢管混凝土拱桥极限跨径最大值为821 m。Järvenpää等[11]指出钢拱桥以500 MPa计算，仅考虑均布荷载，抛物线拱的极限跨径为6 250 m，最优矢跨比为1/2.309，悬链线拱为8 284 m，最优矢跨比为1/2.962。何宾旺等[12]开展了下承式系杆钢拱桥拱脚应力及极限承载力研究。

作为3种大跨径桥型(悬索桥、斜拉桥、拱桥)之一的拱桥，在过去近百年的时间里，跨径增长十分缓慢，相比于悬索桥和斜拉桥跨径的突飞猛进，拱桥的跨径几乎是处于停滞状态。早在1931年美国就已经建成了主跨504 m的Bayonne桥，而直到2019年，拱桥的跨径纪录还停留在552 m(重庆朝天门大桥)，八十多年的时间里跨径仅增长不到10%。而随着钢管混凝土、劲性骨架混凝土拱桥技术以及高性能钢和超高性能混凝土等新材料的发展，拱桥的跨径将取得进一步突破。其中，混凝土拱桥在材料的应用上具有天然的合理性，且超高性能混凝土的应用使其跨越能力也不断增大，劲性骨架施工法又为其解决了施工的难题，可以说混凝土拱桥是最具有潜力的超大跨径拱桥形式。钢拱桥虽然在经济性上没有优势，但是从理论分析来看，钢拱桥具有很强的跨越能力，陈宝春等[17]认为修建3 300 m的钢拱桥具有技术可行性。

已有的拱桥理论极限跨径推导均未考虑面外稳定条件，而面内稳定条件推导采用的都是实腹式矩形截面，且未考虑超高强度材料的应用。为此，从强度、面内稳定和面外稳定条件出发，分别基于抛物线拱轴线和悬链线拱轴线推导拱桥的理论极限跨径，并针对混凝土拱桥和钢拱桥，分析其理论极限跨径随矢跨比和材料强度的变化关系。

1 抛物线拱轴线

1.1 强度条件

如图1所示，取半跨拱为研究对象。以拱顶为坐标原点建立坐标系，则抛物线拱轴线的方程为

l为拱桥跨径；f为矢高；q均布荷载集度；M、Hg和Q分别为拱顶处的弯矩、轴力和剪力

y=4fx2/l2

(1)

当恒载为均布荷载时，恒载压力线与抛物线拱轴线重合，故在恒载作用下，拱结构中只有轴力，没有弯矩和剪力。拱顶截面处的弯矩和剪力都为0，仅有恒载水平推力Hg，其表达式为

(2)

拱脚处的轴力计算公式为

(3)

式(3)中：θj为拱轴线在拱脚处切线与水平线夹角。

设主拱自重在总荷载中占比为λ(在强度条件中可以理解为仅考虑主拱自重的设计强度折减率，或者理解为仅考虑主拱自重的极限跨径折减率)，拱结构为等截面，截面面积为A，拱结构材料容重为γ，恒载集度q=γA，材料抗压强度设计值为fd，考虑《公路桥涵通用设计规范》(JTG D60—2015)[18]中结构重要性系数和永久作用分项系数分别为1.1和1.2，可得基于抛物线拱轴线推导出来的拱桥理论极限跨径强度条件为

(4)

即

(5)

1.2 稳定条件

1.2.1 面内稳定

抛物线拱在均布荷载作用下，虽然只承受轴向压力而没有弯矩，但轴向压力沿着拱轴是变化的，且考虑到拱的曲率也是变化的，其平衡微分方程是变系数的，直接求解比较困难，一般只能用数值法进行计算。工程上常用拱的计算长度来近似计算，类似于中心受压直杆的临界力计算方法，不论采用什么线形的拱轴线，拱的临界压力均可近似简化为求拱的计算长度S0的问题。参考中心压杆临界荷载计算公式，拱的面内稳定临界压力Ncr1(通常作为1/4跨径截面处的临界轴压力)可表示为

(6)

式(6)中，lz为拱的面内稳定计算长度，对于无铰拱lz= 0.36la；la为拱轴线长度(弧长)；E为拱结构材料的弹性模量；Iz为拱截面的竖向抗弯惯性矩。

抛物线拱轴线的弧长(按级数展开取前两项)可近似表示为

=l(1+8n2/3)

(7)

均布荷载作用下，拱1/4跨径截面处的轴力为

(8)

式(8)中：θl/4为拱轴线在l/4跨径处切线与水平线夹角。

根据面内稳定条件Nl/4≤λNcr1/φ，稳定安全系数φ=4.0，可得基于抛物线拱轴线推导出来的拱桥理论极限跨径面内稳定条件为

(9)

式(9)中：λ为细长比。

为了计算式(9)中的Iz/A，考虑宽度为b、高度为h、板厚为t的箱形截面，由于截面板厚t相对于截面宽高b、h是小量，可以忽略含t的高次项，截面惯性矩与面积之比可表式为

(10)

(11)

式中：Iy为拱截面的侧向抗弯惯性矩。

拱桥的主拱截面高跨比h/l一般为1/50～1/100，宽跨比b/l一般为1/20～1/30，此处取h=l/50，b=l/30，由此可将理论极限跨径的面内稳定条件改写为

(12)

1.2.2 面外稳定

拱的面外稳定临界压力Ncr2同样可以近似写成中心受压直杆临界荷载形式，即

(13)

表1 面外稳定计算长度系数

根据面内稳定条件Nl/4≤λNcr2/φ，稳定安全系数φ=4.0，可得基于抛物线拱轴线推导出来的拱桥理论极限跨径面外稳定条件为

(14)

2 悬链线拱轴线

2.1 强度条件

当拱桥的恒载集度(单位长度上的重力)由拱顶向拱脚连续分布、逐渐增大且与拱轴纵坐标近似呈线性关系时，其合理拱轴线为悬链线。悬链线的线形除了跟矢跨比有关外，还跟拱轴系数有关，可以通过调整拱轴系数对拱的受力进行优化，对非均布荷载的适应能力较强，是目前大、中跨径拱桥采用最普遍的拱轴线形。如图2所示，取半跨拱为研究对象，以拱顶为坐标原点建立坐标系，距拱顶x处恒载集度qx可表示为

l为拱桥跨径；f为矢高；qj和qd分别为拱脚和拱顶荷载集度；M、Hg和Q分别为拱顶处的弯矩、轴力和剪力

(15)

式(15)中：m=qj/qd为拱轴系数。

悬链线拱轴线的方程为

(16)

当恒载由拱顶向拱脚连续分布、逐渐增大且与拱轴纵坐标近似呈线性关系时，恒载压力线与悬链线拱轴线重合，故在恒载作用下，拱结构中只有轴力，没有弯矩和剪力。拱顶截面处的弯矩和剪力都为0，拱顶截面仅有恒载水平推力Hg可由式(17)计算。

(17)

拱脚处的轴力为

(18)

设主拱自重在总荷载中占比为λ(或者理解为仅考虑主拱自重的极限跨径折减率)，拱结构为等截面，类似地，可得基于悬链线拱轴线推导出来的拱桥理论极限跨径强度条件为

(19)

2.2 稳定条件

2.2.1 面内稳定

悬链线拱的面内稳定临界压力Ncr1(通常作为1/4跨径截面处的临界轴压力)同样采用参考中心压杆的临界压力公式[式(6)]，悬链线拱轴线弧长的积分表达式为

(20)

(21)

即4n2k2=(m-1)2时恰好m=1/cosθj，此时拱脚的恒载集度为

(22)

设拱脚微弧段ds的水平投影长度为dx，则有dx=dscosθj，式(22)可写为

(23)

(24)

通过式(24)就可以根据矢跨比n确定合理的拱轴系数m，此时悬链线拱轴线的弧长为

(25)

则拱1/4跨径截面处的轴力为

(26)

根据面内稳定条件Nl/4≤λNcr1/φ，稳定安全系数φ=4.0，并引入式(10)的截面特性，可得基于悬链线拱轴线的拱桥理论极限跨径面内稳定条件为

(27)

2.2.2 面外稳定

悬链线拱的面外稳定临界压力Ncr2同样采用参考中心压杆的临界压力公式(13)，根据面外稳定条件Nl/4≤λNcr2/φ，稳定安全系数φ=4.0可得

(28)

即

(29)

3 悬链线拱轴线

综合上述理论推导，，分别将抛物线和悬链线拱轴线强度、面内稳定和面外稳定条件如表2所示，则理论极限跨径lmax可表示为

lmax=min{lmax1,lmax2,lmax3}

(30)

3.1 混凝土拱桥

根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)[19]第3.1条和《活性粉末混凝土结构技术规程》(DBJ43/T 325—2017)[20]第3.3条和第3.4条，混凝土的抗压强度设计值fd和弹性模量E如表3所示,混凝土的容重γ取26.0 kN/m3。

表3 混凝土抗压强度设计值和弹性模量

根据表2和表3可以得到不同材料类型对应的抛物线和悬链线拱轴线混凝土拱桥在强度条件下的理论极限跨径lmax1、在面内稳定条件下的理论极限跨径lmax2、在面外稳定条件下的理论极限跨径lmax3和综合理论极限跨径lmax，如图3～图5所示。

C60、C80、R100、R120、R140、R160、R180、R200为混凝土抗压强度等级

C60、C80、R100、R120、R140、R160、R180、R200为混凝土抗压强度等级

图5 混凝土拱桥理论极限跨径

表2 不同条件下的极限跨径

可以看出，在混凝土材料强度等级较低(如C60)时，极限跨径由强度条件控制，随着混凝土材料强度等级的提高，逐渐变为稳定条件控制，到R200时完全由面内稳定条件控制；在矢跨比1/5时，抛物线拱轴线条件下，采用C60的理论极限跨径为627 m，采用R200的理论极限跨径为2 161 m，而悬链线拱轴线条件下采用C60的理论极限跨径为586 m，采用R200的理论极限跨径为2 099 m。

3.2 钢结构拱桥

中国在高性能桥梁结构钢的研发与应用上不断突破创新，2020年7月建成通车的沪通长江大桥使用了Q500q钢，2021年建成通车的武汉江汉七桥使用了Q690q钢。而现行的《公路钢结构桥梁设计规范》(JTG D64—2015)[21]中钢材的最高牌号仅Q420，为了得到更高等级钢材的强度设计值，根据《桥梁用结构钢》(GB/T 714—2015)[22]第7.4.1条中50 mm<厚度≤100 mm钢材的下屈服强度和《公路钢结构桥梁设计规范》(JTG D64—2015)[21]条文说明第3.2.1条钢材抗拉、抗压和抗弯强度设计值计算方法(以钢材的屈服强度为基准除以材料抗力分项系数1.25并取5的整数倍，此处向下取5的整数倍)得到钢材的强度设计值fd如表4所示。钢材的弹性模量E取2.06×105MPa，容重γ取78.5 kN/m3。

根据表4和表5，可以得到不同材料类型的抛物线和悬链线拱轴线钢拱桥在强度条件下的理论极限跨径lmax1、在面内稳定条件下的理论极限跨径lmax2、在面外稳定条件下的理论极限跨径lmax3和综合理论极限跨径lmax，如图6～图8所示。

图6 抛物线钢拱桥理论极限跨径

表4 钢材强度设计值

图7 悬链线钢拱桥理论极限跨径

图8 钢拱桥理论极限跨径

表5 矢跨比1/5时钢拱桥理论极限跨径

可以看出，在钢材强度等级较低(如Q345)时，极限跨径由强度条件控制，随着钢材强度等级的提高，逐渐变为稳定条件控制，到Q550时，完全由面内稳定条件控制；在矢跨比1/5时，抛物线拱轴线条件下，采用Q345的理论极限跨径为2 077 m，采用Q500～Q690的理论极限跨径为2 948 m，而悬链线拱轴线条件下采用Q345的理论极限跨径为1 942 m，采用Q500～Q690的理论极限跨径为2 865 m。

为便于对比，表5和表6分别列出了矢跨比1/5时基于两种拱轴线的钢拱桥和混凝土拱桥理论极限跨径。可以看出，基于悬链线推导出来的理论极限跨径略小于基于抛物线的结果，主要是由于基于抛物线拱轴线推导时，假设恒载为均布荷载，相当于忽略了拱脚相对拱顶的恒载集度增量，使得推导出来的理论极限跨径略有增大。

表6 矢跨比1/5时混凝土拱桥理论极限跨径

4 结论

从强度、面内稳定和面外稳定条件出发，分别基于抛物线拱轴线和悬链线拱轴线求解了拱桥的理论极限跨径，给出了不同矢跨径和不同材料类型的拱桥理论极限跨径。得出如下主要结论。

(1)研究结果表明基于悬链线推导出来的理论极限跨径略小于基于抛物线推导出来的理论极限跨径，但结果相差不大。

(2)在矢跨比1/5时，当混凝土拱桥主拱采用R200超高性能混凝土时，其理论极限跨径可超过2 000 m；当钢拱桥主拱采用Q690高强钢材时，其理论极限跨径可超过2 500 m。

所获得的理论极限跨径未考虑结构的局部曲屈失稳等问题，在实践环节中需结合特定需求做详细校核。